第08讲 排列（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第08讲 排列 【苏教版】 模块一 排列 1．排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2．排列概念的理解 (1)排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. (2)两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. (3)定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. 3．排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 【题型1 排列的概念与判断】 【例1】（24-25高二下·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解题思路】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【解答过程】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【答案】B 【解题思路】根据排列的定义判断即可. 【解答过程】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 【答案】A 【解题思路】根据已知条件，结合排列的定义，逐项分析判断即可. 【解答过程】①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，①属于排列问题； ②选出的2人劳动内容相同，无顺序，②不属于排列问题， ③选出5人组成一个篮球队，无顺序，③不属于排列问题， ④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，④属于排列问题， 所以属于排列问题的为①④. 故选：A. 【变式1.3】（24-25高二上·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【解题思路】排列问题是与顺序有关的问题，据此对四个选项进行判断即可解决. 【解答过程】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 模块二 排列数 1．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；…；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. (4)排列数的性质 排列数的性质：①；②. 2．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 . 【题型2 排列数的计算】 【例2】（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【答案】D 【解题思路】根据排列数公式计算即可. 【解答过程】. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二下·四川成都·期末）（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 【答案】A 【解题思路】根据排列数计算公式，化简求值. 【解答过程】由题意得， 故选：A. 【变式2.2】（2025高三·全国·专题练习）下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用排列数公式可逐项验证. 【解答过程】．对于选项A，． 对于选项B，． 对于选项C，． 对于选项D，． 故选：B． 【变式2.3】（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据排列数的计算公式进行判断. 【解答过程】中总共有个数连乘， 故． 故选：A. 【题型3 用排列数公式证明】 【例3】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【解答过程】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【变式3.1】（24-25高二·全国·课堂例题）求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据排列数公式可得 【解答过程】． 【变式3.2】（24-25高三·上海·随堂练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解题思路】利用排列数的计算公式即可证明和化简； 【解答过程】（1）证明：； （2）原式． 【变式3.3】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【解答过程】（1）证明：. （2）证明：. 【题型4 排列数方程和不等式】 【例4】（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用排列数公式展开化简，得，再结合即可. 【解答过程】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二下·新疆哈密·月考）已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【答案】D 【解题思路】根据排列数公式，化简计算，结合的取值范围，即可得答案. 【解答过程】由题意，，即， 化简可得，即，解得或 因为，所以，故 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二下·江苏扬州·月考）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1) (2)6 【解题思路】（1）根据排列数公式计算，可得答案； （2）根据排列数公式化简可得一元二次方程，结合排列数性质，即可求得答案. 【解答过程】（1）； （2）由，得， 即，即， 解得或， 又因为且，故， 故的解为. 【变式4.3】（24-25高二下·江苏苏州·月考）（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解， 【解答过程】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 模块三 排列的应用问题 1．排列应用问题的分类与求解思路 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 【题型5 全排列问题】 【例5】（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解题思路】根据全排列规则，计算结果即可. 【解答过程】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 【变式5.1】（24-25高二下·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】B 【解题思路】应用排列数求不同排法数即可. 【解答过程】根据题意，只需将5人作全排列，故共有种排法. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二下·北京大兴·期末）有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】只需安排其余名同学到除周三的另外四天值日，每人值日一天，利用排列数公式计算可得. 【解答过程】依题意只需安排其余名同学到除周三的另外四天值日，每人值日一天， 故有种不同安排方案. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高二下·广西河池·期中）在第14届全国人民代表大会期间，某记者要去黑龙江省代表团、辽宁省代表团、山东省代表团、江苏省代表团采访，则不同的采访顺序有（    ） A．4种 B．12种 C．24种 D．36种 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用全排列计算作答. 【解答过程】依题意，不同的采访顺序有（种）. 故选：C. 【题型6 元素（位置）有限制的排列问题】 【例6】（24-25高二下·内蒙古·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 【答案】A 【解题思路】由题意甲、乙站在丙、丁之间，先排丙、丁，再将甲、乙排在丙、丁之间，再排戊以及分步乘法计算原理即可得出. 【解答过程】由题意先将丙、丁排列有种站法， 再将甲、乙排在丙、丁之间有种站法， 最后在排好的4人所形成的5个空挡中选一个站戊， 有种站法， 根据分步乘法计数原理， 得共有种不同的站法. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【解题思路】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，即可求解. 【解答过程】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，这样的数有个， 若五位数的个位不为零，而个位仅有2，4两种选择，万位有3种选择，这样的数有， 所以五位的偶数有. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高二下·天津滨海新·期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【答案】D 【解题思路】由分步乘法原理，特殊的先排可得. 【解答过程】先选男生甲的位置，有2种； 再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列有种； 由分步乘法原理可得共有种. 故选：D. 【变式6.3】（24-25高二下·天津西青·月考）将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 【答案】B 【解题思路】应用排列数求任意分配方法数及小王去文艺文化项目的分配方法数，再利用间接法求不同的分配方案数. 【解答过程】由题意，4名志愿者任意分配共有种分法， 若志愿者小王去文艺文化项目，其它3名任意分配有种分法， 所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有种. 故选:B. 【题型7 相邻问题的排列问题】 【例7】（24-25高二下·吉林·月考）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【解题思路】分乙在甲、丙之间，乙不在甲、丙之间两种情况讨论即可. 【解答过程】根据题意，可分成两类情况： 第一类：乙在甲、丙之间，有种； 第二类：乙不在甲、丙之间，有种； 由分类加法计数原理，共有种方案. 故选：C. 【变式7.1】（24-25高二下·贵州六盘水·期末）将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解题思路】利用相邻问题捆绑法求解. 【解答过程】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放， 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二下·江苏徐州·期末）某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】A 【解题思路】利用捆绑法即可求解. 【解答过程】利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有种. 故选：A. 【变式7.3】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【解题思路】应用捆绑法及特殊位置优先处理计算求解 【解答过程】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演， 若甲和乙相邻，则有种排法，且甲和乙都不站在两端丙、丁、戊、己4名同学选2人在两端有种排法， 所以不同的排列方式有种排法. 故选：D. 【题型8 不相邻排列问题】 【例8】（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【解题思路】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【解答过程】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高二下·云南曲靖·月考）为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（   ） A．1560 B．2640 C．1360 D．2340 【答案】B 【解题思路】分情景类节目第一个出场、舞类节目第一个出场两种情况利用插空法可得答案. 【解答过程】若情景类节目第一个出场，有种，再安排3个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排一个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 若歌舞类节目第一个出场，有种，再安排余下的2个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排2个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 故不同的演出顺序的种数为. 故选：B. 【变式8.2】（24-25高二下·陕西榆林·期中）从甲、乙等5人中选4人参加米接力比赛． (1)求甲跑最后一棒的排法有多少种? (2)求甲、乙均参加，且不相邻的排法有多少种? 【答案】(1)24 (2)36 【解题思路】（1）甲跑最后一棒，从剩下的3人里选出3人排序即可； （2）不相邻问题，插空法； 【解答过程】（1）甲跑最后一棒，从剩下的4人里选出3人排序即可，即； （2）先从剩下的3人里选出2人排好，共种情况， 排好的2个人会产生3个空，选2个空，将甲乙排进去即可，共情况， 所以总情况为：. 【变式8.3】（24-25高二·全国·课堂例题）已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 (4)种 【解题思路】针对相邻问题，采用捆绑法；不相邻问题，采用插空法；情况比较多时，可以间接法. 【解答过程】（1）（捆绑法）将甲，乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有种排法．甲，乙两人可交换位置，有种排法．故共有种排法． （2）方法一（间接法）：7人任意排列，有种排法．甲、乙两人相邻有种排法，故共有 种排法． 方法二（插空法）：将其余5人排列，有种排法．5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有种排法．故共有种排法． （3）（捆绑法）将甲，乙，丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有种排法，甲，乙，丙三人有种排法，共有种排法． （4）（插空法）将其余4人排好，有种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有种排法．故共有种排法． 【题型9 定序问题】 【例9】（24-25高二下·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 【答案】D 【解题思路】用倍缩法直接计算求解该定序问题即可. 【解答过程】6人全排有中排序方法， 所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有种加入方法. 故选：D. 【变式9.1】（24-25高二下·陕西榆林·月考）高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．42 B．30 C．21 D．15 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用定序法列式计算得解. 【解答过程】7位同学排成一排照相，共有种排法，原来5位同学的排列方法有种， 所以保持原来5位同学的相对顺序不变的排法种数为. 故选：A. 【变式9.2】（24-25高二下·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【答案】B 【解题思路】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果，进而根据计数原理得到最终结果. 【解答过程】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果， 因此根据计数原理可知共有种结果. 故选：B. 【变式9.3】（24-25高二下·江苏南京·月考）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 【答案】B 【解题思路】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解. 【解答过程】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式. 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高二下·四川自贡·期末）计算（    ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【解题思路】利用排列数公式计算得解. 【解答过程】. 故选：B. 2．（24-25高二下·山东济南·期末）用1，2，3，4这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．9 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【解题思路】根据题意，选出3个数字，进行全排列，即可求解. 【解答过程】根据题意，可从1，2，3，4这四个数中，选出3个数字，进行全排列， 可得组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：D. 3．（24-25高二下·广东揭阳·月考）满足不等式的的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用排列数公式可得出关于的不等式，结合的取值范围可得出的值. 【解答过程】，可得， 由题意可得且，故或. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏无锡·月考）五种不同商品在货架上排成一排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有（   ）种． A．24 B．72 C．36 D．42 【答案】B 【解题思路】利用插空法进行求解，得到答案. 【解答过程】先安排除了C，D两种外的三种商品，共有种方法，并形成4个空， 再把C，D安排到形成的4个空中，有种方法， 所以共有种排法. 故选：B. 5．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【解题思路】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【解答过程】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C. 6．（24-25高二下·青海西宁·期末）高三毕业季甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中甲乙丙要求站在一起，则不同的站队方法共有（    ）种. A．6 B．12 C．36 D．72 【答案】C 【解题思路】排列问题，捆绑法解决 【解答过程】先将甲乙丙“捆绑”，然后与丁戊进行全排列，有种排列方式， 再将甲乙丙解绑，并只对甲乙丙进行排列，有种排列方式， 总数为种. 故选：C. 7．（24-25高二下·湖南·期末）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第二道或第三道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【解题思路】分乙在第五道和在第六道两种情况，再考虑甲，结合排列知识进行求解，相加得到答案. 【解答过程】当乙在第五道，甲有3种站法，其余4人进行全排列，有种站法，则共有（种）； 当乙在第六道，甲有3种站法，其余4人进行全排列，有种站法，则共有（种）， 所以共有种不同排法． 故选：D． 8．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】C 【解题思路】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，即可求得答案. 【解答过程】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻， 此时共有种排列方式； 然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列， 在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入， 此时共有种排列方式； 故符合题意的不同排列方式共有（种）， 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二下·福建福州·期末）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【解题思路】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 10．（24-25高二下·广东河源·月考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位偶数，下列正确的选项有（    ） A．如果个位数是0，则前3位有种排列 B．如果个位是2或4，则前3位有种排列 C．符合题意的四位偶数共有156种 D．符合题意的四位偶数共有300种 【答案】ABC 【解题思路】对于A：直接排前三位即可；对于B：先排首位，再排中间两位；对于CD：结合选项AB分析求解即可. 【解答过程】对于选项A：若末位是0时，前三位从1至5中任选3个排至前三位即可， 所以有种排列，故A正确； 对于选项B：若末位是2或4时，则首位不能为0，有种排放， 中间两位从剩余的4个数字中任选2个排列，有种排放， 所以前3位有种排列，故B正确； 对于选项CD：若个位数是0，由选项A可知有种排法； 若个位是2或4，由选项B可知有种排法； 所以符合题意的四位偶数共有种，故C正确，D错误； 故选：ABC. 11．（24-25高二下·江苏镇江·期末）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 C．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 D．甲乙不相邻的排法种数为36种 【答案】BC 【解题思路】利用捆绑法，元素分析法，位置分析法，插空法即可判断各选项. 【解答过程】对于A，甲、乙必须相邻，可将其看成一个整体，有种排法，故A错误； 对于B，甲乙丙按从左到右的顺序排列，先排丁戊两人，剩余3个位置依次站甲乙丙，有种排法，故B正确； 对于C，若甲排最左端，有种排法，若乙排最左端，有种排法， 所以总共有种排法，故C正确； 对于D，先排丙丁戊三人，再将甲乙插空，总共有种排法，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高二下·吉林·期末）若，则 . 【答案】3 【解题思路】应用排列公式解排列数方程即可. 【解答过程】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 故答案为：3. 13．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有 种． 【答案】144 【解题思路】先对进行捆绑，再与全排，最后用插空法求解即可. 【解答过程】由题知，先把学生与进去捆绑有种，再与进行全排，有种， 最后把2名老师插入4个空中，有种，所以共有. 故答案为：144. 14．（24-25高二下·四川雅安·期末）某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有 种不同的排法.（用数字作答） 【答案】 【解题思路】根据题意，分为体育课排在最后一节和体育课不排在第一节和最后一节，两种情况，分别求得相应的排法数，结合分类计算原理，即可求解. 【解答过程】根据题意，可分为两类： （1）若体育课排在最后一节，则有种不同的排法； （2）若体育课不排在第一节和最后一节，则有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排法. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式； 【解答过程】（1）； （2），. （3）依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 16．（25-26高二上·全国·单元测试）用0，1，2，3，4，5这六个数字组数，求符合下列条件的无重复数字的数的个数： (1)比400000大的正整数； (2)个位数字不是5的六位数． 【答案】(1)（个） (2)（个） 【解题思路】（1）要比400000大，首位必须是4或5，其余位数全排列，从而利用分步计数原理即可得解． （2）分两类，个位数字是0和不是0，利用两个计数原理进行求解即可； 【解答过程】（1）要比400000大，最高位必须是4或5，其余数位全排列即可， 所以有 个． （2）两位及两位以上的自然数最高位不能为0． 因为0是特殊元素，所以根据个位数字是0和不是0分两类， 当个位数字是0时，个位数字不是5的六位数有（个）， 当个位数字不是0时，个位数字不是5的六位数有（个）， 根据分类加法计数原理得，个位数字不是5的六位数有 （个）． 17．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）5名男生，2名女生，站成一排照相. (1)共有多少种排法？ (2)两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？ (3)两名女生不相邻的排法有多少种？ 【答案】(1)5040 (2)2400 (3)3600 【解题思路】（1）由题意7名学生全排，即； （2）两名女生不排在队伍的两头，即特殊元素特殊处理即可； （3）两名女生不相邻，即把两名女生插在男上排列中，用插空法即可. 【解答过程】（1）由题意有； （2）中间5个位置先排2名女生，有种排法， 然后其余5个位置排剩下的5人，有种排法， 故共有种排法； （3）先排5名男生，有种排法， 然后在5名男生排列的6个空中选2个空插入2名女生，有种排法， 故共有种排法. 18．（24-25高二下·云南昭通·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (2)若其中某3道工序必须相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (3)若其中某3道工序两两不能相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ 【答案】(1)288 (2)144 (3)144 【解题思路】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. 【解答过程】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面， 有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （2）先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 19．（24-25高二下·重庆·期中）有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？ (1)男生甲不站排头和排尾． (2)两名女生必须相邻． (3)甲、乙、丙三名同学两两不相邻． (4)甲不站排头，乙不站排尾． 【答案】(1)种 (2)种 (3)种． (4)种 【解题思路】（1）先考虑甲的位置，再全排列即可求解， （2）根据相邻问题捆绑法即可求解， （3）根据不相邻问题插空法即可求解， （4）根据全排列，结合正难则反即可求解. 【解答过程】（1）由于甲不站排头也不站排尾，所以甲要站在除去排头和排尾的四个位置， 余下的五个位置使五个元素全排列， 根据分步计数原理知共有种； （2）两名女生必须相邻，利用捆绑法，有种 （3）甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法， 首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有种结果， 再在三个元素形成的四个空中排列个元素，共有， 根据分步计数原理知共有种． （4）甲不站排头，乙不站排尾． 利用间接法，可得有种． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 排列 【苏教版】 模块一 排列 1．排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2．排列概念的理解 (1)排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. (2)两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. (3)定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. 3．排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 【题型1 排列的概念与判断】 【例1】（24-25高二下·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【变式1.1】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 【变式1.3】（24-25高二上·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 模块二 排列数 1．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；…；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. (4)排列数的性质 排列数的性质：①；②. 2．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 . 【题型2 排列数的计算】 【例2】（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【变式2.1】（24-25高二下·四川成都·期末）（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 【变式2.2】（2025高三·全国·专题练习）下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 【题型3 用排列数公式证明】 【例3】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【变式3.1】（24-25高二·全国·课堂例题）求证：． 【变式3.2】（24-25高三·上海·随堂练习）（1）证明：； （2）化简：． 【变式3.3】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【题型4 排列数方程和不等式】 【例4】（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·新疆哈密·月考）已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【变式4.2】（24-25高二下·江苏扬州·月考）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【变式4.3】（24-25高二下·江苏苏州·月考）（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 模块三 排列的应用问题 1．排列应用问题的分类与求解思路 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 【题型5 全排列问题】 【例5】（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式5.1】（24-25高二下·广东清远·期中）A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 【变式5.2】（24-25高二下·北京大兴·期末）有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二下·广西河池·期中）在第14届全国人民代表大会期间，某记者要去黑龙江省代表团、辽宁省代表团、山东省代表团、江苏省代表团采访，则不同的采访顺序有（    ） A．4种 B．12种 C．24种 D．36种 【题型6 元素（位置）有限制的排列问题】 【例6】（24-25高二下·内蒙古·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 【变式6.1】（24-25高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【变式6.2】（24-25高二下·天津滨海新·期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【变式6.3】（24-25高二下·天津西青·月考）将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 【题型7 相邻问题的排列问题】 【例7】（24-25高二下·吉林·月考）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【变式7.1】（24-25高二下·贵州六盘水·期末）将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【变式7.2】（24-25高二下·江苏徐州·期末）某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【变式7.3】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【题型8 不相邻排列问题】 【例8】（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【变式8.1】（24-25高二下·云南曲靖·月考）为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（   ） A．1560 B．2640 C．1360 D．2340 【变式8.2】（24-25高二下·陕西榆林·期中）从甲、乙等5人中选4人参加米接力比赛． (1)求甲跑最后一棒的排法有多少种? (2)求甲、乙均参加，且不相邻的排法有多少种? 【变式8.3】（24-25高二·全国·课堂例题）已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 【题型9 定序问题】 【例9】（24-25高二下·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 【变式9.1】（24-25高二下·陕西榆林·月考）高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．42 B．30 C．21 D．15 【变式9.2】（24-25高二下·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【变式9.3】（24-25高二下·江苏南京·月考）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 一、单选题 1．（24-25高二下·四川自贡·期末）计算（    ） A．4 B．6 C．12 D．24 2．（24-25高二下·山东济南·期末）用1，2，3，4这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．9 B．12 C．16 D．24 3．（24-25高二下·广东揭阳·月考）满足不等式的的值为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏无锡·月考）五种不同商品在货架上排成一排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有（   ）种． A．24 B．72 C．36 D．42 5．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 6．（24-25高二下·青海西宁·期末）高三毕业季甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中甲乙丙要求站在一起，则不同的站队方法共有（    ）种. A．6 B．12 C．36 D．72 7．（24-25高二下·湖南·期末）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第二道或第三道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 8．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 二、多选题 9．（24-25高二下·福建福州·期末）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 10．（24-25高二下·广东河源·月考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位偶数，下列正确的选项有（    ） A．如果个位数是0，则前3位有种排列 B．如果个位是2或4，则前3位有种排列 C．符合题意的四位偶数共有156种 D．符合题意的四位偶数共有300种 11．（24-25高二下·江苏镇江·期末）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 C．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 D．甲乙不相邻的排法种数为36种 三、填空题 12．（24-25高二下·吉林·期末）若，则 . 13．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有 种． 14．（24-25高二下·四川雅安·期末）某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有 种不同的排法.（用数字作答） 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：； (3)解关于的不等式：. 16．（25-26高二上·全国·单元测试）用0，1，2，3，4，5这六个数字组数，求符合下列条件的无重复数字的数的个数： (1)比400000大的正整数； (2)个位数字不是5的六位数． 17．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）5名男生，2名女生，站成一排照相. (1)共有多少种排法？ (2)两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？ (3)两名女生不相邻的排法有多少种？ 18．（24-25高二下·云南昭通·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (2)若其中某3道工序必须相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (3)若其中某3道工序两两不能相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ 19．（24-25高二下·重庆·期中）有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？ (1)男生甲不站排头和排尾． (2)两名女生必须相邻． (3)甲、乙、丙三名同学两两不相邻． (4)甲不站排头，乙不站排尾． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $