专题一 力与运动 第3讲　曲线运动 【精讲精练】-2026届高三物理二轮复习题型突破（新高考通用）

专题一　力与运动 第3讲　曲线运动 1．平抛运动分解规律：水平方向匀速(x＝v0t)，竖直方向自由落体，合速度偏角tan θ＝，位移偏角tan α＝，满足tan θ＝2 tan α。 2．斜抛运动对称结论：上升与下落时间相等，射程x＝，θ＝45°时射程最大。 3．水平面内圆周运动核心公式：向心力由合力提供，摩擦力或弹力常作为向心力。 4．竖直面内圆周运动临界条件：轻绳模型最高点最小速度v＝(重力提供向心力)，轻杆模型最高点速度可为0(支持力平衡重力)。 5．圆周运动向心力来源：圆锥摆类问题中，重力与拉力的合力提供向心力。 6．抛体运动时间决定因素：平抛运动时间仅由竖直高度决定，与初速度水平分量无关。 7．圆周运动能量关系：竖直面内圆周运动机械能守恒，最高点与最低点速度关系：mv＝mv＋mg·2R。 8．离心近心判断结论：F合>m时做近心运动，F合<m时做离心运动，F合＝m时做匀速圆周运动。 1．思想方法 合运动性质和轨迹的判断 (1)若加速度方向与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动；若加速度方向与初速度的方向不在同一直线上，则为曲线运动。 (2)若加速度恒定则为匀变速运动，若加速度不恒定则为非匀变速运动。 2．模型建构 (1)绳(杆)关联问题的速度分解方法 ①把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)两个分量。 ②沿绳(杆)方向的分速度大小相等。 (2)模型化思想的应用 竖直面内圆周运动常考的两种临界模型 最高点无支撑 最高点有支撑 图示 最高点向心力 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 恰好过最高点 F弹＝0，mg＝m，v＝，即在最高点速度不能为零 mg＝F弹，v＝0，即在最高点速度可为零 题型1　抛体运动　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 考法一　平抛运动 (2023·全国甲卷)如图所示，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的，小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求： (1)小球离开桌面时的速度大小； (2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。 【易错提醒】　 (1)不会用运动的分解的方法去分析物体与地面碰撞后的运动；(2)不清楚小球飞出桌面后的平抛运动与碰撞后的斜抛运动分速度的关系。 考法二　斜抛运动 1.(2025·湖北卷)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tan θ的值为(　　) A. B． C． D． 2.(多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．运动时间为2 s B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10 m D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m 题型2　圆周运动 考法一　水平面内的圆周运动 (2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动，卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内，要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　) A．r B．l C．r D．l 【易错提醒】　 (1)不能正确理解该装置的工作原理；(2)弄不清插销向心力的来源。 考法二　竖直面内的圆周运动 3.(2025·湖北武汉模拟)如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管(管道内径极小)，一质量为m的小球放置于管内顶端A点，其直径略小于管道内径。现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑。管内的B点与管道的圆心O等高，C点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是(　　) A．小球不可能回到A点 B．小球对细管的作用力不可能为零 C．从A点运动到C点，小球对细管的作用力一直增大 D．从A点运动到B点，小球对细管的作用力先减小后增大 4.(2025·东北三省四市二模)如图所示，半径为1 m的四分之三光滑圆轨道竖直固定在水平地面上，B点为轨道最低点，A点与圆心O等高。质量为1 kg的小球(可视为质点)在A点正上方0.75 m处静止释放，下落至A点时进入圆轨道，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A．小球在B点的动能为7.5 J B．小球在A点受到轨道的弹力大小为10 N C．小球沿轨道上升过程中距地面的最大高度为1.75 m D．小球离开轨道后将落至轨道B点 【基础必刷题】 1．(多选)(2025·福建卷)春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，OQ＝OP，手绢做匀速圆周运动，则(　　) A．P、Q线速度之比为1∶ B．P、Q角速度之比为∶1 C．P、Q向心加速度之比为∶1 D．P点所受合外力总是指向O 2．(2025·河北卷)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　) A．90 B．120 C．150 D．180 3．(2025·江苏卷)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O′为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。O′固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与O、O′恰好在同一条直线上。则(　　) A．A点做匀速圆周运动 B．O′点做匀速圆周运动 C．此时A点的速度小于O′点 D．此时A点的速度等于O′点 4．(2025·山东联考)猫猫很怕水，当其身上沾到水后，会通过高速抖动的方式将水甩干，于是gs用这样一个模型来研究这一现象：如图所示，将猫猫的躯干视作轴线水平，半径为R的圆柱(其腿长可忽略)，某一次抖动时可看作其绕自身轴线旋转，角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩出，重力加速度为g，则角速度ω的最小值为(　　) A. B． C． D．2 5．(2025·山东卷)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为 s。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为(　　) A．11 N B．9 N C．7 N D．5 N 6．(多选)(2025·广东卷)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有(　　) A．角速度为5 rad/s B．线速度大小为4 m/s C．向心加速度大小为10 m/s2 D．所受支持力大小为1 N 7．(2025·云南卷)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　) A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 8．(2025·四川宜宾模拟)消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则(　　) A．甲、乙水枪喷出的水初速度相等 B．乙水枪喷出的水初速度较大 C．乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长 D．甲水枪喷出的水在最高点的速度较大 【巩固必刷题】 9．(多选)(2025·山东Flawless联考)某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，海豚与高台边缘的水平距离为H。驯兽师在高台边缘，距水面高度为H处静止释放球的同时，海豚以一初速度v0跃出水面，速度方向与水面夹角为θ，如图所示。设海豚跃出水面后姿势保持不变，不计空气阻力，若海豚可以顶到球，则下列选项中可能正确的是(　　) A．v0＝ B．v0＝ C．θ＝30° D．θ＝45° 10．(多选)(2025·山东卷)如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1＝5 m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O′点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B＝90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A．ωmax＝ rad/s B．ωmax＝ rad/s C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 11．(2024·辽宁沈阳重点中学联考)如图所示是某游乐场中水上过山车的原理示意图。半径为R＝8 m的圆轨道竖直固定在离水面高h＝3.2 m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆轨道的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后通过多个圆轨道，然后从A点离开圆轨道进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s＝12 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。(结果可保留根号) (1)若过山车恰好能通过圆轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？ (2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多大？ (3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，随后进入水平轨道AC并落入水中，求过山车落入水中时的速度大小。 12．(2025·安徽卷)如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距L＝0.5 m。一根长为3L的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量m＝0.1 kg的小球，小球与水平地面接触但无压力。t＝0时，小球以水平向右的初速度v0＝10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在t＝0时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一　力与运动 第3讲　曲线运动 1．平抛运动分解规律：水平方向匀速(x＝v0t)，竖直方向自由落体，合速度偏角tan θ＝，位移偏角tan α＝，满足tan θ＝2 tan α。 2．斜抛运动对称结论：上升与下落时间相等，射程x＝，θ＝45°时射程最大。 3．水平面内圆周运动核心公式：向心力由合力提供，摩擦力或弹力常作为向心力。 4．竖直面内圆周运动临界条件：轻绳模型最高点最小速度v＝(重力提供向心力)，轻杆模型最高点速度可为0(支持力平衡重力)。 5．圆周运动向心力来源：圆锥摆类问题中，重力与拉力的合力提供向心力。 6．抛体运动时间决定因素：平抛运动时间仅由竖直高度决定，与初速度水平分量无关。 7．圆周运动能量关系：竖直面内圆周运动机械能守恒，最高点与最低点速度关系：mv＝mv＋mg·2R。 8．离心近心判断结论：F合>m时做近心运动，F合<m时做离心运动，F合＝m时做匀速圆周运动。 1．思想方法 合运动性质和轨迹的判断 (1)若加速度方向与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动；若加速度方向与初速度的方向不在同一直线上，则为曲线运动。 (2)若加速度恒定则为匀变速运动，若加速度不恒定则为非匀变速运动。 2．模型建构 (1)绳(杆)关联问题的速度分解方法 ①把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)两个分量。 ②沿绳(杆)方向的分速度大小相等。 (2)模型化思想的应用 竖直面内圆周运动常考的两种临界模型 最高点无支撑 最高点有支撑 图示 最高点向心力 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 恰好过最高点 F弹＝0，mg＝m，v＝，即在最高点速度不能为零 mg＝F弹，v＝0，即在最高点速度可为零 题型1　抛体运动　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 考法一　平抛运动 (2023·全国甲卷)如图所示，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的，小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求： (1)小球离开桌面时的速度大小； (2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。 【审题指导】　 关键表述 物理量及其关系 光滑水平桌面 小球从静止开始到从桌面水平飞出过程，小球与弹簧组成的系统机械能守恒 平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等 碰撞后：vx＝v0 垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的 碰撞后：vy＝vy0 【答案】　(1)　(2) 【解析】　(1)对释放小球到小球刚离开桌面这一过程，根据能量守恒定律得Ep＝mv 解得v0＝。 (2)设小球刚离开桌面到第一次落地所用时间为t，第一次落地的竖直速度为vy，落地点距桌面上其飞出点的水平距离为x，第一次落地后弹起的竖直速度为vy′，则x＝v0t，vy＝gt，vy′2＝2gh，vy′＝vy 联立解得x＝。 【易错提醒】　 (1)不会用运动的分解的方法去分析物体与地面碰撞后的运动；(2)不清楚小球飞出桌面后的平抛运动与碰撞后的斜抛运动分速度的关系。 考法二　斜抛运动 1.(2025·湖北卷)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tan θ的值为(　　) A. B． C． D． 【答案】　C 【解析】　网球水平方向上做匀速直线运动，有t＝，设球网高度为h，则对斜向下发出的球，有L－h＝v0sin θ·t＋gt2，对斜向上发出的球，有－h＝－v0sin θ·t＋gt2，联立以上各式，可得tan θ＝，故选C。 2.(多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．运动时间为2 s B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10 m D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m 【答案】　BD 【解析】　将初速度分解为沿PQ方向分速度v1和垂直PQ方向分速度v2，则有v1＝v0cos 60°＝10 m/s，v2＝v0sin 60°＝10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向分量a1和垂直PQ方向分量a2，则有a1＝gsin 30°＝5 m/s2，a2＝gcos 30°＝5 m/s2，垂直PQ方向根据对称性可得重物运动时间为t＝＝4 s，重物离PQ连线的最远距离为dmax＝＝10 m，故A、C错误；重物落地时竖直分速度大小为vy＝－v0sin 30°＋gt＝30 m/s，则落地速度与水平方向夹角正切值为tan θ＝＝＝，可得θ＝60°，故B正确；从抛出到最高点所用时间为t1＝＝1 s，则从最高点到落地所用时间为t2＝t－t1＝3 s，轨迹最高点与落点的高度差为h＝gt＝45 m，故D正确。故选BD。 题型2　圆周运动 考法一　水平面内的圆周运动 (2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动，卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内，要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　) A．r B．l C．r D．l 【审题指导】　 关键表述 物理量及其关系 在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动 卷轴绕O点转动的线速度与细绳的速度相同 弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销 弹簧弹力提供插销做圆周运动的向心力 卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧 弹簧的最大形变量为 【答案】　A 【解析】　由题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销有弹力提供向心力F＝mlω2，对卷轴有v＝rω，联立解得v＝r，故选A。 【易错提醒】　 (1)不能正确理解该装置的工作原理；(2)弄不清插销向心力的来源。 考法二　竖直面内的圆周运动 3.(2025·湖北武汉模拟)如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管(管道内径极小)，一质量为m的小球放置于管内顶端A点，其直径略小于管道内径。现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑。管内的B点与管道的圆心O等高，C点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是(　　) A．小球不可能回到A点 B．小球对细管的作用力不可能为零 C．从A点运动到C点，小球对细管的作用力一直增大 D．从A点运动到B点，小球对细管的作用力先减小后增大 【答案】　D 【解析】　因不计摩擦阻力，则小球无机械能损失，到达A点时速度为零，小球可回到A点，选项A错误；小球下滑在AB段时，若满足mgcos θ＝m(θ为该位置与圆心连线与竖直方向的夹角)则在该位置对细管的作用力为零，选项B错误；由上述分析，小球从A点运动到C点，在AB之间存在一个压力为零的位置，可知从A点运动到C点小球对细管的作用力先减小后增大，选项C错误，D正确。 4.(2025·东北三省四市二模)如图所示，半径为1 m的四分之三光滑圆轨道竖直固定在水平地面上，B点为轨道最低点，A点与圆心O等高。质量为1 kg的小球(可视为质点)在A点正上方0.75 m处静止释放，下落至A点时进入圆轨道，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A．小球在B点的动能为7.5 J B．小球在A点受到轨道的弹力大小为10 N C．小球沿轨道上升过程中距地面的最大高度为1.75 m D．小球离开轨道后将落至轨道B点 【答案】　D 【解析】　小球从释放到最低点，根据动能定理有mg(h＋R) ＝EkB，解得EkB＝17.5 J，选项A错误；小球从释放到A点，根据动能定理有mgh＝mv，小球到达A点开始做圆周运动，在A点轨道弹力提供向心力，根据牛顿第二定律有FN＝m，联立解得FN＝15 N，选项B错误；设小球沿轨道上升过程中距地面最大高度处与圆心的连线和竖直方向的夹角为θ，则有mgcos θ＝，从B点到最高点，根据动能定理有－mgR(1＋cos θ)＝mv2－EkB，解得cos θ＝，最大高度为h升＝ R(1＋cos θ)＝1.5 m，选项C错误；假设小球离开轨道后将落至轨道B点，由C项分析可知脱离轨道的速度为v＝ m/s，根据斜抛的运动规律可知h升＝－vsin 60°·t＋gt2，x＝vcos 60°·t，联立解得x＝ m＝Rcos 30°，可知小球离开轨道后将落至轨道B点，选项D正确。 【基础必刷题】 1．(多选)(2025·福建卷)春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，OQ＝OP，手绢做匀速圆周运动，则(　　) A．P、Q线速度之比为1∶ B．P、Q角速度之比为∶1 C．P、Q向心加速度之比为∶1 D．P点所受合外力总是指向O 【答案】　AD 【解析】　手绢做匀速圆周运动，由图可知P、Q属于同轴传动模型，故角速度相等，即角速度之比为1∶1，B错误；由v＝ωr可知，P、Q线速度之比vP∶vQ＝rOP∶rOQ＝1∶，A正确；由a＝ω2r可知，P、Q向心加速度之比aP∶aQ＝rOP∶rOQ＝1∶，C错误；做匀速圆周运动的物体，其合外力等于向心力，故合外力总是指向圆心O，D正确。故选AD。 2．(2025·河北卷)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　) A．90 B．120 C．150 D．180 【答案】　C 【解析】　根据题意可知跳绳的转动角速度为ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，故每分钟跳绳的圈数为n＝＝150，故选C。 3．(2025·江苏卷)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O′为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。O′固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与O、O′恰好在同一条直线上。则(　　) A．A点做匀速圆周运动 B．O′点做匀速圆周运动 C．此时A点的速度小于O′点 D．此时A点的速度等于O′点 【答案】　B 【解析】　A点运动为A点绕O′的圆周运动和O′相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，故不做匀速圆周运动，故A错误；根据题意O′固定在底盘上，故可知O′围绕O点做匀速圆周运动，故B正确；杯上A点与O、O′恰好在同一条直线上时且A在OO′延长线上，A点和O′点运动运动方向相同，又A点相对O′点做圆周运动，故此时A的速度大于O′的速度，故C、D错误。故选B。 4．(2025·山东联考)猫猫很怕水，当其身上沾到水后，会通过高速抖动的方式将水甩干，于是gs用这样一个模型来研究这一现象：如图所示，将猫猫的躯干视作轴线水平，半径为R的圆柱(其腿长可忽略)，某一次抖动时可看作其绕自身轴线旋转，角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩出，重力加速度为g，则角速度ω的最小值为(　　) A. B． C． D．2 【答案】　A 【解析】　对最高点的水滴，根据牛顿第二定律得mg＝mω2R，解得ω＝，故选A。 5．(2025·山东卷)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为 s。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为(　　) A．11 N B．9 N C．7 N D．5 N 【答案】　C 【解析】　根据题意可知在曝光时间内小球运动的弧长为Δl＝r＝×0.6 m＝0.12 m，近似认为在曝光时间内小球做匀速直线运动，故有v＝＝ m/s＝6 m/s，在最低点根据牛顿第二定律有T－mg＝m，代入数据解得T＝7 N，故选C。 6．(多选)(2025·广东卷)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有(　　) A．角速度为5 rad/s B．线速度大小为4 m/s C．向心加速度大小为10 m/s2 D．所受支持力大小为1 N 【答案】　AC 【解析】　对小球受力分析可知F向＝mgtan 45°＝mω2R，解得ω＝5 rad/s，故A正确；线速度大小为v＝ωR＝2 m/s，故B错误；向心加速度大小为an＝ω2R＝10 m/s2，故C正确；所受支持力大小为FN＝＝ N，故D错误。故选AC。 7．(2025·云南卷)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　) A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】　D 【解析】　 鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有h＝gt2，由于hM<hN，则tM<tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故A、B错误；在水平方向有x＝v0t，如图，过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确。 8．(2025·四川宜宾模拟)消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则(　　) A．甲、乙水枪喷出的水初速度相等 B．乙水枪喷出的水初速度较大 C．乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长 D．甲水枪喷出的水在最高点的速度较大 【答案】　B 【解析】　令喷出水的初速度v0与水平方向夹角为θ，到达最高点过程，斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，利用逆向思维有(v0sin θ)2＝2gh，解得v0＝，根据图示可知，竖直方向高度相等，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则乙水枪喷出的水初速度较大，故A错误，B正确；斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，根据图示可知，高度相等，利用逆向思维有h＝gt，根据对称性可知，上升与下降时间相等，水枪喷出的水在空中运动的时间t＝2t0，解得t＝2，即甲、乙水枪喷出的水在空中运动的时间相等，故C错误；斜抛运动水平方向做匀速直线运动，则水在最高点的速度vx＝v0cos θ，结合上述可知，甲喷水速度小于乙喷水速度，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则甲水枪喷出的水在最高点的速度较小，故D错误。 【巩固必刷题】 9．(多选)(2025·山东Flawless联考)某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，海豚与高台边缘的水平距离为H。驯兽师在高台边缘，距水面高度为H处静止释放球的同时，海豚以一初速度v0跃出水面，速度方向与水面夹角为θ，如图所示。设海豚跃出水面后姿势保持不变，不计空气阻力，若海豚可以顶到球，则下列选项中可能正确的是(　　) A．v0＝ B．v0＝ C．θ＝30° D．θ＝45° 【答案】　ABD 【解析】　海豚若能顶到球，则水平方向H＝v0tcos θ，竖直方向H＝gt2＋v0tsin θ－gt2＝v0tsin θ，tan θ＝＝1，则θ＝45°，故C错误，D正确；海豚在落水前所经历的时间为t0＝，故当海豚落水时恰好顶到球，有H＝v0tsin θ＝v0sin θ·＝，解得v0＝，故当v0>时，海豚可以顶到球，则选项A、B均可。故选ABD。 10．(多选)(2025·山东卷)如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1＝5 m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O′点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B＝90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A．ωmax＝ rad/s B．ωmax＝ rad/s C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 【答案】　BC 【解析】　物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向H＝gt2，可得t＝2 s，要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足x＝＝vt，最大角速度等于ωmax＝，联立可得ωmax＝ rad/s，故A错误，B正确；无人机从A到B的时间t′＝＝ s，由于t′>t，可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。故选BC。 11．(2024·辽宁沈阳重点中学联考)如图所示是某游乐场中水上过山车的原理示意图。半径为R＝8 m的圆轨道竖直固定在离水面高h＝3.2 m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆轨道的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后通过多个圆轨道，然后从A点离开圆轨道进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s＝12 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。(结果可保留根号) (1)若过山车恰好能通过圆轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？ (2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多大？ (3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，随后进入水平轨道AC并落入水中，求过山车落入水中时的速度大小。 【答案】　(1)4 m/s　(2)15 m/s (3)4 m/s 【解析】　(1)过山车恰好能过最高点时，在最高点只受重力作用，有mg＝m 则vB＝＝4 m/s。 (2)过山车离开C点后做平抛运动落入水中， 有h＝gt2 解得运动时间为t＝＝0.8 s 故最大速度为vmax＝＝15 m/s。 (3)在圆轨道最低点有FN－m′g＝m′ 由牛顿第三定律得FN＝3m′g，解得vA＝＝4 m/s 落入水中时竖直速度为vy＝gt＝8 m/s 则落入水中时的速度大小为v＝＝4 m/s。 12．(2025·安徽卷)如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距L＝0.5 m。一根长为3L的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量m＝0.1 kg的小球，小球与水平地面接触但无压力。t＝0时，小球以水平向右的初速度v0＝10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在t＝0时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【答案】　(1)4 m/s　17 N　(2)4 m (3)2 m/s 【解析】　(1)小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律mv＝mg·2L＋mv2 在该位置时根据牛顿第二定律T－mg＝m 解得v＝4 m/s，T＝17 N。 (2)小球做平抛运动时x＝vt,2L＝gt2 解得x＝4 m。 (3)若小球经过N正上方绳子恰不松弛，则满足mg＝m 从最低点到该位置由动能定理mv0′2＝mg·5L＋mv′2 解得v0′＝2 m/s。 学科网（北京）股份有限公司 $