第二十一章 专题7 四边形中的折叠与最值问题（教师用书）-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

[答案 P18] 折叠问题　　 方法指导：①折叠(轴对称)是一种全等变换，折叠前后的部分是全等图形．②折痕既可看作垂直平分线(对应点之间的连线被折痕垂直平分)，又可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等).③解四边形折叠问题，要转化为三角形问题，常需要寻找或构造直角三角形，利用勾股定理求解． 1．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为(B) A．102° B．112° C．122° D．92° 1题图 2题图 2．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE.若AB＝4，BC＝3，则线段B′D′的长是(D) A． B．2 C． D．1 3．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2.P为对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点恰好落在对角线AC上的点G处，若△CBG是等腰三角形时，则AP的长为(B) A．3－或 B．3－或2 C．6－2或4 D．6－2或 3题图 4．如图，正方形ABCD的边长为6 cm，E为BC的中点，将△CDE沿直线DE折叠，使点C落在点F处，延长EF交AB于点G，连接BF，则△BEF的面积为 cm2． 4题图 5．如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得到△A′PB． (1)如图②所示，当PA′⊥BC时，求线段PA的长度； (2)当∠DPA′＝10°时，求∠APB的度数． 5题图①　 　 5题图②　 解：(1)PA＝5＋5. (2)①当PA′在直线AD的右侧时，如答图②. ∵∠DPA′＝10°，∴∠APA′＝180°－∠DPA′＝180°－10°＝170°. 由翻折的性质可知∠APB＝×170°＝85°； ②当PA′在直线AD的左侧时，如答图③. ∠APB＝∠A′PB＝(180°＋10°)＝95°； ③当点P在AD的延长线上时，如答图④. 由折叠知∠APB＝∠A′PB＝∠DPA′＝5°. 故∠APB的度数为85°或95°或5°. 5题答图②　 5题答图③ 　 5题答图④　 (详细答案见《参考答案及解析》P18) 6．如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使点A，C重合，AC与EF交于点H. (1)求证：AE＝AF； (2)若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积． 6题图 (1)证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC． 由折叠的性质，得∠AEF＝∠FEC， ∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF. (2)解：根据折叠的性质可得AE＝EC． 设BE＝x，则AE＝EC＝8－x. 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AB2＋BE2＝AE2， 即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3， ∴BE＝3，∴S△ABE＝AB·BE＝×4×3＝6. 7．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF. (1)求证：△ABG≌△AFG； (2)求BG的长； (3)求△FGC的面积． 7题图 (2)解：BG＝3. (3)解：S△FGC＝. (详细答案见《参考答案及解析》P18) 最值问题　　 角度一　两定点＋一动点→两条线段和的最小值 方法指导： 基本 模型 如图，A，B为直线l同侧的两个定点，P是直线l上的动点，求PA＋PB的最小值 思路 方法 (1)找点：如图，找定点关于动点所在直线的对称点，化“折”为“直”，则AB′的长即为PA＋PB的最小值；(2)求值：利用勾股定理求出线段AB′的长 8.(赤峰中考)如图，菱形ABCD的顶点A，B，C，D均在坐标轴上，∠ABC＝120°，点A(－3，0)，E是CD的中点，P是OC上的一动点，则PD＋PE的最小值是(A) A．3 B．5 C．2 D． 8题图 9题图 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，AD，CE是△ABC的两条中线，P是中线AD上的一个动点，则BP＋EP的最小值为(B) A．2 B． C．1 D． 角度二　一定点＋两动点→两条线段和的最小值 方法指导： 基本 模型 如图，BC是∠MBN的平分线，A是BM上的一个定点，E，D分别是BA，BC上的两个动点，求DA＋DE的最小值 思路 方法 (1)找点：如图，找点A关于BC的对称点A′，实现化“折”为“直”，过点A′作A′E⊥AB于点E，交BC于点D，则A′E的长即为DA＋DE的最小值；(2)求值：利用勾股定理求出A′E的长 10.如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°.若M，N分别为线段DB，AB上的两个动点，则AM＋MN的最小值为15． 10题图 11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，求AE＋AF的最小值． 11题图 11题答图 解：连接BF，作点B关于CD对称点B′，连接AB′，B′F，如答图． 因为AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，BE＝CF， 所以△ABE≌△BCF， 所以AE＝BF，所以AE＋AF＝AF＋BF. 由对称性知BF＝B′F，所以AE＋AF＝AF＋B′F. 当A，F，B′三点共线时距离最小为AB′， AB′＝＝＝2. 故AE＋AF的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $