第17卷 立体几何（一）2026年河北省对口升学《数学45分钟模拟卷》

编写说明：2026年河北省（对口升学）《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年河北省（对口升学）数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共30份试卷，本卷是河北省（对口升学）《数学45分钟模拟卷》的第17卷，是专题模拟卷。 2026年河北省对口升学 第17卷 立体几何（一） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分）.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（    ）    A．   B．   C．   D．   2．下列论述一定正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点 3．棱长为a的正方体体积为，将其棱长扩大为原来的2倍，则体积为（    ） A． B． C． D． 4．在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．若正方体的表面积为，则正方体外接球的表面积为（   ） A．48 B． C． D． 6．在正方体中，直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．已知m是直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．已知某圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 9．在正方体中，平面与平面所成的二面角的度数是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，分别是空间四边形四条边，，，的中点，且，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11．长方体的长、宽、高分别为3，4，5，则它的体对角线长为 ． 12．一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积是 . 13．水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于 .    14．已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为 . 三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知圆的直径为，是圆周上不同于的点，为圆外点，平面PEO.    (1)求证：点为的中点; (2)若平面平面，求证：. 16．如图，已知矩形所在平面，E，F分别是，的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求点P到的距离． 17．如图，是矩形所在平面外一点，是等边三角形，且平面平面. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成的角. 18．如图所示，在三棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，E是的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正切值． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年河北省（对口升学）《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年河北省（对口升学）数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共30份试卷，本卷是河北省（对口升学）《数学45分钟模拟卷》的第17卷，是专题模拟卷。 2026年河北省对口升学 第17卷 立体几何（一） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分）.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据三视图作出该几何体的直观图即可判断. 【详解】由题意，作出该几何体的直观图如下图，    则ABD不符，C符合， 故选：C. 2．下列论述一定正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点 【答案】D 【分析】利用空间几何中平面与直线的位置关系，平面的确定、线面平行的性质即可求解. 【详解】经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，故A错误； 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条直线与这个平面平行或在此平面内，故B错误； 垂直于同一条直线的两条直线可能互相平行、异面或相交，故错误； 若直线与平面平行，则直线与平面无公共点，故正确． 故选：D. 3．棱长为a的正方体体积为，将其棱长扩大为原来的2倍，则体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的体积公式求解即可. 【详解】因为棱长为，则其棱长扩大为原来的2倍后为, 则扩大后的体积为. 故选：C. 4．在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意结合共面直线与异面直线的定义即可得解. 【详解】   选项中，如图所示，连接， 因为，所以四点共面，所以与共面，故正确； 选项中，与为异面直线， 故选：. 5．若正方体的表面积为，则正方体外接球的表面积为（   ） A．48 B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意求出正方体的体对角线长，进而得到正方体外接球的半径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】设正方体的棱长为．由题意得，解得， 所以正方体的体对角线，故正方体外接球的半径， 因此外接球的表面积． 故选：B. 6．在正方体中，直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到异面直线所成角易得答案. 【详解】连接，如图所示    因为正方体中，所以， 所以是直线与所成的角， 因为分别是边长相等的对角线， 所以是正三角形， 所以. 故选：C. 7．已知m是直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据线面，面面的位置关系判断ACD；根据线面垂直的性质可判断B. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，根据线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，若，，则或相交，故C错误； 对于D，若，，则或，故D错误， 故选：B. 8．已知某圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的结构特征，体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为， 所以圆锥的高为， 则圆锥的体积为. 故选：B. 9．在正方体中，平面与平面所成的二面角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方体的特征，找出所求二面角的平面角即可得解. 【详解】如图，在正方体中， 平面，平面， 所以，又， 所以为平面与平面所成的二面角的平面角， 因为为正方形，所以， 即平面与平面所成的二面角的度数是. 故选：C. 10．已知，，，分别是空间四边形四条边，，，的中点，且，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】如图，在中，易证且，同理有且，故且，所以四边形是平行四边形. 在中，易证，结合，可得，所以四边形为菱形. 【详解】    由图，在中，，分别，的中点， 所以且， 同理，且， 所以且. 所以四边形是平行四边形. 在中，，分别，的中点， 所以， 又， 所以. 故四边形为菱形. 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11．长方体的长、宽、高分别为3，4，5，则它的体对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据长方体的体对角线长的公式计算即可. 【详解】因为长方体的长、宽、高分别为3，4，5， 所以长方体的体对角线长为． 故答案为：. 12．一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积是 . 【答案】 【分析】根据题意，结合圆柱的侧面展开图，可知圆柱的底面周长和高，继而求得圆柱的底面半径，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱侧面展开图是边长为的正方形， 即圆柱底面周长，高， 所以圆柱的底面半径， 所以圆柱体积. 故答案为：. 13．水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于 .    【答案】4 【分析】根据题意，结合斜二测画法，即可求解. 【详解】因为直观图中，， 所以中，， 所以的面积. 故答案为：4. 14．已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】由直线与平面所成角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】 作于点,连接如图所示. 线段即为点到平面的距离,是在平面的射影. 所以为直线与平面所成的角. 所以. 又因为. 所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为:. 三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知圆的直径为，是圆周上不同于的点，为圆外点，平面PEO.    (1)求证：点为的中点; (2)若平面平面，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的性质证出线线平行即，再由中点得到为的中位线即可证明为中点. （2）由圆的直径所对圆周角为直角证出，再根据面面垂直性质证明平面，即可证明平面，进而证明. 【详解】（1）证明：因为平面，且平面， 平面平面，所以， 又因为为直径的中点，所以为的中位线， 所以为中点. （2）因为为圆O的直径，C为圆周上一点， 所以，所以. 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 又由（1）知，，所以平面. 又因为平面，所以. 16．如图，已知矩形所在平面，E，F分别是，的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求点P到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：构造平行四边形，由线面平行的判定定理证明即可. 方法二：由面面平行的性质定理证明即可. （2）由线面垂直证明线线垂直，即可得到为点P到的距离，利用边的关系求解即可. 【详解】（1）证法一： 如图所示，取中点M，连接，， 在三角形中，是中位线，所以且， 由于为矩形，所以且， 又因为E为的中点，所以且， 可得为平行四边形，所以， 因为不在平面内，在平面内， 故平面．    证法二： 取中点H，连接，， 因为E，F，H分别是，，的中点，所以，， 因为不在平面内，在平面内， 所以平面， 同理可证平面， 又由于和交于H点，在平面内, 从而平面平面， 又因为在平面内， 故平面．    （2）由于平面，在平面内，故， 又因为为矩形，所以， 又因为垂直于平面内的两条相交直线， 所以平面，在平面内，故， 因此为点P到的距离， 在直角三角形中，，． 由勾股定理． 故． 17．如图，是矩形所在平面外一点，是等边三角形，且平面平面. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用题目条件及矩形的性质找到相关垂直关系求解即可. （2）要求与平面所成的角，需要找到在平面上的射影，然后通过解三角形求出该角. 【详解】（1）平面平面，平面平面， 在矩形中，， 平面， 平面， 平面平面. （2） 取的中点，连接， 是等边三角形，， 平面平面，平面平面， 平面， 是在平面内的射影， 就是与平面所成的角. 在等边中，， 在矩形中，， 在中，， 即与平面所成的角为. 18．如图所示，在三棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，E是的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理即可证明线线垂直； (2)先根据直线与直线垂直找到二面角的平面角，再利用几何关系，构造直角三角形即可求解. 【详解】（1）如图所示，取中点O，连接，， ∵，O为AC中点，∴， ∵为等边三角形，∴， ∵，平面， ∴平面， ∵平面，∴． （2）过O作于点M，连接， ∵平面平面，平面平面，， ∴平面，平面，∴， ∵，，平面， ∴平面，平面，∴， ∴即为二面角的平面角． 在Rt中，，，，∴， ∵E是等边三角形的边的中点，∴， 又∵，∴， ∵的中点是O，∴， 在Rt中，，， ∴二面角的正切值为． 试卷第2页，共8页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $