2025-2026学年湖南省永州市高二上学期期末模拟考试数学试题（人教A版）

2025-2026学年湖南省永州市上学期期末模拟考试 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是过，两点的直线的一个方向向量，则实数为（    ） A． B． C．1 D．4 2．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 4．记数列的前项和为，对任意，当且仅当，则（   ） A．442 B．455 C．470 D．485 5．已知在上可导，且，则曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．已知和是平面直角坐标系中的两个点集，其中中的点被涂成红色，中的点被涂成蓝色．若直线l：满足红色点和蓝色点分别位于l的两侧（红色点和蓝色点均不在上），则（   ） A．当时，b的值可以为6 B．当时，k的值可以为 C．当时，b的取值范围是 D．当时，的取值范围是 7．法国著名的数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知焦点在轴上的椭圆，为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列满足，，，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C．数列单调递增 D．数列是周期数列 10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（　　）      A． B．点到直线的距离是 C．平面ECG与平面的夹角正弦值为 D．直线与平面的法向量所成角的正切值为 11．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，是上的动点，为坐标原点，则（    ） A． B．当，以为直径的圆与圆相交于，两点时，的最小值为4 C．当点满足时，到的距离恒为 D．设，点是圆上的动点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与直线平行，则 . 13．设椭圆的左右焦点在轴上，是上一点，且与轴垂直，三角形的两锐角平分线斜率的乘积为，则椭圆的离心率为 14．已知定义在上的函数，其导函数满足，且，若函数存在极大值，且极大值为，则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 16．已知函数，． (1)当时，判断函数的单调性，并求出的极值； (2)若过原点存在两条直线与曲线相切，求实数a的范围． 17．在直三棱柱中，是棱的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 18．已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦长为. (1)若点，为圆上一动点，求的最小值； (2)若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），求实数的值. 19．已知直线：与椭圆：交于，两点，，的中点为. (1)求证：直线（O为坐标原点）的斜率与直线斜率之积为定值； (2)（i）若直线过右焦点，直线与直线交于点，判断以线段为直径的圆是否过定点，如果圆过定点求出该定点坐标，如果不过定点，请说明理由； （ii）若，求点的轨迹方程. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湖南省永州市上学期期末模拟考试 高二数学（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C A C B D ACD BCD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】由题得到是直线的一个方向向量，也是直线的方向向量，所以向量与共线，利用向量共线坐标成比例列方程可求出的值. 【详解】已知，，所以是直线的一个方向向量； 因为向量也是直线的方向向量，所以它与共线， 所以，解得， 故选：A. 2．B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 3．B 【分析】利用函数的极值点与导数的关系可判断AB选项；利用函数单调性与导数的关系可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，A对； 对于B选项，当时，， 所以函数在上单调递增，在上也为增函数， 故不是函数的极值点，B错； 对于C选项，由图象可知，当时，，当且仅当时，等号成立， 所以函数在区间上单调递增，C对； 对于D选项，由图象可知函数在处切线的斜率大于零，D对. 故选：B. 4．C 【分析】分析可知区间上的项数为，分别令，第50项属于的段，进而可得，利用并项求和法运算求解. 【详解】由题意可知：区间上的项数为， 所以当确定时，有个连续的，可得， 当时，，则项数为1，对应； 当时，，则项数为3，对应； 当时，，则项数为5，对应； 当时，，则项数为7，对应； 当时，，则项数为9，对应； 当时，，则项数为11，对应； 当时，，则项数为13，对应； 前7段的项数之和为， 所以第50项属于的段，此时， 所以． 故选：C． 5．A 【分析】根据导数的定义式进行化简即可. 【详解】因为在上可导，所以由导数的定义及几何意义可知， 曲线在处切线的斜率， 因为，所以，， 所以， 又因为，所以， 则， 所以，则， 即， 故选：A. 6．C 【分析】写出直线的方程，再得出、中存在点符合方程判断A、B；C写出直线的方程，将点代入中，根据正负性求出范围；D写出直线的方程，将点代入中，根据正负性求出范围. 【详解】若，，则，则点满足方程，不符合题意，故A错误； 若，，则，则满足方程，不符合题意，故B错误； 当时，，即， 将中的坐标依次代入中得，①， 将中的坐标依次代入中得， ②， 因为直线l：满足红色点和蓝色点分别位于l的两侧， 所以①中各式与②中各式正负性相反， 若①中各式均为正数，②中各式均为负数，则，，舍； 若①中各式均为负数，②中各式均为正数，则，故C正确； 当时，，即， 将中的坐标依次代入中得，， 因为，所以各式均为正数，则， 将中的坐标依次代入中得， ，均为负数，则， 则的取值范围是，故D错误. 故选：C 7．B 【分析】先由椭圆焦点位置确定的下限，再根据蒙日圆定义得蒙日圆方程，结合为锐角的条件分析直线与蒙日圆的位置关系，求得的范围，最后计算椭圆离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的焦点在轴上，得. 直线都与椭圆相切， 直线所围成的矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆. 因恒为锐角，故点在蒙日圆外. 又在直线上， 因此直线与蒙日圆相离，即原点到直线的距离大于蒙日圆半径. 原点到直线的距离：，故，平方得，即. 结合，得. 椭圆离心率. 当时，，故，即. 故选：B 8．D 【分析】将不等式转化为，分别研究两个函数的性质，确定的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小的取值范围，列出不等式组，求出结果． 【详解】不等式展开化简得：， 设，，则原不等式等价于． 若，则当时，，， 原不等式的解集中有无数个大于2的整数，不合题意． 若，当，即时，设， 则， 设，则在单调递减， ， 在单调递减， ， 当时，，在上为减函数，即， 当时，不等式恒成立， 原不等式的解集中没有大于2的整数，不合题意． 要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则，即，解得． 实数的取值范围为． 故选：D． 9．ACD 【分析】根据递推公式分奇偶项讨论，计算数列的前几项或分析通项公式，进而判断选项的正确性. 【详解】已知，根据递推公式，分为奇数和偶数讨论： 当（奇数）时：，即； 当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即； 当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即； 当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即； 选项A：计算前项和：，因此选项A正确； 选项B：观察奇数项规律：，发现奇数项以为周期循环， 因为是奇数，，对应周期中的第项，即，因此选项B错误； 选项C：分析偶数项，当为奇数时，；当为偶数时，， 由于恒为正数，所以数列单调递增，C正确； 选项D：奇数项：，周期为，即是周期为的周期数列，因此选项D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】通过空间向量的基底运算可得A的正误，利用空间向量夹角公式和点到面距离公式可以判断B、C、D的正误. 【详解】对于A：依题意， 所以，因此本选项结论不正确； 对于B：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， ，，设， 则点到直线CQ的距离，因此本选项说法正确； 对于C：,； 设平面的向量为， 则， 令可得为， 设平面的法向量为， 则，则， 所以， 即平面与平面的夹角余弦值为，所以本选项说法正确； 对于D：由正方体的性质可知平面， 所以平面的一个法向量为， 因为，， 所以， ， 所以，因此本选项说法正确. 故选：BCD    11．ABD 【分析】通过圆心到直线的距离范围判断A；利用直径圆周角性质与向量运算判断B；计算点到直线距离判断C；设，求得点坐标，由两点间的距离判断D. 【详解】圆的圆心为，半径；直线. 选项A： 圆心到直线的距离. 圆上到距离为1的点有且仅有2个，需，因，得，故A正确. 选项B： 当时，到直线的距离为. 以为直径的圆中，， . 的最小值为，故的最小值为，B正确. 选项C： 设， 由得， 则， 到的距离为，故C错误. 选项D： 设，， 对圆上的点，有， 平方得， 整理为. 圆的方程展开为，代入上式得， 整理为， 因该式对圆上所有成立，故、，得、，即. ， 三点共线时等号成立，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】由直线平行的判定列方程求参数值. 【详解】由题意，则， 所以，解得. 故答案为： 13．/ 【分析】不妨设线段的中点为坐标原点，点在轴的上方，先证明两条角平分线所在直线的夹角为，设直线的斜率为，直线的斜率为，根据两角差正切公式可得结合条件求，再求，结合椭圆的定义求椭圆的离心率可得结论. 【详解】如图：不妨设线段的中点为坐标原点，点在轴的上方， 因为，所以， 设，的角平分线的交点为，直线与轴的交点为， 则，， ， 所以两条角平分线所在直线的夹角为， 设直线的斜率为（），倾斜角为， 直线的斜率为（），倾斜角为， 所以， 而根据条件可知：①，可知②， 联立①②两式解得：或（舍去），故，故. 根据正切二倍角公式，， 即：直线的斜率为，设，椭圆的长轴长为， 因为，所以，， 所以，得离心率. 故答案为：. 14． 【分析】根据可得（为常数），从而可求出函数的解析式，进而可求出的解析式，再利用导数分和两种情况讨论求出函数的极大值，再结合已知构造关于的函数，再利用导数即可得解. 【详解】由，得， 因为，所以， 所以（为常数）， 又，则，即，所以， 所以，所以， 所以， 则， 由，得， 当时，恒成立， 所以函数在上单调递增，所以无极大值； 当时，令， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 又当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 所以，，所以， 则当时，，当时，， 即当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为 ， 所以， 则， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即的最小值是. 故答案为：. 15．(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， （2）因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 16．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求出函数的极值； （2）设切点为，利用导数的几何意义写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，可得出关于的二次方程，根据题意得出，由此可解得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，则， 由可得，由可得， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为， ∴函数的极小值为，无极大值． （2）∵，则， 设切点为，则，切线斜率， 切线方程为：， ∵切线过原点，则，整理得：， ∵满足条件的切线有两条，∴，解得或， ∴的取值范围是． 17．(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角； （2）利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）由题意如图建立空间直角坐标系，则， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令得，故， 由题意可知平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 则. （2）由（1）可知， 则点到平面的距离为， 故点到平面的距离为. 18．(1)0 (2) 【分析】（1）先用几何法构造直角三角形得到圆心和半径，运用向量法对所求进行整理求解； （2）联立直线与圆的方程，整理得到根与系数的关系，再结合垂直条件运用向量法求解. 【详解】（1）设圆心坐标为，则半径，圆心到轴的距离为，，得， 圆的方程为. 设，则， 又，， 又， ，， 即的最小值为. （2）（2）设，， 联立，消去得， 由， 得，，. 由，知， 即， ， ，得，满足， . 19．(1)证明见解析 (2)（i）过定点，定点坐标为； （ii）. 【分析】（1）设出点，坐标，利用点差法计算即可. （2）（i）利用斜率之积等于-1得到，进而得到以线段为直径的圆过定点. （ii）设出中点坐标并表示出，，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式化简计算即可. 【详解】（1）由题意设，，因为，两点在椭圆上， 所以，，将两式相减得， 即，整理得， 又，， 所以直线的斜率与直线斜率之积为定值. （2）（i）当直线过点时，可知直线方程为， 且由（1）可得直线的斜率，所以直线为. 可求得直线与直线交于点. 则，又，所以， 所以以线段为直径的圆过定点. 故以线段为直径的圆过定点，该定点坐标为.    （ii）当直线斜率存在时，设点，则，. 由题意可得，且，故. ，消y并整理得， 令可得， 设，，则，， 所以 ， 又，得， 两边平方得. 又因为①，将①代入，得， 将①代入， 整理得 因为，所以， 即， 展开整理得， 当直线斜率不存在时，易得点或满足上式， 故若，点的轨迹方程为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $