第18卷 立体几何（二）2026年河北省对口升学《数学45分钟模拟卷》

编写说明：2026年河北省（对口升学）《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年河北省（对口升学）数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共30份试卷，本卷是河北省（对口升学）《数学45分钟模拟卷》的第18卷，是专题模拟卷。 2026年河北省对口升学 第18卷 立体几何（二） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分）.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．空间中过直线外一点有多少个平面与已知直线平行（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 2．设直线平面，直线平面，那么以下说法正确的选项是（   ） A． B． C．且异面 D．且相交 3．下列说法中，正确的是（    ） A．平行于同一直线的两个平面必平行 B．垂直于同一平面的两个平面互相平行 C．垂直于同一条直线的两个平面互相平行 D．如果两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线也平行 4．一个球的表面积为，若其半径增大到原来的倍，则球的表面积变为（　　） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线l在平面外，则 C．若，直线，则 D．若，直线，则l平行于平面内无数条直线 6．将正方形沿对角线折成直二面角，以下结论中错误的是（    ） A． B．是等边三角形 C．与平面所成的角为60° D．与所成的角为60° 7．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 8．一个正方体的顶点都在球上，它的棱长为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 9．一个谷仓下方为圆柱，上方为圆锥，下方圆柱高为，底面直径为，上方圆锥高为，则此谷仓的容积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在长方体中，E为的中点，，则异面直线和所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11．某圆锥的侧面展开图是一个半圆，其体积的值与侧面积的值之比为，则该圆锥的高为 ． 12．二面角的度数为70°，点M是二面角内的一点，过M作于A，于B，那么 （填度数）. 13．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的 条件（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选择一个填入） 14．如图所示，正四棱锥的三视图中正视图和左视图都是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的体积是 ． 三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图所示，已知矩形所在平面外一点，平面，，分别是，的中点．求证： (1)平面； (2)． 16．如图，，平面平面.    (1)求证：面面. (2)求与面所成角的正切值. 17．如图，在棱长为的正方体中，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 18．如图所示，在三棱锥中，已知，，，求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积. 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年河北省（对口升学）《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年河北省（对口升学）数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共30份试卷，本卷是河北省（对口升学）《数学45分钟模拟卷》的第18卷，是专题模拟卷。 2026年河北省对口升学 第18卷 立体几何（二） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分）.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．空间中过直线外一点有多少个平面与已知直线平行（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】D 【分析】根据题意，结合线面平行的定义和判定定理，即可判断求解. 【详解】根据线面平行的定义，空间中过直线外一点有无数个平面与已知直线平行. 如图所示，，则过点P可以作一条直线a与l平行， 则过这条直线a有无数个平面都与l平行. 故选：D. 2．设直线平面，直线平面，那么以下说法正确的选项是（   ） A． B． C．且异面 D．且相交 【答案】B 【分析】根据线面平行和线面垂直的性质定理即可求解. 【详解】因为直线平面，由线面平行的性质定理可设直线平面且， 又直线平面，即，所以， 故选：B. 3．下列说法中，正确的是（    ） A．平行于同一直线的两个平面必平行 B．垂直于同一平面的两个平面互相平行 C．垂直于同一条直线的两个平面互相平行 D．如果两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线也平行 【答案】C 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系求解即可. 【详解】A.平行于同一直线的两个平面的位置关系有平行、相交两种，故A错误； B.垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，故B错误； C.垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故C正确； D.如果两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线的位置关系有平行、异面两种，故D错误. 故选：C. 4．一个球的表面积为，若其半径增大到原来的倍，则球的表面积变为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，设球原来的半径为，则， 半径增大到原来的倍后的球的表面积. 故选：D. 5．下列说法正确的是（    ） A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线l在平面外，则 C．若，直线，则 D．若，直线，则l平行于平面内无数条直线 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定与性质逐条分析即可. 【详解】选项中，不符合线面平行判定中的平面外的一条直线这一条件，若直线在平面内，则不成立，选项错误. 选项中，只说明了直线在平面外，不符合直线与平面的一条直线平行的判定条件，可能与平面相交，选项错误. 选项中，无论直线是否在平面外，均满足平行于平面内无数条直线. 选项正确. 故选：. 6．将正方形沿对角线折成直二面角，以下结论中错误的是（    ） A． B．是等边三角形 C．与平面所成的角为60° D．与所成的角为60° 【答案】C 【分析】根据直二面角可得面面垂直，即可根据线面垂直求解A,根据长度关系即可求解B，根据线面垂直得线面角的几何角，即可求解C，根据平行关系以及线线角的定义即可求解D. 【详解】如图，其中二面角的平面角为， 是的中点，则，， 直二面角的平面角， 对于A，，，，平面，平面， 平面，平面，，故A正确； 对于B，设正方形的边长为2，在直角中，， ，是等边三角形，故B正确； 对于D，可取中点，的中点， 连接，，，设正方形的边长为2，由于，所以，而， 故是等边三角形，即为与所成的角,由于，所以与所成角为，故D正确． 对于C，由于平面平面，且交线为, 平面，所以平面,故与平面所成的线面角的平面角是， 故与平面成的角不正确，故C错误． 故选：C 7．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，即可判断求解. 【详解】连接，如图，    对于A，在中，由中位线定理得且； 因为底面是平行四边形，且，为中点， 故，则且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又， 所以与不平行，故选项A错误； 对于B，连接交于点O，连接，则， 又，故不平行，故选项B错误； 对于C，假设平面， 则由线面平行的性质定理可知，存在直线平面，使得， 因为，所以， 易知平面，而平面，所以平面， 而平面，平面，即与平面相交，显然矛盾， 所以直线与平面不平行，故选项C错误； 对于D，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项D正确； 故选：D. 8．一个正方体的顶点都在球上，它的棱长为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体与球的外接关系求出球的直径，再根据球的体积公式即可求解. 【详解】根据题意，设球的半径为R， 因为正方体的顶点都在球面上， 棱长为， 所以，解得， 所以球的体积为. 故选：A. 9．一个谷仓下方为圆柱，上方为圆锥，下方圆柱高为，底面直径为，上方圆锥高为，则此谷仓的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式求值即可. 【详解】由题意可知，圆柱高为，底面直径为， 则底面半径为，所以圆柱的体积为， 圆锥高为，底面半径同为， 所以圆锥的体积为， 所以此谷仓的容积为， 故选：B. 10．如图，在长方体中，E为的中点，，则异面直线和所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直线平行，将异面直线转化为相交直线，再由边的关系即可求解余弦值. 【详解】连接， 因为， 所以为异面直线和所成的角， 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以， 所以为正三角形， 所以， 所以. 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11．某圆锥的侧面展开图是一个半圆，其体积的值与侧面积的值之比为，则该圆锥的高为 ． 【答案】4 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质建立圆锥底面半径、母线长与高之间的关系，再结合体积与侧面积的比值求解． 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半圆， ∴半圆的弧长等于圆锥底面的周长，即，可得， ∴， 圆锥的体积为， 圆锥的侧面积为， ∵圆锥体积的值与侧面积的值之比为， ∴，化简可得，解得， ∴圆锥的高． 故答案为：4． 12．二面角的度数为70°，点M是二面角内的一点，过M作于A，于B，那么 （填度数）. 【答案】 【分析】设平面交于点，连接，可得平面，再得出为二面角的平面角，再在四边形求角即可. 【详解】因为，所以确定一个平面， 设平面交于点，连接， 因为，，所以， 因为，，所以， 因为，都在平面内， 所以平面， 所以，即为二面角的平面角， 所以，因为，， 所以，同理， 且点都在平面内，所以四边形为平面四边形， 所以， 故答案为：. 13．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的 条件（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选择一个填入） 【答案】必要不充分 【分析】根据题意结合平面的性质即可得解. 【详解】空间中的三条直线不过同一个点， 当共面时，不一定两两相交，也可能两两平行，所以充分性不成立； 当三条直线两两相交时，直线一定共面，所以必要性成立. 故“共面”是“两两相交”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 14．如图所示，正四棱锥的三视图中正视图和左视图都是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的体积是 ． 【答案】/ 【分析】由三视图求出正四棱柱底面面积及高，代入体积公式即可得解. 【详解】正四棱锥的三视图中正视图和左视图都是边长为2的等边三角形， 所以正四棱锥的底面面积为， 正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图所示，已知矩形所在平面外一点，平面，，分别是，的中点．求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理及线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的判定定理及性质定理证明即可. 【详解】（1）取中点，连接，如图： 因为四边形为矩形，是中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面， 所以，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，因为，所以. 16．如图，，平面平面.    (1)求证：面面. (2)求与面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，结合面面垂直的性质定理，可得平面，继而得到，根据线面垂直的判定定理，可得平面，结合面面垂直判定定理，即可求证结论成立. （2）根据题意，取的中点O，连接，易证平面，继而得到为直线与平面所成角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】（1）因为，即， 又平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面， 所以， 又，即， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）    取的中点O，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 设，则，， 所以， 在中， ， 即与面所成角的正切值为. 17．如图，在棱长为的正方体中，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）首先利用中位线定理证明线线平行，然后利用线面平行的判定定理证明即可. （2）利用体积相等即可得到点到平面的距离. 【详解】（1）连结交于点，连结， 易知是的中点，又是的中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. （2）因为是的中点，棱长为2， 所以， 又因为是的中点， 所以 又因为， 所以， 设点到平面的距离为，因为， 所以， 即， 解得， 即点到平面的距离为. 18．如图所示，在三棱锥中，已知，，，求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1)60°. (2) 【分析】（1）根据两个等腰三角形共公共边，利用垂面法即可作出二面角的一个平面角并利用解三角形求解； （2）分解为两个全等的三棱锥即可求解. 【详解】（1）如图所示，取AB的中点D，连接PD，CD．    ∵，，即， ∴是等腰直角三角形，且，. 又∵，，即， ∴是等腰直角三角形，且，. ∴是二面角的一个平面角. 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 所以二面角的大小为. （2）由（1）知， 且面， ∴平面，即有： . 所以三棱锥的体积为. 试卷第2页，共8页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $