山西省太原市小店区山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A A D C C D 【解析】 1．故选B． 2．圆心为，故抛物线准线为，故焦点为，故选C． 3．，故选A． 4．易知，，故故选A． 5．建系，利用公式可得，故选D． 6．，故选C． 7．由和角平线定理知：由双曲线定义知：故又由，可得（为内切圆半径），又由，得，故，故选C． 8．方程整理为，令，显然为单调递增函数，故方程简化为有两个解，即，令，对求导可知，在上单减，上单增且，，故，则，故选D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 【解析】 9．对于A，令可知，A错误；对于B：由糖水不等式知，B正确（或者进行作差比较）；对于C：由均值不等式知：，C错误；对于D：由指对数函数易知，D正确，故选BD． 10．令，可得，故A正确；令，可得令，可得，两式相减得故C正确；由于，故，令，可得，故B错误；由解得，故D正确，故选ACD． 11．由可知，，故数列为等差数列，且 ，故，则，故，故A正确；由等差数列前n项和公式得：，故C错误；由，那么，解得，故B正确；对于D选项：由可得，化简为，令，得，即则 ，故D正确，故选ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 8 【解析】 12．集合，集合，故． 13．由正态分布得，，那么随机抽取10位同学中，满足条件的同学人数为，那么，故． 14．由题知：，两边平方得：又由余弦定理知：两式相除得：，令上式化简为，令，上式化为： 由，可得 ，那么，即． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）由余弦定理知：， …………………………………………………………（2分） 又由于， …………………………………………………………（3分） 那么 化简为，即 那么， …………………………………………………………（5分） 则，即． ……………………………………（6分） （2）由可知： …………………………………………………………（8分） 即： ……………………………………（10分） 又由余弦定理得：，即 联立方程可得：， ……………………………………（12分） 所以． ……………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：因为，平面， 所以平面． …………………………………………………………（3分） 又由于平面平面，所以． ……………………………（6分） （2）解：由（1）问可知：，过点E作， 交PD于点F， 以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴，如图建系： ………………………………（8分） 那么可得， ， ……………………………（10分） 设平面PCD的一个法向量为，则，可得 令，可得， ……………………………………（13分） 记直线与平面所成角为，． ……………………（15分） 17．（本小题满分15分） 解：（1） ……………………（2分） 由得： ……………………………………（4分） 因为，所以，由函数可得： 由图可知：或， ……………………………………（6分） 即或． …………………………………………………………（7分） （2）由， ………………（9分） 当时，，，， 所以，故函数在上单调递减； ……………………（11分） 当时，，，， 所以，故函数在上单调递增． ………………………（13分） 又由于，， 故的值域为． ……………………………………（15分） 18．（本小题满分17分） 解：（1）直线的方程为：，直线的方程为： 两式相乘得：，化简得椭圆的方程：． …………………………………………………………（4分） （2）（i）设直线的方程为：，记 由消元可得： 即 解得， 又， ……………………………………（5分） ， ……………………………………（7分） 由可得： 由于，故 ……………………………………（9分） （ii）由于A，B，P三点共线，所以， 即， 整理有 ………………………（10分） 设，由消元可得：， 所以，又由， 可得 所以 …………………（12分） 同理可得：， ……………………………（13分） 那么 …………………………………………………………（15分） 将代入上式： ，故． …………………………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分） 解：（1）由题可知：X的取值可能为2，3，4， 故的分布列为 2 3 4 所以． …………………………………（4分） （2）记事件A：甲同学获奖， 显然，，设Y表示甲抛掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则 ……………………………………（6分） 所以 令 所以 两式相减： 即 ……………………………………（8分） 所以． ……………………………………（9分） （3）记Z表示乙同学的得分，，记事件B：乙同学获奖， 表示乙同学得分为k分时，最终获奖的概率，显然 又 ……………………………………………（10分） 由全概率公式知： 所以 …………………………………………………………（12分） 那么 即 同理： 累加有 所以 即 即 即， ……………………………………………………（15分） 由甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为得： …………………………………………………………（16分） 由，即，解得 故的最小值为． ……………………………………（17分） 数学参考答案·第8页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写 清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效· 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.等差数列|an}中，a6=3,则a3+ag= A.3 B.6 C.9 D.12 2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线刚好平分圆(x+2)2+(y+1)2=1的周长，则抛物线的焦点坐标为 A.(1,0) B.(0,1) C.(2,0) D.(0,2) 3.从1,2,3,4,5,6,7这7个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件A:“第一次抽到 的数字是奇数”，事件B:“第二次抽到的数字是偶数”，则P(B|A)= c号 D 4.边长为2的等边三角形ABC的外心为0，则0i·A店= A.-2 B.2 C.23 D.-√3 5.正三棱柱ABC-A,B,C1中，AB=AA1,则异面直线AB,与BC,所成角的余弦值为 A.-y5 4 C.v15 4 D 6.任何一个复数z=a+bi(a,beR)都可以表示成z=r(cos0+isin8)(r≥0,0eR)的形式，通常称为复 数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：[r(cos0+isin0)]"=r(cosn0+isinn8),(neZ),我们称这 个结论为棣莫弗定理.则（√5+i)026的值为 A.22025(5+i) B.22026(√5-i) C.22025(1-√3i) D.22026(-1+√5i) 数学·第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.已知双曲线4=1(b>0)的左、右焦点分别为，F,P为双曲线右支上一点，△PF,B,的内切 圆圆心为1，连接P1并延长交x轴于点Q,若=√3攻，F,=2QF,则双曲线的离心率为 A.2 B.23 C.5 D.4 8.关于x的方程x(e+lnx)=1-a有两个不同的解，则实数a的取值范围为 1 .1 A.0≤a< B.a≤ e e 1 C.0<a≤- D.0<a< e e 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中，正确的有 A“>b”是“>1”的必要不充分条件 b a B.若a>b>c>0,则+b a+c a C.若实数a,b满足2a+b=2,则4°+2°的最小值为2√2 D.1og号2<0.302<203 10.已知(2x-1)8=a+a,(x-1)+a2(x-1)2+…+a(x-1)9,则下列结论正确的有 A.ao=1 B.a3=494 8-1 C.a+a;+as+ar=-2 D.a(i=0,1,2…,8)中，a5与a6最大 1.已知正项数1列2|满足a-分，a行，a=(2a,om)o.(neN),则下列说法正确的是 A.a20m6-4053 B存在EN,使得含a1一号 c.2n3-n+2 D.∑a,<lnV2n+l a 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 2已知集合A=0,集合B=y=,xeA,则An8= 13.据调查，某高校大学生每个月的生活费X（单位：元)服从正态分布X~N(2000,σ2)，又 P(2000<X<2500)=0.3,已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有 人 14.若△MBC中，∠B=号，BC>AB,点D清足办=2DC且BD=l,则AC的取值范围为 数学·第2页（共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S且满足 s=3[a2-(6-e1 (1)求角A的大小； (2)若∠BAC的平分线交BC于点D,且AD=√5，BC=2,求△ABC的面积. 16.（本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠BAD=,PA=AD=3,AB=2,BC=4, E为线段PA上一点，且满足PB=之A,记平面BCBn平面PAD=L (1)求证：BC∥L; (2)若直线PD与l交于点F,求直线BF与平面PCD所成角的正弦值 17.(本小题满分15分) 函数f(x)=sinx. (1)令F(x)=x)+f'(x)-a,xe[2,引，若函数F(x)存在唯一零点，求实数a的取值 范围； (2)若g(x)=(x+1)-,xe[受，]，求函数()的值域 数学·第3页（共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.（本小题满分17分) 平面直角坐标系0y中，A(2,入)，A(2(1-入)，0)，B(0,1),B2(0,-1),其中0<入<1，直 线48，与直线AB,交于点Q,Q的轨迹为椭圆B:+片=1(a>b>0)的一部分 (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(-4,0)作斜率为k(k>0)的直线1与E交于A,B两点， (i)若|AP|+BP|=|AP|·|BP|,求实数u的取值范围； ()已知点M(1,O),直线AM,BM与E分别交于另一点为C,D,令直线CD的斜率为k,求 会的海 19.（本小题满分17分) 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包人 框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若 投掷n次(n≥2且neN)后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得-1分，当 累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到-3分，游戏立即结束，无法获奖 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立、已知甲同学参加游 戏-，且每次命中率为了；乙同学参加游戏二，每次命中率为p(0p<1)。 (1)当n=4时，记甲同学投掷次数为X,求X的分布列及期望； (2)当n=k(k≥2且keN)时，求甲同学获奖的概率（用含k的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为Po;若乙同学获奖概率不小于Po,求P的最 小值. 数学·第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP