寒假巩固 第八单元 数学广角——优化（讲义）-2025-2026学年四年级上册数学人教版

人教版四年级上册数学第八单元（数学广角-优化）复习资料 第一部分 单元知识点清单 一、单元导学 1. 学习目标 本单元通过生活中的实际问题，学习运用"优化思想"解决问题，培养以下能力： 能力目标 具体表现 统筹规划 合理安排做事顺序，提高效率 最优化思维 从多种方案中选择最优方案 逻辑推理 分析问题，比较不同方案 实际应用 解决生活中的实际问题 2. 单元内容结构 数学广角-优化 烙饼问题（合理安排时间） 沏茶问题（同时做两件事） 排队问题（如何安排顺序） 策略问题（田忌赛马） 实际应用（生活中的优化） 二、烙饼问题（合理安排时间） 1. 基本概念 烙饼规则： • 用平底锅烙饼 • 每次只能烙2张饼 • 每张饼需要烙两面（正面、反面） • 每面需要烙一定的时间 目标： 用最短的时间烙完所有的饼 2. 烙1-2张饼 烙1张饼： 饼的编号 正面 反面 总时间 第1张饼 烙 烙 2个时间单位 图示说明： 烙1张饼（每次烙1面） 时间1：第1张饼（正面） 时间2：第1张饼（反面） 总时间 = 2个时间单位 烙2张饼： 时间 锅里 说明 第1个时间单位 第1张正面 + 第2张正面 同时烙2张饼的正面 第2个时间单位 第1张反面 + 第2张反面 同时烙2张饼的反面 图示说明： 烙2张饼（每次烙2面） 时间1：第1张（正面） + 第2张（正面） 时间2：第1张（反面） + 第2张（反面） 总时间 = 2个时间单位 重要结论： 烙1张饼和烙2张饼，时间相同，都是2个时间单位！ 3. 烙3张饼（重点） 方案一：一张一张烙（不优化的方案） 时间 锅里 说明 1 第1张正面 只烙了1面 2 第1张反面 完成第1张 3 第2张正面 只烙了1面 4 第2张反面 完成第2张 5 第3张正面 只烙了1面 6 第3张反面 完成第3张 总时间：6个时间单位 问题： 锅里经常只有1张饼，浪费了烙另一张饼的机会 方案二：优化方案（交叉烙法） 时间 锅里 说明 1 第1张正面 + 第2张正面 同时烙2张 2 第1张反面 + 第3张正面 第1张完成，换第3张 3 第2张反面 + 第3张反面 完成第2张和第3张 图示说明： 烙3张饼（交叉烙法） 时间1：第1张（正面） + 第2张（正面） 时间2：第1张（反面） + 第3张（正面） 时间3：第2张（反面） + 第3张（反面） 总时间 = 3个时间单位 总时间：3个时间单位 重要结论： 烙3张饼，最少需要3个时间单位！ 4. 烙4张及以上 烙4张饼： • 可以分成：2张 + 2张 • 第1批：2张，需要2个时间单位 • 第2批：2张，需要2个时间单位 • 总时间：4个时间单位 烙5张饼： • 可以分成：2张 + 3张 • 第1批：2张，需要2个时间单位 • 第2批：3张，需要3个时间单位（用交叉烙法） • 总时间：5个时间单位 烙6张饼： • 可以分成：2张 + 2张 + 2张 • 第1批：2张，需要2个时间单位 • 第2批：2张，需要2个时间单位 • 第3批：2张，需要2个时间单位 • 总时间：6个时间单位 或者： • 可以分成：3张 + 3张 • 第1批：3张，需要3个时间单位 • 第2批：3张，需要3个时间单位 • 总时间：6个时间单位 5. 烙饼问题的公式（重点） 最优时间的计算方法： 饼的数量 最少时间 计算方法 1张 2个时间单位 1×2 = 2 2张 2个时间单位 2×1 = 2 3张 3个时间单位 3×1 = 3 4张 4个时间单位 4×1 = 4 5张 5个时间单位 5×1 = 5 6张 6个时间单位 6×1 = 6 ... ... ... n张 n个时间单位 n×1 = n 重要规律： 烙饼问题的最优时间规律： - 烙1张饼：2个时间单位 - 烙2张及以上：饼的数量 = 最少时间 前提：每次只能烙2张饼 6. 烙饼问题的关键要点 关键点 说明 锅要充分利用 每次都要烙2张饼（除了只有1张的情况） 交叉烙法 烙3张饼时，要交替放入，避免只有1张饼 分组烙法 烙4张及以上时，可以分组（2张+2张）或（3张+3张） 核心规律 烙2张及以上，最少时间 = 饼的数量 三、沏茶问题（同时做两件事） 1. 问题情境 妈妈沏茶的流程： • 洗水壶：1分钟 • 烧水：8分钟 • 洗茶杯：2分钟 • 找茶叶：1分钟 • 沏茶：1分钟 目标： 用最短的时间沏好茶 2. 方案一：按顺序一件一件做（不优化） 步骤 做的事 累计时间 1 洗水壶 1分钟 2 烧水 1+8=9分钟 3 洗茶杯 9+2=11分钟 4 找茶叶 11+1=12分钟 5 沏茶 12+1=13分钟 总时间：13分钟 问题： 有些事情可以同时做，但这件一件做，浪费时间 3. 方案二：优化方案（同时做两件事） 思路分析： • 烧水需要8分钟，这段时间可以同时做别的事情 • 洗茶杯和找茶叶可以在烧水的同时进行 最优安排： 步骤 同时做的事 用时 第1件事 洗水壶 1分钟 第2件事 烧水（8分钟）同时：洗茶杯（2分钟）+ 找茶叶（1分钟） 8分钟 第3件事 沏茶 1分钟 总时间：1+8+1=10分钟 图示说明： 不优化方案： ┌──┐ ┌────┐ ┌──┐ ┌──┐ ┌──┐ 洗 烧 洗 找 沏 壶 水 杯 叶 茶 1' 8' 2' 1' 1' ──────────────────→ 13分钟 优化方案： ┌──┐ ┌────┐ ┌──┐ 洗 烧 沏 壶 水 茶 1' 8' 1' │ │ ┌──┴──┴──┐ 洗茶杯 找茶叶 2' 1' ──────────→ 10分钟 4. 沏茶问题的关键要点 要点 说明 找出可以同时做的事 分析哪些事情可以同时进行 确定做事顺序 有些事情必须先做，如"烧水前必须洗水壶" 计算总时间 找出最长的那条时间线 核心思想 同时做两件事，节省时间 四、排队问题（如何安排顺序） 1. 问题情境 情况一：只有一个收银台 顾客 购买数量 每人结账时间 小红 3件 2分钟 小明 5件 3分钟 小刚 2件 1分钟 小华 4件 2分钟 目标： 安排合理的排队顺序，使总等待时间最短 2. 排队问题的规律 顾客 购买数量 结账时间 小刚 2件 1分钟（最少） 小红 3件 2分钟 小华 4件 2分钟 小明 5件 3分钟（最多） 最优排队顺序：按结账时间从少到多排列 小刚（1分钟） → 小红（2分钟） → 小华（2分钟） → 小明（3分钟） 3. 计算总等待时间 排队顺序 等待时间计算 累计等待时间 小刚（1分钟） 等待0分钟 0分钟 小红（2分钟） 等待小刚的时间：1分钟 1分钟 小华（2分钟） 等待小刚+小红的时间：1+2=3分钟 3分钟 小明（3分钟） 等待小刚+小红+小华的时间：1+2+2=5分钟 5分钟 每个人等待的时间： • 小刚：等待0分钟，结账1分钟 • 小红：等待1分钟，结账2分钟 • 小华：等待3分钟，结账2分钟 • 小明：等待5分钟，结账3分钟 总等待时间：0+1+3+5=9分钟 总完成时间：1+2+2+3=8分钟 4. 排队问题的关键要点 要点 说明 按时间排序 时间短的排在前面 减少等待 时间短的人先办，减少后面人的等待时间 公平合理 这是最公平、最高效的安排 应用场景 理发店、银行、超市排队等 五、田忌赛马（策略问题） 1. 故事背景 比赛规则： • 齐王和田忌各有3匹马（上等、中等、下等） • 每场比赛各出1匹马，共比赛3场 • 赢1场得1分，输1场得0分 马的速度对比： 马的等级 齐王的马 田忌的马 速度对比 上等马 上等 上等 齐王的上等马更快 中等马 中等 中等 齐王的中等马更快 下等马 下等 下等 齐王的下等马更快 2. 方案一：硬拼（不优化） 田忌的策略：用同等马对抗齐王的马 场次 齐王的马 田忌的马 结果 比分 第1场 上等马 上等马 田忌输 齐王1:0 第2场 中等马 中等马 田忌输 齐王2:0 第3场 下等马 下等马 田忌输 齐王3:0 结果： 齐王3:0获胜 问题： 硬拼会输掉所有比赛 3. 方案二：优化策略（孙膑的计策） 田忌的策略：下等马对齐王的上等马 场次 齐王的马 田忌的马 结果 比分 第1场 上等马 下等马 田忌输 齐王1:0 第2场 中等马 上等马 田忌赢 齐王1:1 第3场 下等马 中等马 田忌赢 田忌2:1 结果： 田忌2:1获胜 4. 田忌赛马的关键要点 要点 说明 牺牲局部 牺牲一场，换取两场的胜利 最优策略 最弱的马对对方最强的马 以退为进 看似输了，实则赢了整体 策略思维 用智慧战胜实力 六、生活中的优化问题 1. 做饭问题 问题： 妈妈要做饭，有以下几个步骤，如何安排最省时间？ • 洗菜：5分钟 • 切菜：3分钟 • 炒菜：8分钟 | 洗碗：3分钟 | 烧水：5分钟（可以做其他事） | 煮饭：10分钟（可以做其他事） 优化方案： 步骤 同时做的事 用时 1 洗菜 5分钟 2 切菜 3分钟 3 炒菜（8分钟）<br>同时：煮饭（10分钟）开始 8分钟 4 烧水（5分钟）<br>同时：洗碗（3分钟） 5分钟 5 等待煮饭完成（剩下2分钟） 2分钟 总时间：5+3+8+5+2=23分钟 2. 写作业问题 问题： 小明要做5项作业，分别需要10分钟、15分钟、20分钟、25分钟、30分钟，如何安排最省时间？ 分析： 这是独立任务，不涉及同时做，但可以按顺序安排 优化方案： 先做简单的，再做难的 顺序 作业 用时 累计时间 1 作业1 10分钟 10分钟 2 作业2 15分钟 25分钟 3 作业3 20分钟 45分钟 4 作业4 25分钟 70分钟 5 作业5 30分钟 100分钟 总时间：100分钟 3. 打印文件问题 问题： 打印机打印4份文件，分别需要3分钟、5分钟、7分钟、9分钟，如何安排？ 分析： 打印机一次只能打一份文件，需要按顺序打印 优化方案： 先打印短的，再打印长的 顺序 文件 用时 累计时间 1 文件1 3分钟 3分钟 2 文件2 5分钟 8分钟 3 文件3 7分钟 15分钟 4 文件4 9分钟 24分钟 总时间：24分钟 七、本单元重点与难点 重点 1. 理解优化思想，学会合理安排顺序 2. 掌握烙饼问题的规律 3. 学会同时做两件事的方法 4. 理解排队问题的最优策略 5. 掌握田忌赛马的策略思维 难点 1. 烙饼问题中烙3张饼的交叉烙法 2. 找出可以同时做的事 3. 计算最优方案的总时间 4. 理解"牺牲局部，赢得整体"的策略 八、优化思想的核心原则 原则 说明 示例 同时做 可以同时做的事，尽量同时做 烧水时可以洗茶杯 顺序对 必须有先后顺序的事，按逻辑顺序做 洗水壶→烧水→沏茶 从少到多 多项任务按时间从少到多排列 排队问题 牺牲局部 牺牲少量时间，换取整体最优 田忌赛马 资源利用 充分利用资源，避免浪费 烙饼时锅要满 九、单元口诀速记 优化问题有妙法，统筹安排效率高。 烙饼问题规律找，一二相同是两格。 三张饼，交叉烙，充分利用锅两只。 四张以上分批烙，时间等于饼数。 沏茶问题找同时，烧水八分做别事。 洗杯找茶一起做，节省时间最有效。 排队问题从短排，时间短的站前排。 减少等待更公平，总时最少最合理。 田忌赛马有策略，牺牲局部赢整体。 下马对上赢后面，以退为进显智慧。 优化思想记心间，生活处处都能用。 合理安排巧安排，省时省力又省心！ 第二部分 单元检测练习 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 用平底锅烙饼，每次只能烙（ ）张饼，两面都要烙，每面需要的时间相同。 2. 烙1张饼需要（ ）分钟，烙2张饼需要（ ）分钟。 3. 烙3张饼，最少需要（ ）分钟，这种方法叫（ ）。 4. 烙4张饼，最少需要（ ）分钟；烙6张饼，最少需要（ ）分钟。 5. 烙饼问题的规律：烙（ ）张及以上，最少时间等于（ ）。 6. 沏茶时，洗水壶需要1分钟，烧水需要8分钟，洗茶杯需要2分钟，找茶叶需要1分钟，沏茶需要1分钟。最少需要（ ）分钟。 7. 烧水的时候可以同时做（ ）和（ ）。 8. 排队问题时，应该让（ ）的人先做，这样可以减少（ ）。 9. 田忌赛马的故事中，田忌用（ ）马对齐王的（ ）马，最终（ ）。 10. 优化思想的核心是（ ）、（ ）、（ ）。 二、判断题（每题2分，共10分） 1. 烙1张饼和烙2张饼用的时间相同。（ ） 2. 烙3张饼时，一张一张烙最快。（ ） 3. 沏茶时，所有事情都可以同时做。（ ） 4. 排队时，应该让时间长的人先办。（ ） 5. 田忌赛马告诉我们，有时候输掉一场可以赢得整体。（ ） 三、选择题（每题3分，共15分） 1. 烙3张饼，最少需要（ ）分钟。（每面烙1分钟） A. 3 B. 4 C. 6 2. 用平底锅烙饼，每次只能烙2张，烙7张饼最少需要（ ）分钟。（每面烙1分钟） A. 7 B. 14 C. 21 3. 洗碗需要5分钟，烧水需要10分钟，最少需要（ ）分钟完成这两件事。 A. 5 B. 10 C. 15 4. 4个人排队理发，分别需要8分钟、10分钟、12分钟、15分钟，安排合理的顺序，等待时间最少的排在（ ）。 A. 第一个 B. 第二个 C. 最后一个 5. 田忌赛马中，田忌的策略是（ ）。 A. 用上等马对上等马 B. 用下等马对上等马 C. 用中等马对下等马 四、烙饼问题（20分） 1. 用平底锅烙饼，每次只能烙2张，每面需要烙3分钟。（10分） （1）烙1张饼需要多少分钟？（3分） （2）烙2张饼需要多少分钟？（3分） （3）烙3张饼需要多少分钟？请说明烙的方法。（4分） （4）烙5张饼最少需要多少分钟？（5分） 2. 早餐店用平底锅烙饼，每次只能烙2张，每面需要烙2分钟。（10分） （1）烙3张饼最少需要多少分钟？（5分） （2）烙8张饼最少需要多少分钟？（5分） 五、沏茶问题（15分） 1. 小红要给客人沏茶，需要做以下事情：（15分） 做的事 用时 洗水壶 2分钟 烧水 10分钟 洗茶杯 3分钟 找茶叶 1分钟 沏茶 1分钟 （1）怎样安排最省时间？请写出安排步骤。（5分） （2）最少需要多少分钟？（5分） （3）在烧水的时候可以同时做什么事？（5分） 六、排队问题（10分） 1. 医院只有一位医生，有5位病人分别需要看病6分钟、8分钟、10分钟、12分钟、15分钟。（10分） （1）怎样安排看病顺序最合理？（5分） （2）如果按照合理顺序，第4位病人需要等待多少分钟？（5分） 七、田忌赛马问题（10分） 1. 某校举行跳绳比赛，三（1）班和三（2）班各派3名同学比赛，每人跳一次。（10分） 三（1）班的成绩：150次、130次、110次 三（2）班的成绩：160次、140次、120次 （1）如果按成绩对等比赛（最高对最高），三（1）班会赢吗？（5分） （2）三（1）班如何安排才能获胜？请写出策略。（5分） 附：参考答案 一、填空题 1. 2 2. 2；2 3. 3；交叉烙法 4. 4；6 5. 2；饼的数量 6. 10 7. 洗茶杯；找茶叶 8. 时间短；等待时间 9. 下等；上等；获胜 10. 合理安排；统筹规划；提高效率 二、判断题 1. √（都是2个时间单位） 2. ×（应该用交叉烙法） 3. ×（有些事情必须先做，如洗水壶） 4. ×（应该让时间短的人先办） 5. √ 三、选择题 1. A（烙3张饼最少需要3分钟） 2. A（烙7张饼最少需要7分钟） 3. B（烧水需要10分钟，洗碗可以在烧水时做） 4. A（时间最少的排在第一个） 5. B（用下等马对齐王的上等马） 四、烙饼问题 1. 烙饼问题（每面烙3分钟） （1）烙1张饼需要多少分钟？ 解：1张饼有2面，每面需要3分钟 2×3=6（分钟） 答：烙1张饼需要6分钟。 （2）烙2张饼需要多少分钟？ 解：2张饼可以同时烙，每面需要3分钟，共2面 2×3=6（分钟） 答：烙2张饼需要6分钟。 （3）烙3张饼需要多少分钟？请说明烙的方法。 解：用交叉烙法 时间 锅里 说明 第1个3分钟 第1张正面 + 第2张正面 同时烙2张 第2个3分钟 第1张反面 + 第3张正面 第1张完成，换第3张 第3个3分钟 第2张反面 + 第3张反面 完成第2张和第3张 答：烙3张饼需要9分钟。 （4）烙5张饼最少需要多少分钟？ 解：烙5张饼可以分成：2张 + 3张 • 第1批2张：2×3=6分钟 • 第2批3张：3×3=9分钟（用交叉烙法） • 总时间：6+9=15分钟 或者直接用公式：5×3=15分钟 答：烙5张饼最少需要15分钟。 2. 早餐店烙饼（每面烙2分钟） （1）烙3张饼最少需要多少分钟？ 解：用交叉烙法，每面烙2分钟，共烙3次 3×2=6（分钟） 答：烙3张饼最少需要6分钟。 （2）烙8张饼最少需要多少分钟？ 解：烙8张饼可以分成：2张 + 2张 + 2张 + 2张 • 每批2张需要：2×2=4分钟 • 4批共：4×4=16分钟 或者直接用公式：8×2=16分钟 答：烙8张饼最少需要16分钟。 五、沏茶问题 小红沏茶问题 （1）怎样安排最省时间？请写出安排步骤。 步骤安排： 1. 第一步：洗水壶（2分钟） 2. 第二步：烧水（10分钟），同时洗茶杯（3分钟）和找茶叶（1分钟） 3. 第三步：沏茶（1分钟） （2）最少需要多少分钟？ 解：2 + 10 + 1 = 13（分钟） 答：最少需要13分钟。 （3）在烧水的时候可以同时做什么事？ 答：在烧水的时候可以同时洗茶杯和找茶叶。 六、排队问题 医院看病问题 （1）怎样安排看病顺序最合理？ 病人看病时间： • 病人1：6分钟 • 病人2：8分钟 • 病人3：10分钟 • 病人4：12分钟 • 病人5：15分钟 合理顺序： 按时间从少到多排列 病人1（6分钟）→ 病人2（8分钟）→ 病人3（10分钟）→ 病人4（12分钟）→ 病人5（15分钟） （2）如果按照合理顺序，第4位病人需要等待多少分钟？ 第4位病人是病人4（需要12分钟） 等待时间 = 前面3位病人的看病时间之和 = 6 + 8 + 10 = 24（分钟） 答：第4位病人需要等待24分钟。 七、田忌赛马问题 跳绳比赛问题 （1）如果按成绩对等比赛（最高对最高），三（1）班会赢吗？ 按成绩对等比赛： 场次 三（1）班 三（2）班 结果 比分 第1场 150次（最高） 160次（最高） 三（1）班输 三（2）班1:0 第2场 130次（中等） 140次（中等） 三（1）班输 三（2）班2:0 第3场 110次（最低） 120次（最低） 三（1）班输 三（2）班3:0 答：如果按成绩对等比赛，三（1）班会输，三（2）班3:0获胜。 （2）三（1）班如何安排才能获胜？请写出策略。 优化策略：用最低的队员对三（2）班最高的队员 场次 三（1）班 三（2）班 结果 比分 第1场 110次（最低） 160次（最高） 三（1）班输 三（2）班1:0 第2场 150次（最高） 140次（中等） 三（1）班赢 比分1:1 第3场 130次（中等） 120次（最低） 三（1）班赢 三（1）班2:1 答：三（1）班的策略是：第一场用110次的队员对160次的队员，第二场用150次的队员对140次的队员，第三场用130次的队员对120次的队员，最终三（1）班2:1获胜。 复习小贴士 1. 烙饼问题速记口诀 烙饼问题有规律，一张两张时间同。 三张饼，交叉烙，充分利用锅两只。 四张以上分批烙，时间等于饼数。 每面时间乘饼数，最短时间快算出！ 2. 沏茶问题速记口诀 沏茶问题找同时，烧水时做别的事。 洗杯找茶一起做，节省时间最有效。 先算最长那件事，同时做事不费时。 总时就是最长时，合理安排显智慧！ 3. 排队问题速记口诀 排队问题从短排，时间短的站前排。 减少等待更公平，总时最少最合理。 从少到多排一排，等待时间最少算。 先做短来后做长，大家等待都少等！ 4. 田忌赛马速记口诀 田忌赛马有策略，牺牲局部赢整体。 下马对上赢后面，以退为进显智慧。 输掉一场赢两场，整体获胜笑开颜。 策略思维记心间，生活处处都能用！ 5. 优化思想应用场景 场景 优化方法 做饭 洗菜时烧水，炒菜时煮饭 洗衣服 洗衣服时可以拖地 做作业 先做简单的，再做难的 排队 时间短的先办 比赛 制定策略，用智慧战胜实力 打印 先打印短的，再打印长的 出行 选最短路线，避免堵车 6. 常见易错点提醒 易错点 错误表现 正确做法 烙饼时间计算 忘记每面的时间 先算每面时间，再算总时间 烙3张饼 一张一张烙 用交叉烙法 沏茶顺序 所有事情同时做 必须先做洗水壶 排队顺序 时间长的先办 时间短的先办 田忌赛马 硬拼对等比赛 用下等马对上等马 优化思维 只顾局部，忽略整体 从整体考虑，求最优解 祝你复习顺利，考试取得好成绩！ 🎉 学科网（北京）股份有限公司 $