大家好，本节内容学习卡洛图化解将从以下三个方面展开学习。首先我们来明确最小项的定义，假设存在ABC3个逻辑变量，由它们构成的乘积项要满足两个条件。第一，每个成绩项必须包含三个因子，其每个变量都是其中一个因子。第二，每个变量要么以原变量的形式出现，比如ABC的形式出现，要么以反变量的形式，比如A非、B非、C非的形式出现，并且仅出现一次。满足这两个条件的成绩项共有八个，这八个成绩项就是三变量ABC的最小项。这里有个重要的推广结论，一个变量只有原变量和反变量两种形式，所以N个变量总共会有2的N次方个最小项。比如两个变量有四个最小项，四个变量就有二的4次方，16个最小项。所以最想象的定义是对于N个变量，如果P是一个含有N个因子的乘积，而且每个变量都以原变量或反变量的形式作为一个因子在P中出现，并且仅出现一次，那么就称P是这个N变量的一个最小项。为了让大家更直观的理解最小项，我们来看三变量最小项的真值表。从表中可以清晰的看到每个最小项在不同变量取值组合下的结果。基于这个增值表，我们可以总结出最小象的三个核心性质，这三个性质是后续化解的关键，大家一定要牢记。第一个，对于任何一个最小项，只有一组变量取值能让它的值为一，其余所有变量取值组合下，该最小项都为零。比如说ABC当都为000的时候，只有A非B非、C非能让它的取值为一，其他组合它的结果都为零。第二个，任意两个不同的最小项相乘，结果恒为零。第三，某一变量组的所有最小项相加结果恒为一。为了方便和使用最小项，通常用MI来表示下标。I是最小项的编号。编号的方法很简单，把让最小项取值为一的那组变量取值组合看作二进制数，再把二这这个二进制数转化为对应的十进制数，这个十进制数就是该最小项的编号。比如三变量中，变量取值000对应的最小项A非B非C非二进制数0，000转化为十进制数对应的就是0，所以它的编号是M0。取值001对应的最小项A非B非C编号就是M1。以此类推，须知一一对应的最小项为ABC编号就是M7。了解了最小项，我们再来看最小项表达式。任何一个逻辑函数都可以唯一地表示为最小项之和的形式，这种形式也叫标准与或表达式。也就是说一个逻辑函数只有一种最小项的表达形式，这是它的独特性。我们结合例子来学习，比如将Y等于AB加BC展开成最小项的表达式。具体做法就是把每个成绩项补全为最小项，AB可以乘上CC加CBC项可以乘上AC加A把它展开结果就等于ABC加上ABC加ACBC而ABCC我们可以写为110，ABC可以把它写为111，ACBC可以写为011。对应的最小项也就是对应的十进制数分别为67和3，所以对应的最小项分别就是M3项M5和M7，所以我们也可以写成YABC等于M3加M6加M7，或者是写成这样的形式。通过这种方式，逻辑函数就被清晰地标准化了。第二部分用卡洛图表示逻辑函数。首先要明确卡罗图是将最小项按照特定规则排列而成的方框图，它的构成遵循两个核心原则。第一个，N变量的卡罗图有2的N次方个小方块，每个小方块对一个最小项。第二个，几何相邻的小方块必须满足逻辑相邻，这里需要重点区分逻辑相邻和几何相邻。逻辑相邻指的是两个最小项只有一个变量的形式不同，其余变量均相同。这样的最小项可以通过公式合并。几何相邻包括三种情况，是紧挨在一起的小方块，二是同一行或者是同一列两端的小方块，三是将卡罗图对折后位置重合的小方块。这种相同的判断方式在五变量右变量卡罗图当中尤为实用。接下来我们学习卡洛图的画法，先从三变量入手，三变量卡诺图有二的3次方，也就是八个小方块。为了保证几何相邻，必须逻辑相邻的特点，变量取值按照00011110的循环码顺序排列，也就是相邻的变量，它们的取值只有一个变量不同，比如这个是00和01，这两个取值只有C的取值不同。同样这两个变量，01和11只有B的变量取值不同，11和10只有C的取值不同。横向放置的变量是B和C取值依次为000、111和10，纵向放置的是变量A取值为零和1，每个小方块对应一个最小值。比如它的最小项应该是A非B非C非对应的零的取值就是变量的非值，一的取值就是变量本身。我们同样可以写出一，这个项对应的最小项是A非B非CM3，这个最小项对应的内容应该是ACBCM2，这个对应的就是A取值为零，BC取值为一和0，所以这个值这个最小项对应的是A非BC非。同样我们可以写出M4，A取值为一，BC取值为00，所以M4为AB非C非M5A取值为一，BC取值为101，所以M为M5的最小项为ABCC同样MCABC取值分别为111，所以MM7对应的是ABCM6ABC取值分别为110，所以M6为ABCC。我们根据卡罗图可以得出这个是对应的在这一行的一头一尾，所以它们是属于相邻的关系，M4和M6也是在这一行的一头一尾，也是属于相邻的关系。再看四变量，也就是输入有AB和CD4个变量，总共有2的4次方，等于16个小方块。横向取值是C和D取值顺序为000111和10，纵向取值为A和B这两个变量取值的顺序为同样是000111和10。大家要注意四变脸卡洛图同样遵循循环相邻特征，上下左右相邻，两端也相邻，大对角线上对应的小方块不相邻。例如这个卡路图当中M12和M14是属于相邻的关系，M2和M10也是属于相邻关系，而M1和M4属于对角线上，所以它们不是属于相邻的关系。学会了卡洛图的结构，我们就能用它表示逻辑函数了。主要有4种方法。第一个从增值表画卡洛图，对应的方法是先根据变量个数画出卡洛图，再对照增值表中每个变量取值组合对应的函数值，在卡洛图相应的小方当中填0或者是填一。注意真值表和卡洛图的变量顺序可能不同，一定要准确对应。比如例一，已知Y的真值表要求画出Y的卡罗图。这个逻辑函数Y输入的变量有三个，ABC, 所以我们可以画出它的逻辑卡洛图，卡罗图的横向取的变量为BC纵向取得为A纵向取值分别是零和1，横向取值BC取值分别取000111和10。我们来看增值表哪些取值为1001，那么对应的去找到ABC取值分别为001001，这里取值为一再看010010这里取值也为一，还有是100100。好，这里取值也为一，最后一个是111，所以这里取值也为一，其他取值都为零，所以我们把零填上，这样我们就画出了卡洛图。第二个，从最想象的表达式画卡罗图，直接在表达式中所有最小项对应的小方块填一，其余小方块填零就可以。例如函数YABCD等于对应的最小项M0357 90 25这些项我们画出四变量的卡路图，同样横向取值为CD纵向取值为AB取值分别取000、111和10。AB的取值同样也是从000、111和10这样的顺序我们分别去查到M0。M0对应的是这个小方框，M3对应的是这个小方框，M5对应的这个M7对应的这个小方框，M12对应的是这个小方块，M15对应的是这个M9对应的是这个小方块，因为M9对应的是1001。好，我们有机就是去根据最小项它所对应的二进制数，找到对应的最小项，我们再画出卡洛图，在最小项对应的小方块当中填入一，其余的小方块当中填入0，所以我们就画出对应的卡洛图了。三从与或表达式画卡洛图，找出每个层级下包含的所有最小项，在这些最小项对应的小方块填一，其余填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。例如已知Y等于AB加ACD加ACBCD要求画出卡洛图。首先画出卡洛图的结构，AB变量画在纵向，CD变量在横向，取值分别取000、111和10。首先看第一项AB，AB包含A等于1，B等于一时，C和D的所有组合。那么我们在卡鲁图当中可以画出对应的四个小方块，取值都为一再来看第二项ACCD包含A等于1，C等于0，D等于一时B的两种组合。B可以取零也可以取一，所以我们可以画出它占这两个小方块。再来看第三项，ACBCD是特定取值对应的一个最小项取值分别取值为H0，BCD取值为111。所以我们去找到这一个所对应的小方块，将这些小方框填一就可，剩下的填上零就可以得到。从与或表达式画卡罗图，或者是我们把每一项展开为最小项的形式，再在卡洛图当中去找出来每一项所对应的位置。比如说第一项Y一等于AB展开成最小项的形式，后面乘上CC加D和DC加第一对应的把它展开，我们可以得到最小项对应的是分别是M12、M13、M14、M15之和。在卡罗图上我们就可以找出对应的区域是红色这块区域。再来看Y2等于ACCD，把它化为最小项的形式，乘上BC加B通过结合律把它展开，可以得到对应的两个最小项是M9和M13，那么对应的就是绿色的这块区域。再来看第三项，第三项就是最小项的形式，AABCD对应的就是M7这一项，也就是粉色区域所对应的这一项。第四，从一般表达式画卡洛图。先通过逻辑代数将一般形式，比如说含与非或非的表达式转换成与或表达式，再按第三种方法画卡罗图。第三部分卡诺图化简法。由于卡洛图两个相邻最小项中只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以合并相邻最小项可以利用这样的公式，比如A加AC等于1，AB加ABC等于A这样的话就可以消去一个或者是多个变量，从而使逻辑函数得到简化。来看合并最想象的规律合并相邻最想象的规律很明显，合并相邻的最小项可以消去变量。来看合并两个最小项可以消去一个变量，就比如说AB加ABC等于A而依次类推，我们可以得到合并四个最小项可以消去两个变量，合并八个最小项可以消去三个变量。以此类推。如果是合并2的N次方个最小项就可以消去N个变量。所以这里我们着重去找它对应的是多少个最小项二的多少次方，那么就可以消去多少个变量，两个最小项合并。比如A图，A图对应的M1这一项对应的是001，也就是A非B非C而M5这一项对应的是ABCC那么我们通过公式可以验证得到，我们提出BCC括号里剩下内容就是AC加A而AC加A等于1。所以这样提出来最终结果就等于B非C同样以此类推，我们可以得到B图M3的值是011011对应的就是ACBC而M2对应的是010，对应的最小项是ACBC同样合并了之后，得到的结果是A非B括号里的内容就剩下C加C非，而JC加C非等于一，所以最终结果等于ACB同样这样也是这样是这样的，相邻的两个，这两个下是这样相邻的。而这里这两个对应的是一行的一头一尾，也是属于相邻，可以合并这两项。同样这两项也是可以消消掉一个变量，这是两个最小项合并，我们通过上面的例子可以得到两个最小项合并可以消去一个变量，四个最小项合并。比如A图我们分别写出M3对应的最小项是ACBC，M2对应的是ACBC，M7对应的是ABCM6对应的是ABCC这两项结合和这两项分别来结合，结合的结果是ACB这两项结合结果是AB那再次结合这两项，用公式法我们可以得到验证，结果是等于B同样我们可以得到B图，这里也是四个相邻的最小项合并，可以得到它们的结果是AD我们不用公式法来看它们的结果怎么可以等于AD这里对应的A和B我们纵向看纵向变量A这个变量始终是保持不变的，所以我们就把它写在这里，A是保持不变。再来看横向，横向的变量，同样CD变量是从零一变到0，变到了一，而D这个变量始终保持不变，所以化解最后的结果是等于AD这样我们上下这样的形式也是属于相邻的关系。同样化解公式法我们就不再推导，看一下它的结果，如何快捷的得到它的结果是等于BCD。同样我们看纵向的变量，纵向的变量B这个变量始终是保持不变的，所以我们把B这个变量写在这里，而横向变量保持不变的是D这个变量，所以结果是BCD好，再来看这样的相邻关系，同样是左边和右边对应的头和尾，这样是属于数列的相邻关系，这样是四个角，四个角这样的相邻关系也是相邻关系，这个相邻关系大家要特别注意。同样我们来看它们哪些量是可以怎么样快捷的得到这个结果。纵向的变量同样是DB这个量保持不变也就是BC那么横向的变量是D这个量保持不变是DC所以最后的结果是BCD。从以上的例子我们可以看到，四个最小项合并相当于是二的2次方，所以它们消掉了变量是两个。再来看八个最小项合并，同样以A图为例，我们知道上面四个最小项合并，他们的结果为A非B非，而下面这四个变量合并它的结果是ABC那么这两个变量相加加起来的结果就等于BC。所以这样的关系是上下对应的一个相邻关系，而这里是中间的八个变量。中间的八个变量我们怎么样得到第一这个结果呢？你看始终AB变量都是在不断变化的，而只有D这个变量始终保持不变，所以最后的结果是D同样这个也是CD的变量不断的变化，而A和B的变量当中A也不断变化，只有B这个变量保持不变，所以最后结果是B同样这个图也是左右左边四个最小项，右边四个最小项这样的相邻关系。而我们去观察，只有D这个变量始终是保持不变的，一直为零。所以最后的结果是DC我们从刚刚的结论也可以得到，八个最小项合并消去的是三个变量。因为二的3次方等于8，相当于是八个最小项合并消掉的是三个变量。那么二的N次方个最小项合并消掉的就是N个变量。化解步骤与原则利用卡罗图化解逻辑函数分为三步，关键在于第二步。第一步画出逻辑函数的卡诺图。第二步合并相邻的最小项，也就是圈组需要遵循的有三个原则。第一个，圈组必须要按248到2的N次方的规律来圈，不能圈其他个数的小方块。第二，每个取值为一的小方块至少圈一次，也可以多次圈。多次圈遵循的原则就是A加A等于A的原则，所以可以多次圈。第三个，圈的个数要最少，每个圈要尽可能大，以保证与项最少，变量最少。第三步，写出最简与或表达式。从圈组写最简与或表达式的方法，第一个，每个圈对应一个与下，消去圈内互补变量，保留相同变量取值为一，用原变量取值为零用反变量第二，将所有与项相加得到最简与或表达式再来看圈组技巧为了避免多余圈组或漏圈，这里有几个使用技巧，第一个，先圈孤立的一，也就是没有相邻的小方块，因为它们只能单独圈。第二，在圈只有一种圈法的一，只能和特定的一合并的那种一。第三个，最后圈大圈尽量包含剩余的1。第四个，检查每个圈确保至少有一个一未被其他圈圈过，避免多余圈组。接下来我们就用随堂练习来代替例题，完成今天的知识巩固。第一题，用卡诺图化简下列函数，LABCD等于M0257 80 13 15这些最小项之和。第一步由L这个函数画出四变量，卡诺图，AB的变量在纵向，CD变量在横向，取值分别取00011110。纵向AB同样是这样取值，然后我们分别去找到M0257 80、13、15对应最小项所在的位置，025、73、十五还有8和10所在的位置，在对应最小上的位置填一，其他位置填0。第二步，按照圈组的原则圈组首先第一个圈是在中间这四个最小项合并了之后，我们可以得到它的结果应该是首先看AB这个纵向变量，纵向变量B的值始终不保持不变，所以纵向的结果为B横向的变量结果为D所以这一项圈组合并之后结果为BD再看这四个一，我们同样可以把它圈在一起拿来组合。组合之后的结果首先看AB这两项是保持不变的，是B始终取值为零，所以结果是BC再来看CD，CD始终保持不变的是D始终取值为零，所以结果是BCD非。那么这四项圈组的结果是B非D非。第三步写出每个圈对应的。以下就是我们刚刚这样的一个结果，合并后得到最简与或表达式结果就为BD加BCDC。第二题化解，给定卡罗图的逻辑函数L等于ACBCCC加ACB加BC加AC首先画出卡洛图，看第一项，第一项对应的是A非B非C非对应的就是ABC取值都为000，对应的就是这一项。第二项ACB对应的取值是A取值为零，B取值为一，C取值为一为零都可以，那么对应的就是这两项。再来看第三项BC对应的是B和C取值都为一，A取值为零和1，那么对应的是这两项。再来看最后一项，ACAC对应的是A和C取值都为一，A取值为一，C取值也为一，那么对应的就是这两项。好，这样卡罗图画出来了，我们再来进行化解。先看第一种圈法，第一种圈法这两个为一组，这个和这个为一组，这两个为一组圈出来了之后，我们再来写出最后的结果，这样的圈法我们可以得到最终的结果。L就等于A非C非加ACB加ac ACCC对应的是这两个圈，而ACB对应的是这两个圈所对应的余下最后一个AC对应的是这个圈对应的余下。好，这是这一种圈法。当然有的同学可能不是这样圈的。我们再来看第二种圈法，这两个一为一个圈，这两个一为一个圈，这两个一为一个圈，同样我们写出它的结果，这两个和刚刚的圈法是一样，这一项等于A非C非。那么这两项这个圈对应的结果是BC而最后这一项和刚刚的圈法是一样，结果是AC通过这个例题我们可以得到逻辑函数的最简与或式可能不是唯一的，但最小项表达式是唯一的。比如不同的圈组方式可能得到不同，但同样简洁的表达式只要满足与项最少，变量最少都是正确的。第三题，已知某逻辑函数的卡诺图，如下图所示，要求写出最简与过失。观察这个卡洛图，卡洛图当中零的个数很少，并且是相邻的，所以我们可以采用圈零法，先圈零得到wifi的最简与，或是在对y fi进行取反就可以得到Y的最简与或式。那么我们把这两个零圈起来，圈起来之后我们可以得到它的结果，YC结果就等于ABC。再对wifi进行取法，就得到abc的非。再利用摩根定理就可以得到最终结果为A非加B非加C非。这个题很巧妙，所以我们要利用这一个巧妙的解题方法，逻辑函数Y的最简与或式取法就是YC的最简与或式，反之亦然。今天我们系统学习了卡诺图化简的相关知识，从最小项及最小项表达的是的基础定义，到卡洛图的构成画法和逻辑函数表示方法，再到核心的卡洛图化简步骤原则和技巧。卡诺图化简是数字电子技术的重要技能，需要同学们多加掌握。本节课就到此结束，感谢观看。