相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 考点目录 相似与圆的性质综合 相似与二次函数综合 考点一 相似与圆的性质综合 例1.(25-26九年级上甘肃金昌期末)如图，⊙0是ABC的外接圆，AB为⊙0的直径，过圆上一点D作 DE∥AB,交CB的延长线于点E,连接CD,AD,BD,求证： 夕 D (I)△ACD∽△BDE; (②)ADBD=ACBE. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)证明：~四边形ACBD是⊙O的内接四边形， ∠CAD+∠CBD=180°， ∠EBD+∠CBD=180°， .∠EBD=∠CAD, “D=AD LACD=∠ABD, DE∥AB, ∠BDE=∠ABD, ∠ACD=∠BDE, △ACDm△BDE, (2)证明：由(1)可知，△ACD∽△BDE, AC_BD AD BE' :.AD BD=AC BE 例2.(25-26九年级上甘肃金昌期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC边上一点，连接AD, AD=AB,以AD为直径作OO,F是AC边上一点，连接DF,使DF=CF. 1 相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 D (1)求证：DF是O0的切线： (2)若O0的半径为5，BD=12,求BC的长。 【答案】(1)见解析； 9 【详解】(1)解：证明：∠BAC=90°， .∠B+∠C=90°， AB AD, ∠B=∠ADB, ∠ADB+∠C=90°， DF=CF, ·∠FDC=∠C, .LADB+∠FDC=90°， ∴∠ADF=180°-（∠ADB+∠FDC)=90°，即AD⊥DF, 0D为⊙0的半径， DF是⊙O的切线； (2)如图，设O0与BC交于点H,连接AH, B D ~AD为⊙0的直径， ∠AHD=90°， AB=AD,BD=12, ÷BH=HD=BD=6, 2 00的半径为5， AB =AD =10, ~在△HBA和ABC中 相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 ∠BHA=∠BAC ∠B=∠B ∴△HBA∽△ABC, AB HB BC AB BC= AB2100_50 HB 63 例3.(25-26九年级上·浙江杭州期末)在⊙0中，AB是⊙0的直径，弦CD与AB交于点E,且点D是弧AB的中 点，连接AC、BC、AD、BD. E D (1)求证：CD平分∠ACB; (2)若CE=2,DE=4,求⊙0的半径； (3)若CD=7,求四边形ACBD的面积， 【答案】(1)见解析 (2)23 号 【详解】(1)证明：点D是弧AB的中点， 六AD=BD, LACD=∠BCD,AD=BD, 即CD平分∠ACB; (2)解：如图，过点O作OM⊥CD于点M,连接0D, E B ~AB是OO的直径，点D是AB的中点， ∴∠A0D=B0D=90°， 相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 CE=2,DE=4, ∴CD=CE+DE=2+4=6, OM⊥CD, DM=二CD=3, 2 :EM DE-DM =1, ∠0ME=∠D0E=90°，∠0EM=∠DE0, ∴.△OEM∽△DEO, OE_EM DE EO' 即OE2=DE.EM=4, 在Rt0ED中，0D=VDE2-0E2=V42-4=2√5， 即⊙0的半径为25； (3)解：如图，过点D作DF⊥BC于点F,DG⊥CA,交CA的延长线于点G. F E B G D ~AB为直径， ∴∠ACB=90°， CD平分∠ACB,DF⊥BC,DG⊥CA, ∴DG=DF,∠GCD=∠FCD=45°， ·△DCG和△DFC为等腰直角三角形， c0=0c-号cn-29,cr-r9c0-37 2 2, 四边形CGDF为正方形， 在RtAAGD和RtABFD中， DA=DB DG=DF' .Rt AGD RtABFD (HL), S.AGD=S.FD 相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 7√2 49 S四边形ACBD=S四边形ADrc+SBFD=S因边形ADrc+SAGD=S正方形CGDF 2 例4.(25-26九年级上四川绵阳期末)如图，口ABCD的顶点A,D在O0上，边BC切⊙0于点M,连接AM, DM,CD交OO于点N. 图1 图2 (1)如图1，求证：AM=DM; (②)如图2，若圆心O在边AD上，连接AN,MN,若MN2=ANCN,AN=8CN,AB=5,求O0的半径. 【答案】(1)见详解 (2)25 【详解】(1)解：连接M0,并延长交AD于点E, E D B M 边BC切O0O于点M, BC⊥OM, 在口ABCD中，AD∥BC, AD⊥OM, ·AE=ED, ∴EM垂直平分线段AD, AM =DM (2)解：在ABCD中，AD∥BC,AB=CD=5, 圆心O在边AD上， AD为⊙O的直径， .∠DMA=∠AND=90°， MN2 AN.CN,AN =8CN J 相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 ∴MN2=8CN.CW, ∴MW=2V2CN, 根据(1)的证明方法，同理可得：AM=DM, ∠DAM=∠ADM=45°， 四边形AMND内接于⊙O, ∴∠DAM+∠DNM=180°，∠ADN+∠AMN=180°， ×∠CNM+∠DNM=180°， ∴∠CNM=∠DAM=45°， ·∠CNM=LADM, ∴∠CNM=∠ANM, AD∥BC, .∠ADN+∠C=180°，∠DMC=∠ADM=45°， LAMN=∠C,∠DMC=∠CNM, ~∠CNM=∠ANM,MN=22CN, aCNM∽aMNA, MN ANAM=22, CN MN CM ·AM=2√2CM,即AM2=8CM2, ∠C=∠C,∠CNM=∠DMC, ∴aCNM∽aCMD, MC_DC CN MC' ∴MC2=CN.DC, CD=5,AM2=8CM2, ∴MC2=5CWN, AM2=8CM2=40CN, :DM2=AM2=40CN, 在Rt△AMD中，AD2=AM2+MD2=2AM2=80CN, 在RtA AND中，AD2=AN2+ND2, ND =CD-CN=5-CN,AN =8CN, ·AD2=(8CN)2+(5-CW)2=65CN2-10CN+25, ∴65CW2-10CW+25=80CW, 相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 整理：13CW2-18CN+5=0, 解得：CN=1或CV= 5 3’ ~在钝角△DCM中，DM>CD=5, DM2=40CN>25, CN>、,故CN=不符合题意，舍去， 13 ∴CN=1, AD2=80CN=80, AD=45, ∴00的半径为25 变式1.(25-26九年级上福建厦门期末)如图1，⊙0的半径为r,AC和BD是00的两条弦，且AC⊥BD. D D A B B E 图1 图2 (1)若r=4,BC的长度为3π，求∠ABD的度数； (2)如图2，若AC是OO的直径，E是BC上一点，连接BE和DE,CF⊥DE于点F,若DE=I0,BE=4,求 DF的长 【答案】(1)22.5° (2)DF=7 【详解】(1)解：如图1中，连接OB,OC,设∠BOC=n,AC交BD于J. D B 图1 EB的长=3元， ,mx4=3, 180 n=135°， 相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 ÷∠A=1∠B0C=67.50, 2 AC⊥BD, ∠AJB=90°， .∠ABD=90°-67.5°=22.5°. (2)解：如图2中，连接CD,AE,设AE交BD于T,BD交AC于K,连接FK,过点T作TM⊥DE于M, TN⊥EB交EB的延长线于N. D C AC⊥BD, NB E 图2 ·AD=AB, ∴.∠AED=∠AEB, TM⊥ED,TN⊥EB, ..TM=TN, 、Sm= E.TM DT SBET E.TN BT 2 DT_DE 10 5 “TBBE42’ 设DT=5k,TB=2k,则DK=BK=3.5k, .KT =1.5k,DT =5k :CF⊥DE, ∠DKC=∠DFC=90°， C,D,K,F四点共圆， LACK=∠KFD, :∠ACD=LAED, ∠KFD=∠AED, KF∥ET, DFDK3.5k 7 DE DT 5k10' DE=10, d 相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 DF=7. 变式2.(25-26九年级上·湖南·月考)如图1，AB为圆0直径，点C在圆O上，延长BA、BC分别至点E、F,连 接EF,使EF∥AC,连接AF,且LAFE=LABC, B B 图1 图2 图3 (1)求证：直线AF与圆0相切： (②)如图2，H在直径AB上，过点H作HD⊥AB交圆O于点D,延长FA至点P,连接PD,使PA=PD. ①若AH=I6,AF=10,AE=5,求DH·DP的值； ②如图3，连BP交DH于Q,证明：Q为DH中点. 【答案】(I)见详解 (2)①160②见详解 【详解】(1)证明：~AB为圆O的直径， LACB=90°， 在ABC中，∠ABC+∠BAC=90°. EF∥AC, ∠AFE=LFAC, :∠AFE=∠ABC, :ZFAC ZABC, ·LFAC+LBAC=90°， 即FA⊥AB于点A, 又OA为圆0半径， ∴直线4AF与圆0相切. (2)解：①连接OP,OD,过点D作DT⊥AP于T. 相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 B D OA=OD,OP=OP,AP=DP, ·△OAP≌AODP(SSS), 由(1)知∠0AP=90°， .∠0DP=∠0AP=90°， ~HD⊥AB,DT⊥AP,直线AF与圆O相切， LAHD=LDTA=∠TAH=∠FAB=90°， 四边形ATDH为矩形， ∠TDH=90°，DT=AH=16, ∠0DH+∠0DT=90°， ∠PDT+∠0DT=∠0DP=90°， .∠ODH=∠PDT, 又∠PTD=∠0HD=90°， aPDT∽△ODH, .DP DT OD-DH' 即DH·DP=OD·DT, ∠AFE=∠ABC,∠FAE=∠FAB=90°， ∴△AFE∽△ABF, .AF AE AB AF 即10、5 AB 10 AB=20, .0D=10, DT=16, DH.DP=0D·DT=10x16=160 ②连接BD并延长交AP的延长线于点M,连接AD, 10相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 相似与圆的性质综合、相似与二次函数综合专项训练 考点目录 相似与圆的性质综合 相似与二次函数综合 考点一 相似与圆的性质综合 例1．（25-26九年级上·甘肃金昌·期末）如图，是的外接圆，为的直径，过圆上一点作，交的延长线于点，连接．求证： (1)； (2)． 例2．（25-26九年级上·甘肃金昌·期末）如图，在中，，为边上一点，连接，，以为直径作，是边上一点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 例3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在中，是的直径，弦与交于点E，且点D是弧的中点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的半径； (3)若，求四边形的面积． 例4．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，的顶点A，D在上，边切于点M，连接，，交于点N． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若圆心O在边上，连接，，若，，，求的半径． 变式1．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，的半径为，和是的两条弦，且． (1)若，的长度为，求的度数； (2)如图，若是的直径，是上一点，连接和，于点，若，，求的长． 变式2．（25-26九年级上·湖南·月考）如图1，为圆直径，点在圆上，延长、分别至点、，连接，使，连接，且．    (1)求证：直线与圆相切； (2)如图2，在直径上，过点作交圆于点，延长至点，连接，使． ①若，，，求的值； ②如图3，连交于，证明：为中点． 变式3．（25-26九年级上·浙江台州·期末）在中，直径弦，垂足为点，连接．以、为一组邻边构造，连接． (1)如图1，若经过点，的半径为5，求的长度； (2)如图2，若不经过点，记与交于点，． ①若，求的长度； ②若设，则与之间的关系式为________； ③如图3，连接，若，求的半径． 变式4．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． (3)若，，求的长． 考点二 相似与二次函数综合 例1．（24-25九年级下·湖北鄂州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C，D是线段上一动点． (1)直接写出点A，B，C的坐标和直线的解析式； (2)如图1，过动点D作，交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积之和为S．求S的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2，过动点D作轴于点E，交抛物线于点F，连接．试探究：点D在运动过程中与能否相似？若能相似，直接写出点D的横坐标t的取值；若不能相似，请说明理由． 例2．（2025·广西贵港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线经过A，C两点，连接． (1)请直接写出b，c的值； (2)若动点在边（不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交于点F，交于点M，交抛物线于点P，连接． ①设线段的长为h，求h与m的函数关系式； ②当点P在下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由． 例3．（24-25九年级上·陕西榆林·月考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求出以下各点的坐标：； (2)若点为抛物线的对称轴上一点，要使以为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 例4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线经过A，C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)动点M在直线上，且与相似，求点M的坐标． 变式1．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（24-25九年级下·河北衡水·月考）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，存在一点P，使的值最小．求点P的坐标； (3)若点M在抛物线上，轴于N点，且与相似，直接写出点M的坐标． 变式3．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，． ①求证：； ②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 变式4．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $