二项式系数的性质课件-2026届高三职教高考数学一轮复习

第四节 二项式定理 职教高考一轮复习 第十章 概率与统计 直击高考 考点 考点解读 山东省近6年春季高考统计(题号) 常考题型 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 二项式定理 ①理解二项式定理，理解二项式系数的性质 ②理解二项式系数与项的系数的区别 (9) (19) (12) (17) (14) (14) 选择题 二项式定理主要有两个考向，一是求二项式展开式的指定项，二是关于二项式展开式的系数问题． 二项式系 数最大项 常数项 二项式 系数和 二项式系 数最大项 第4项 系数 第4项二 项式系数 知识梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝ an＋ an－1b＋ an－2b2＋…＋ an－mbm＋…＋ bn，n∈N＋. 这个公式所表示的规律称为二项式定理，右边的多项式称为(a＋b)n的展开式，其中， (m＝0，1，2，…，n)叫作二项式系数，Tm＋1＝_________叫作二项式展开式的通项公式． an－mbm 2．二项式系数的性质 (1)根据二项式系数组成的“杨辉三角”可知，二项展开式中的系数除每行两端的1之外，每个数字都等于它肩上两个数之和，即______________． (2)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即_________． (3)如果二项式的幂指数是偶数2n，那么二项展开式有________项，且中间一项即第________项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数2n－1，那么二项展开式有________项，中间两项即第________项和第________项的二项式系数相等且最大． (4)(a＋b)n的二项式系数之和为2n， 即 ＋…＋ ＋…＋ ＝________． 2n＋1 n＋1 2n n n＋1 2n (5)(a＋b)n的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即 ＋…＝ ＋ ＋…＝________． 2n－1 典例分析 【知识要点1】 求二项展开式中的某一项 【例1】　在二项式 的展开式中，求： (1)第4项；(2)含x6的项；(3)常数项；(4)二项式系数最大的项． ∴第6项是常数项，即T6＝T5＋1＝ x5 ＝(－3)5 ＝－61 236. (4)∵n＝10，∴展开式有11项，中间一项的二项式系数最大， ∴T6＝T5＋1＝ x5 ＝(－3)5 ＝－61 236. 【解析】　(1)T4＝T3＋1＝ x7 ＝－3 240x4，∴第4项是－3 240x4. (2)∵Tm＋1＝ x10－m ＝(－3)m x10－2m， ∴10－2m＝6，即m＝2，∴含x6的项为T3＝T2＋1＝(－3)2 x6＝405x6. (3)由(2)知10－2m＝0，即m＝5. 【举一反三1】 在二项式 的展开式中，求： (1)第5项；(2)含x4的项；(3)是否含有常数项；(4)二项式系数最大的项是第几项． 解：(1)第5项是5 280 (2)22x4 （3）不含有常数项 （4）二项式系数最大的项为第6项和第7项 注意简单小题可以考虑配凑法！ 【知识要点2】 二项式系数性质的应用 【例2】　已知二项式(a＋ b)10，求： (1)第7项的二项式系数和系数； (2)二项展开式的所有二项式系数之和与系数之和． 【解析】　(1)(a＋ b)10的二项展开式第7项的二项式系数为 ＝210； (a＋ b)10的展开式第7项为T7＝T6＋1＝ a4( b)6＝8 a4b6＝1 680a4b6， ∴(a＋ b)10的二项展开式第7项的系数为1 680. (2)(a＋ b)10的展开式的所有二项式系数之和为210＝1 024， 令a＝1，b＝1，则(a＋ b)10的展开式的所有系数之和为(1＋ )10. 【举一反三2】 (1)已知(x－2)n的二项展开式有7项，则展开式中二项式系数最大的项的系数是(　　) A．－280 B．－160 C．160 D．560 B (2)若(a＋b)n展开式的第4项与第7项的系数相等，则此展开式共有(　　) A．8项 B．9项 C．10项 D．11项 C (3)在(1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是(　　) A．0 B．－1 C．－32 D．32 D (4)若 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________． 10 一、选择题 1．在(2x－1)5的二项展开式中，含x3项的二项式系数是(　　) A．－80 B．80 C．－10 D．10 D 随堂检测 A 3．在(1＋x)n的展开式中，含x5项的二项式系数最大，则n的值是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 C 活动设计：限时12分钟，认真完成基础练习选填题检测 4．在二项式(x＋y)n的展开式中，第5项的系数与第10项的系数相等，则n的值是(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 D 5．在二项式(2x－3y)5的展开式中，所有项的系数之和为(　　) A．3 125 B．－1 C．32 D．－243 B 6．已知二项式 的展开式中，第5项的二项式系数最大，则中间项是(　　) A．－ B．－56x2 C．－70 D．70 D 二、填空题 7．若(4x－1)n的展开式中所有项的系数之和为243，则n的值为________． 5 8．若 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 20 9．(a－2b)7的展开式的中间项为___________________． －280a4b3和560a3b4 一、选择题 1．在二项式(3x－2y)6的展开式中，所有项的系数之和为(　　) A．－1 B．1 C．－64 D．64 B 2．二项式 的展开式中，常数项为(　　) A．90 B．－240 C．240 D．60 D 3．已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B 选做 二、填空题 4．若(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1＋a2＋…＋a7＝________． －2 5．已知二项式 的展开式中，第6项的系数最大，则展开式中的常数项是________． 210 三、解答题 6．在 的展开式中，已知第4项的二项式系数与第8项的二项式系数相等，求：(1)n的值；(2)展开式中的常数项． n＝10. 常数项为T9＝ ＝45 课堂小结 布置作业 1.书面必做作业：完成复习资料相关题目； 2.拓展提升作业：依据考点根据自身掌握情况，利用复习书练习进一步训练巩固相关内容 $