精品解析：浙江省绍兴市中职学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

绍兴市中职学校2025学年第一学期高二期中考试试卷 科目：数学 考试时间：120分钟 　 满分：150分 考试说明： 1．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分） （在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或者未涂均不得分） 1. 下列条件可以确定一个平面的是（ ） A. 两条直线 B. 一点和一条直线 C. 三个不共线的点 D. 两个点和一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】通过确定一个平面的条件，进而确定答案. 【详解】选项 A 中的两条直线如果不相交且不平行，则不能确定一个平面, 选项 B 中的点在直线上时不能确定一个平面, 选项 C 中的三个不共线的点可以确定一个平面, 选项 D 中的两个点确定直线与已知直线不相交且不平行时不能确定一个平面. 故选：C. 2. “”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由可解得， 由可解得， 故“”是“”的充要条件. 故选：A. 3. 已知复数，则在复平面内对应（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】因为复数，则在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A. 4. 若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 5. 计算：（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 6. 若直线，都平行于平面，则，的位置关系是（　　） A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合两条直线的位置关系判断即可. 【详解】若两直线，都在同一平面内，该平面平行于平面，两直线，都平行于平面， 那么直线，可能相交，可能平行； 当，是异面直线，也有可能两直线，都平行于平面， 所以若两直线，都平行于平面，则位置关系是可能平行、可能相交、可能异面. 故选：D. 7. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量减法的坐标化运算和向量模的坐标运算即可得到答案. 【详解】， 所以， 故选：D. 8. 若，则（　　） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的定义以及复数的模公式求解即可. 【详解】若，则. 故选：D. 9. 已知p：“”，q：“”，则p是q的（　　） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出条件q，再根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】q：“”，即q:或. 因此知p：“”，可以推出q，q无法推出p. 因此p是q的充分不必要条件. 故选：C. 10. 已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（　　） A. 相交或异面 B. 异面 C. 相交 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条直线的位置关系分析判断即可. 【详解】当a与d平行时，因为，所以，不满足题意； 当a与d相交时，可以满足，且是异面直线，符合题意； 当a与d异面时，也能满足，且是异面直线，符合题意， 所以a与d的位置关系为相交或异面， 故选：A. 11. 已知两个不同的平面和直线，若，则与的位置关系为（　　） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质即可得解. 【详解】两个不同的平面和直线，若，则， 故选：. 12. 若复数，则下列说法正确的是（　　） A. 复数的虚部为 B. C. 复数为纯虚数 D. 的实部为 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的概念和复数实部和虚部的定义，即可求解. 【详解】根据题意，复数的实部为1，虚部为1，故A、D错误； ,故B正确； 复数为实数，故C错误. 故选：B. 13. 化简向量等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量加减法运算可直接求解. 【详解】. 故选：D. 14. 已知直线为空间中一条直线，平面，，为两两相互垂直的三个平面，则（　　） A. 若，则与和相交 B. 若，则或 C. 若，则，且 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系的判定方法，逐项判断即可. 【详解】对于选项A：由，则与和相交或平行或在面内，故A错误； 对于选项B：当时，且且，故B错误； 对于选项C：当时，与可以成任意角，故C错误； 对于选项D：如下图，易得，故D正确， 故选：D. 15. 已知是两条直线，是两个平面，且，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面和平面与平面的位置关系，结合充分、必要条件的定义分析求解即可. 【详解】若是两条不同的直线，是两个不同的平面，且， 则由不能推出，可能相交，故充分性不成立； 由也不能推出，可能异面，故必要性也不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：B. 16. 已知，边长为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中所给条件，可知，再将所求式子先平方再开方计算即可求解. 【详解】因为，边长为， 所以，， 所以. 故选：C. 17. 在梯形中，，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算分析求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 故选：C. 18. 如图所示，在正方体中点是线段上一动点，则和所成的角为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质求解即可. 【详解】 连接，则. 由平面，所以. 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因此和所成的角为. 故选：C. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 19. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 20. 已知平面上三点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示及运算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 21. “”是“”的_________条件． 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质求解判断即可. 【详解】充分性：当时，因为，所以，当时，，故“”是“”的不充分条件； 必要性：当时，则必有，所以，所以，故“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 22. 在正方体中，则与平面所成角的正弦值为____________． 【答案】 【解析】 【详解】根据线面角的求法，分析求解即可. 【点睛】如图： 在正方体中，平面，平面， 所以是与平面所成角，且， 设棱长为，则， 所以与平面所成角的正弦值为, 故答案为：. 23. 已知复数为纯虚数，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得或. 当时 ，，满足题意. 当时，，不满足题意. 故答案为：1. 24. 如图所示，是顶角为的等腰三角形，且，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量内积的公式求解即可. 【详解】因为是顶角为的等腰三角形， 所以. 因此. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共72分）（解答应写出文字说明及演算步骤） 25. 如图所示，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在向量中: （1）分别写出与相等的向量； （2）写出与共线的向量； （3）求向量与的夹角的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相等向量的定义求解即可； （2）根据共线向量的定义求解即可； （3）根据向量夹角的定义及求法求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：. 【小问2详解】 与共线的向量为. 【小问3详解】 因为=， 所以向量与的夹角即向量与的夹角为. 26. 如图所示，在长方体中，已知，求： （1）直线与底面所成的角； （2）二面角的平面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在长方体中，由面，可知为直线与底面所成的角，在直角中可求解； （2）在长方体中，根据线面垂直的性质有，可得为二面角的平面角，在直角中可求解. 【小问1详解】 在长方体中，由于面， 所以在底面内的射影为， 则为直线与底面所成的角， 长方体中，，， 则，可得， 即直线与底面所成角为； 【小问2详解】 在长方体， 因为面，且都在平面内， 所以， 即为二面角的平面角. 在直角中， ， 二面角的平面角的正切值为. 27. 已知复数． （1）求； （2）若，求的共轭复数． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据复数的运算法则及模长公式即可得解. （）根据复数的运算法则求出，结合共轭复数的定义即可得解. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴. 【小问2详解】 由， 所以复数的共轭复数． 28. 已知向量，，． （1）若，求实数x的值，并求的值； （2）若，求实数x的值． 【答案】（1），8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示及向量内积的坐标表示求解即可； （2）根据向量的坐标运算及向量平行的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得：， 所以，. 【小问2详解】 因为， 又，所以， 解得：. 所以实数的值为. 29. 如图所示，正方体的棱长为2. （1）求AC与所成角的大小； （2）证明：平面； （3）若E，F分别为AB，AD的中点，求. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据异面直线所成的角的概念找出平面角，再根据等边三角形的性质求解即可. （2）根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. （3）根据三棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 如图所示，连接，，由是正方体. 因为，所以四边形是平行四边形. 所以，从而与AC所成的角就是AC与所成的角， 因为，所以， 即与AC所成的角为. 【小问2详解】 因为平面，所以. 因为平面， 所以平面，可得； 因为平面，所以. 因为，平面， 所以平面，可得； 又因为平面， 所以平面. 【小问3详解】 连接，在正方体中， 因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以，所以为几何体的高. 所以，. 30. 如图所示，已知与都是等边三角形，平面平面，平面，，. （1）求直线与底面所成角的正切值； （2）证明：平面； （3）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（）根据题意作出辅助线，找到线面角即可得解. （）根据题意结合线面平行的判定定理即可得解. （）根据题意找到二面角的平面角，求出正切值即可得解. 【小问1详解】 如图所示，取的中点，连接，， 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，则为直线与底面所成角， ，， 则， 即直线与底面所成角的正切值为1. 【小问2详解】 由（）得：平面，又平面，所以， 又， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问3详解】 连接. 因为，， ，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，平面平面，且，， 所以即为平面与平面的夹角， 易得，，所以， 因为， 得，即平面与平面的夹角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绍兴市中职学校2025学年第一学期高二期中考试试卷 科目：数学 考试时间：120分钟 　 满分：150分 考试说明： 1．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分） （在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或者未涂均不得分） 1. 下列条件可以确定一个平面的是（ ） A. 两条直线 B. 一点和一条直线 C. 三个不共线的点 D. 两个点和一条直线 2. “”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3. 已知复数，则在复平面内对应（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若，，则（　　） A. B. C. D. 5. 计算：（　　） A. B. C. D. 6. 若直线，都平行于平面，则，的位置关系是（　　） A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能 7. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若，则（　　） A. 0 B. 1 C. D. 2 9. 已知p：“”，q：“”，则p是q的（　　） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 10. 已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（　　） A. 相交或异面 B. 异面 C. 相交 D. 不确定 11. 已知两个不同的平面和直线，若，则与的位置关系为（　　） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定 12. 若复数，则下列说法正确的是（　　） A. 复数的虚部为 B. C. 复数为纯虚数 D. 的实部为 13. 化简向量等于（　　） A. B. C. D. 14. 已知直线为空间中一条直线，平面，，为两两相互垂直的三个平面，则（　　） A. 若，则与和相交 B. 若，则或 C. 若，则，且 D. 若，则 15. 已知是两条直线，是两个平面，且，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 16. 已知，边长为，则（　　） A. B. C. D. 17. 在梯形中，，若，则 （ ） A. B. C. D. 18. 如图所示，在正方体中点是线段上一动点，则和所成的角为（　　） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 19. 计算：____________． 20. 已知平面上三点，则____________． 21. “”是“”的_________条件． 22. 在正方体中，则与平面所成角的正弦值为____________． 23. 已知复数为纯虚数，则____________． 24. 如图所示，是顶角为的等腰三角形，且，则____________． 三、解答题（本大题共6小题，共72分）（解答应写出文字说明及演算步骤） 25. 如图所示，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在向量中: （1）分别写出与相等的向量； （2）写出与共线的向量； （3）求向量与的夹角的大小． 26. 如图所示，在长方体中，已知，求： （1）直线与底面所成的角； （2）二面角的平面角的正切值. 27. 已知复数． （1）求； （2）若，求的共轭复数． 28. 已知向量，，． （1）若，求实数x的值，并求的值； （2）若，求实数x的值． 29. 如图所示，正方体的棱长为2. （1）求AC与所成角的大小； （2）证明：平面； （3）若E，F分别为AB，AD的中点，求. 30. 如图所示，已知与都是等边三角形，平面平面，平面，，. （1）求直线与底面所成角的正切值； （2）证明：平面； （3）求平面与平面夹角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $