2.2.2 等差数列的前n项和（第1课时） 教学设计-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版拓展模块一

2.2.2 等差数列的前 n 项和（第 1 课时） 【学情分析】 学生在前面的课程中，学习了数列的定义、等差数列的概念与通项公式，因此可以对学生的知识体系进行顺应性的建构，从等差数列通项公式向等差数列的前 n 项和研究. 从学科核心素养来看，学生具备一定的数学运算、直观想象、逻辑推理、数学抽象等素养. 其中，逻辑推理和数学抽象是学生的薄弱环节. 教学时，可以起点低一些（从具体数值引申到字母），并结合熟悉的几何图形引导学生推导等差数列的前 n项和公式． 【教学目标】 （1）通过联系生活实例、结合图形，帮助学生在推导等差数列前 n 项和公式的过程中，提升数学运算素养和直观想象素养，让学生领会数形结合的思想方法． （2）让学生领会等差数列前 n 项求和的思想方法，提升逻辑推理素养和数学抽象素养． （3）在探索公式的过程中，培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力，让学生领会由特殊到一般的思想方法． （4）结合例题和练习，让学生学会用等差数列的前 n 项和公式求和，培养学生独立思考、合作交流的品质． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点是等差数列前 n 项和公式的推导和简单应用，教学难点是等差数列前 n 项和公式的推导． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 复习 学生练习： （1）在等差数列{an}中，首项 a1 ＝3 ，公差 d=4 ，求 a2 ，a3 和 an． 解：依题意得，a2 = a1 + d = 3 + 4 = 7． a3 = a1 + 2d = 3 + 2 × 4 = 11． an = a1 + (n - 1)d = 3 + 4(n - 1) = 4n - 1． 利用等差数列的通项公式，求其中的变量，为推导等差数列的前 n 项和公式做准备． 1 学科网（北京）股份有限公司 （2）在等差数列{an}中，第 10 项 a10 ＝40 ，公差 d=3 ，求 a9 ，a8和 a1． 解：依题意得，a9 = a10 - d = 40 - 3 = 37． a8 = a10 - 2d = 40 - 2 × 3 = 34． a1 = a10 - 9d = 40 - 9 × 3 = 13. 新课 1 ．引入问题：如下图，工厂仓库里堆放着一批钢管，共堆放 7 层，求钢管的总数． 分析：怎样求得钢管的总数呢？显然，把各层钢管数直接相加就可得出结果．如果钢管的层数很多，例如铺了 50 层，有无简便方法来计算呢？ 2 ．倒序相加法计算钢管总数，解决导入问题． 图形分析：显然从最上一层钢管数开始，各层钢管数 4 ，5 ，6 ，7， 8 ，9 ，10 组成公差为 1 ，项数为 7 的等差数列．观察上图补齐的平行四边形，可知每层数目为梯形最高层的钢管数与最低层的钢管数之和， 由此可利用乘法简便运算．补齐的平行四边形可以用倒序相加法实现计算钢管总数． 解：用 S7 来表示钢管的总数，则 S7 = 4+5+6+7+8+9+10； ① 将上式右边各项次序反过来，又可写成 S7 = 10+9+8+7+6+5+4 ． ② 把①②两式上下对应项相加，其和都等于 14 ，所以把①②的两 回顾“等差数列的 概念 ”第 1 课时中提 出的问题，用实际问 题激发学生探究的兴 趣和欲望． 引导学生使用熟悉 的几何方法，把梯形 倒置，将原图补成平 行四边形． 借助直观图形，启 发思路，帮助学生理 解．渗透数形结合的 思想方法，培养学生 直观想象素养和数学 运算素养． 2 学科网（北京）股份有限公司 边分别相加，得 2S7 =(4+10)×7， S7 = 49． 3 ．推导等差数列前 n 项和公式． 一般地，数列{an}的前 n 项和记作 Sn ，即Sn = a1+a2+a3+…+an， 可以得到等差数列前 n 项和公式 4 . 等差数列前 n 项和公式的推导(拓展延伸)． 由上例算法启示，对于公差为d 的等差数列，我们用两种方法表示 Sn ： Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + + [a1 + (n - 1)d ] (1) Sn = an + (an - d ) + (an - 2d ) + + [an - (n - 1)d] (2)把（1）（2）两边分别相加，得到 = n (a1 + an ) 由此得到 Sn （3） 代入等差数列通项公式 an = a1+(n－1)d，上面公式又可写成 引导学生观察、剖 析算式特征，发现公 式中各项的联系，将 具体数字表达式提炼 为字母表达式，体会 由特殊到一般的思想 方法． 培养学生的数学运 算素养和数学抽象素 养． 引导学生联系等差 数列的通项公式推导 求和公式，加深学生 对等差数列性质的理 解．引导学生理解倒 序相加法的原理，提 高学生的数学运算素 养、逻辑推理素养和 数学抽象素养． 3 学科网（北京）股份有限公司 5 ．分析公式的特征，理清公式中各项的联系，学会选用合适的公式． 在这两个公式中，每个公式都包含四个变量，只要知道其中任意三个，就可求出第四个． 6 ．学生练习：教材第 52 页，练习第 1 题（1）（2）． （1）在等差数列{an}中，a1=5 ，an =95 ，n=10 ，求 Sn． 解：依题意得，S （2）在等差数列{an}中，a1 = 100 ，d =－2 ，n = 50 ，求 S50． 解：依题意得，S 进一步引导学生理 清公式中各项的联 系，让学生领会选用 公式的原则． 通过练习，帮助学 生学会选择、应用公 式，加深对公式的理 解． 在教师的指引下， 帮助学生提高分析问 题的能力和数学运算 素养． 小结 引导学生小结. 等差数列的前 n 项和公式为： 教师鼓励学生积极回答，提高学生的口头表达能力和归纳概括能力． 作业 教材第 52 页，练习第 1 题（3）（4）． 巩固拓展． 4 学科网（北京）股份有限公司 $