第三单元：圆柱与圆锥（知识清单）数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册第三单元：圆柱与圆锥（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：圆柱的认识 1、圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。 把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱。 2、圆柱的特征 （1）圆柱是由3个面围成的。 （2）它的上、下两个面叫做底面。上、下底面是完全相同的两个圆。 （3）圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面。 （4）圆柱的两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高。 【易错点】 （1）混淆圆柱侧面展开图的长和宽：误将圆柱的高当作展开图的长，实际长是底面周长。 （2）实际应用漏算或多算面：计算无盖水桶表面积时，误算成2个底面；计算通风管时，多算底面。 知识点02：圆柱的表面积 1、圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面是一个曲面，沿高展开后是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长（或边长）等于圆柱的底面周长，宽（或边长）等于圆柱的高。 2、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 S侧＝Ch＝2πrh＝πdh 3、圆柱的表面积 （1）圆柱的表面积指的是圆柱表面的总面积。 （2）圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面圆的面积×2 S表＝Ch＋2πr2 【易错点】 （1）无盖圆柱（如水桶）的表面积=S侧+S底； （2）通风管、烟囱等的表面积=S侧 知识点03：圆柱的体积 1、圆柱体积公式的推导：将圆柱切拼成近似的长方体，长方体的底面积=圆柱的底面积，长方体的高=圆柱的高，长方体体积=圆柱体积。 2、体积公式：圆柱的体积＝底面积×高 如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是： V＝Sh＝πr²h 【易错点】切拼圆柱后体积变化判断错误：认为切拼成长方体后体积变大，实际体积不变，表面积变大。 知识点04：圆锥的认识 1、圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转而得到的。由1个圆形底面和1个曲面侧面组成。 2、圆锥的高：圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高 3、圆锥的特征： （1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。 （2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。 （3）高的特征：圆锥只有一条高。 【易错点】圆锥高的概念误解：认为圆锥的高是从顶点到底面边缘的距离，实际是到圆心的垂直距离。 知识点05：圆锥的体积 1、圆锥体积公式的推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的。 2、圆锥的体积公式：V圆锥＝V圆柱＝πr2h 3、圆柱与圆锥的关系 （1）等底等高：V锥=V柱，V柱=3V锥； （2）体积相等、底面积相等：h锥=3h柱； （3）体积相等、高相等：S锥底=3S柱底。 【易错点】等底等高关系混淆：在体积相等的情况下，V锥=V柱，V柱=3V锥。 知识点06：不规则物体的体积问题 1、“转化法”求不规则物体的体积 解题方法： （1）根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 （2）根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 （3）瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 2、“排水法”求不规则物体的体积 排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 考点1：圆柱的认识 【典型例题】笑笑用一张长方形纸通过下面的（     ）方式旋转，能得到一个底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱。 A． B． C． D． 【练习】有一块半径为2dm的圆形铁皮，与下面（     ）块长方形铁皮可以围成一个无盖圆柱形铁皮水桶。 A． B． C． D． 考点2：圆柱的侧面积 【典型例题】有一个圆柱形的建筑，它的底面半径为5米，高为8米，如果要给这个圆柱的侧面全部涂上一种特殊的颜料，那么涂颜料的面积是多少平方米？ 【练习】圆柱的底面半径是5dm，若高增加2dm，则侧面积增加（     ）dm2。 A．109.9 B．62.8 C．31.4 D．20 考点3：圆柱的表面积 【典型例题1】爸爸想做一个底面直径是4分米，高是5分米，且无盖的圆柱形铁桶。妈妈说：“做这个铁桶要75平方分米的铁皮就够了。”你同意妈妈的说法吗？写出你的过程。 【典型例题2】把一根长为90厘米，底面半径为4厘米的圆木平均锯成三段，表面积一共可增加（ ）平方厘米。 【练习】一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚（如下图），长15米，横截面是一个半径为2米的半圆。覆盖这个大棚至少要用多少平方米的塑料薄膜？ 考点4：组合体的表面积问题（圆柱） 【典型例题】综合实践课，小明制作了一顶帽子（如图），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（     ）平方厘米。 A．628 B．1256 C．1884 D．2198 【练习】求下面图形的表面积。（单位：厘米） 考点5：圆柱的体积（容积） 【典型例题1】如图：小芳将一个圆柱体切拼成一个长方体，并侧放。想到了另一种计算圆柱体的体积方法。亲爱的小朋友：你也想到了吗？如果圆柱体的半径是2cm，侧面积是12.56cm2，这个圆柱体的体积是（ ）cm3。 【典型例题2】把一个棱长为8厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【练习】一个圆柱形水桶，从里面量，底面直径是4dm，高是5dm。已知每立方分米水重1kg，则这个水桶能装水（ ）kg。 考点6：立体图形的切拼（圆柱） 【典型例题】如下图，一根长30分米的圆柱形木料，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米。原来这根圆柱形木料的体积是多少？ 【练习】两个同样的圆柱拼成了一个高为20厘米的大圆柱，这时表面积减少了16平方厘米，原来每个小圆柱的体积是（ ）立方厘米。 考点7：圆锥的认识 【典型例题】如图，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个（ ），得到的这个图形的高是（ ）cm，底面积是（ ）cm2。 【练习】如图所示是一个圆锥，该圆锥有（ ）条高，高是（ ）cm，底面积是（ ）cm2。 考点8：圆锥的体积（容积） 【典型例题】孙爷爷的小麦大丰收。麦堆的高1.5米，底面直径6米，每立方米粮食800千克，这堆小麦多少吨？ 【练习】一个圆柱形橡皮泥的底面积是15平方厘米，高是6厘米，如果把它捏成一个与它的底面积相等的圆锥，圆锥的高是（     ）厘米。 A．2 B．6 C．18 考点9：组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 【典型例题】以图中直线为轴旋转一周，求旋转后得到的图形的体积。 【练习】如下图，把冰激凌的上半部分近似地看作圆锥，那么这个冰激凌的体积是多少立方厘米？（单位：cm） 考点10：不规则物体的体积问题 【典型例题1】．一个圆柱形水槽，底面半径是10厘米，把一个底面半径是4厘米的圆锥形铁块浸没在水槽中，但水没有溢出水槽，当取出铁块时，水面下降了2厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【典型例题2】一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如下图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的（     ）。 A． B． C． D． 【练习】把一个圆锥完全浸没在一个底面直径为6厘米的圆柱形容器里，水位上升了4厘米。这个圆锥的体积是（     ）立方厘米。 A．36π B．12π C．48π D．144π 一、选择题 1．用一块长25.12cm、宽18.84cm的长方形铁皮，配上下面圆形铁片（     ）正好可以做成圆柱形容器。 A．半径为1cm B．直径为3cm C．半径为4cm 2．一个圆锥形沙堆，底面积是50.24m2，高是3m。将这堆沙铺在一条长314m，宽8m的公路上，能铺（     ）cm厚。 A．0.02 B．0.06 C．2 3．如图，将圆锥形容器中装满水后倒入圆柱形容器中，圆柱形容器的水面将有（     ）高。 A．9cm B．3cm C．6.25cm 4．一个圆柱和一个圆锥的底面半径的比是2∶3，它们的体积相等，那么圆柱与圆锥高的最简比是（     ）。 A．1∶2 B．3∶4 C．4∶9 5．一根圆柱形木料，底面半径是6分米，高是4分米，如图，把这根木料沿底面直径锯成两个相等的半圆柱，表面积比原来增加的面积是（     ）。 A．48平方分米 B．226.08平方分米 C．96平方分米 二、填空题 6．一个圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形。如果这个圆柱的底面半径是5厘米，那么这个圆柱的高是（ ）厘米。 7．一堆沙子呈圆锥形，底面半径为1m，高为1.5m。如果每立方米沙子大约重1.5t，这堆沙子大约重（ ）t。 8．一个直角三角形，两条直角边长分别是6cm和10cm。如果以较长直角边所在直线为轴旋转一周，那么得到的立体图形的体积是（ ）cm3；如果以较短直角边所在直线为轴旋转一周，那么得到的立体图形的体积是（ ）cm3。 9．把一个长方形的铁皮做成圆柱形（接缝不计），按下图剪裁，这个圆柱的底面半径是（ ）dm，圆柱表面积是（ ）dm2。 10．一根圆柱形钢材长2米，横截面的直径是4厘米。如果每立方厘米钢材重7.8克，这根钢材重（ ）千克。 11．六年级学生用卡纸制作“博士帽”，“博士帽”上面是边长为30cm的正方形，下面是底面直径为18cm、高为8cm的无盖无底圆柱，制作这样一顶“博士帽”至少需要（ ）cm2的卡纸。（结果用含π的式子表示） 12．一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是78cm3，削去部分的体积是（ ）cm3。 13．下面是直角梯形ABCD，如果以CD边所在的直线为轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是（ ）立方厘米。（单位：厘米） 14．一种圆柱形纸筒高是12厘米，底面直径是5厘米。如图，6个打包装入纸箱，这个纸箱容积是（ ）立方厘米，合（ ）立方分米。 15．一个圆柱和一个圆锥高相等，体积的比是6∶1，如果圆柱的底面积是3.6平方分米，圆锥的底面积是（ ）平方分米。 16．一个圆柱，如果高减少2厘米，表面积就减少25.12平方厘米，体积减少。这个圆柱原来的体积是（ ）立方厘米。 17．数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水（如图），根据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）（填分数），如果想求出瓶子的容积，还需要知道（ ）。 三、判断题 18．一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，量得正方形的边长是18.84厘米，则这个圆柱的底面半径是3厘米。（ ） 19．分别以如图三角形的两条直角边为轴旋转一周，所形成的两个圆锥的体积相等。（ ） 20．同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。（ ） 21．把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了36立方厘米，这个圆锥的体积是18立方厘米。（ ） 22．圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的8倍。（ ） 四、计算题 23．求出如下图形的体积。 24．求下图的体积。 五、解答题 25．一段长方体木材，长、宽、高分别是4分米、4分米、10分米（如下图）。张师傅要将它加工成一个最大的圆柱，这个最大圆柱的体积是多少立方分米？加工时需要削去多少立方分米的木材？ 26．一个圆锥形零件，底面半径是4米，高是1.5米。如果把它熔铸成一个底面半径为2米的圆柱，圆柱的高是多少？ 27．小东家去年秋季收获的稻谷堆成了圆锥形，底面周长是9.42米，高是2米。如果把这堆稻谷装进底面半径为1米的圆柱形粮仓中，仓内稻谷高多少米？（π取3.14） 28．一种没有盖的圆柱形铁皮水桶，从里面量，底面直径是4分米，高是3分米。做一个这样的水桶大约用铁皮多少平方分米？如果把这个铁皮水桶装满水，能装多少升？ 29．沙漏也叫沙钟，是一种测量时间的装置。妈妈为确保小新每次刷牙的时长达到要求，让小新用装满沙子的沙漏进行计时（如图），要求小新每次刷牙的时长不少于沙子漏完的时长。这个沙漏每分钟漏掉4立方厘米的沙子，小新每次最少要刷牙多少分钟？（取3） 30．实验、操作的方法在数学学习中很有用！一个数学社团活动小组测量一个圆锥体零件的高度，进行了如下实验。 （1）准备一个长方体玻璃缸，并从里面测出长、宽分别是50厘米、30厘米，缸中水的深度是12厘米； （2）将一个底面积是900平方厘米的圆锥体零件全部浸没在水中； （3）发现此时水的深度是15厘米。 根据实验结果，这个零件的高度是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册第三单元：圆柱与圆锥（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：圆柱的认识 1、圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。 把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱。 2、圆柱的特征 （1）圆柱是由3个面围成的。 （2）它的上、下两个面叫做底面。上、下底面是完全相同的两个圆。 （3）圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面。 （4）圆柱的两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高。 【易错点】 （1）混淆圆柱侧面展开图的长和宽：误将圆柱的高当作展开图的长，实际长是底面周长。 （2）实际应用漏算或多算面：计算无盖水桶表面积时，误算成2个底面；计算通风管时，多算底面。 知识点02：圆柱的表面积 1、圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面是一个曲面，沿高展开后是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长（或边长）等于圆柱的底面周长，宽（或边长）等于圆柱的高。 2、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 S侧＝Ch＝2πrh＝πdh 3、圆柱的表面积 （1）圆柱的表面积指的是圆柱表面的总面积。 （2）圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面圆的面积×2 S表＝Ch＋2πr2 【易错点】 （1）无盖圆柱（如水桶）的表面积=S侧+S底； （2）通风管、烟囱等的表面积=S侧 知识点03：圆柱的体积 1、圆柱体积公式的推导：将圆柱切拼成近似的长方体，长方体的底面积=圆柱的底面积，长方体的高=圆柱的高，长方体体积=圆柱体积。 2、体积公式：圆柱的体积＝底面积×高 如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是： V＝Sh＝πr²h 【易错点】切拼圆柱后体积变化判断错误：认为切拼成长方体后体积变大，实际体积不变，表面积变大。 知识点04：圆锥的认识 1、圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转而得到的。由1个圆形底面和1个曲面侧面组成。 2、圆锥的高：圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高 3、圆锥的特征： （1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。 （2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。 （3）高的特征：圆锥只有一条高。 【易错点】圆锥高的概念误解：认为圆锥的高是从顶点到底面边缘的距离，实际是到圆心的垂直距离。 知识点05：圆锥的体积 1、圆锥体积公式的推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的。 2、圆锥的体积公式：V圆锥＝V圆柱＝πr2h 3、圆柱与圆锥的关系 （1）等底等高：V锥=V柱，V柱=3V锥； （2）体积相等、底面积相等：h锥=3h柱； （3）体积相等、高相等：S锥底=3S柱底。 【易错点】等底等高关系混淆：在体积相等的情况下，V锥=V柱，V柱=3V锥。 知识点06：不规则物体的体积问题 1、“转化法”求不规则物体的体积 解题方法： （1）根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 （2）根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 （3）瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 2、“排水法”求不规则物体的体积 排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 考点1：圆柱的认识 【典型例题】笑笑用一张长方形纸通过下面的（     ）方式旋转，能得到一个底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆柱定义：圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．，旋转后，得到的是底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱，符合题意； B．，旋转后，得到的是底面直径是20×2＝40（厘米），高是8厘米的圆柱，不符合题意； C．，旋转后，得到的是底面直径是8×2＝16（厘米），高是20厘米的圆柱，不符合题意； D．，旋转后，得到的是底面直径是20厘米，高是8厘米的圆柱，不符合题意； 笑笑用一张长方形纸通过方式旋转，能得到一个底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱。 故答案为：A 【练习】有一块半径为2dm的圆形铁皮，与下面（     ）块长方形铁皮可以围成一个无盖圆柱形铁皮水桶。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用一块长方形或正方形铁皮与一块半径为2dm的圆形铁皮围成一个无盖圆柱形铁皮水桶，那么长方形的长或正方形的边长等于圆柱的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr，求出圆柱的底面周长，再与各选项中的长方形的长或正方形的边长进行对比，即可得解。 【详解】2×3.14×2＝12.56（dm） 一块半径为2dm的圆形铁皮与一块长为12.56dm的长方形铁皮可以围成一个无盖圆柱形铁皮水桶。 故答案为：D 考点2：圆柱的侧面积 【典型例题】有一个圆柱形的建筑，它的底面半径为5米，高为8米，如果要给这个圆柱的侧面全部涂上一种特殊的颜料，那么涂颜料的面积是多少平方米？ 【答案】251.2平方米 【分析】分析题目，涂颜料的面积等于圆柱的侧面积，圆柱的侧面积＝2πrh，据此代入数据列式计算即可。 【详解】5×2×3.14×8 ＝10×3.14×8 ＝31.4×8 ＝251.2（平方米） 答：涂颜料的面积是251.2平方米。 【练习】圆柱的底面半径是5dm，若高增加2dm，则侧面积增加（     ）dm2。 A．109.9 B．62.8 C．31.4 D．20 【答案】B 【分析】根据题意，圆柱的高增加2dm，侧面积增加部分是高2dm的圆柱的侧面积。根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，把数据代入公式解答即可。 【详解】2×3.14×5×2 ＝31.4×2 ＝62.8（dm2） 则侧面积增加62.8dm2。 故答案为：B 考点3：圆柱的表面积 【典型例题1】爸爸想做一个底面直径是4分米，高是5分米，且无盖的圆柱形铁桶。妈妈说：“做这个铁桶要75平方分米的铁皮就够了。”你同意妈妈的说法吗？写出你的过程。 【答案】不同意；见详解 【分析】无盖的圆柱形水桶的面积＝水桶的侧面积＋底面积，即S＝πdh＋πr2。代入数据计算即可求出铁皮的面积。再判断即可。 【详解】3.14×4×5＋3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4×5＋3.14×22 ＝3.14×4×5＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（平方分米） 75.36＞75 答：我不同意妈妈的说法，因为做这个铁桶至少要75.36平方分米的铁皮。 【典型例题2】把一根长为90厘米，底面半径为4厘米的圆木平均锯成三段，表面积一共可增加（ ）平方厘米。 【答案】200.96 【分析】根据题意，圆木平均锯成三段，增加了4个底面的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出一个底面的面积，再乘4，即可解答。 【详解】3.14×42×4 ＝3.14×16×4 ＝50.24×4 ＝200.96（平方厘米） 把一根长为90厘米，底面半径为4厘米的圆木平均锯成三段，表面积一共可增加200.96平方厘米。 【练习】一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚（如下图），长15米，横截面是一个半径为2米的半圆。覆盖这个大棚至少要用多少平方米的塑料薄膜？ 【答案】106.76平方米 【分析】大棚的长相当于圆柱的高，两个横截面可以拼成一个完整的圆，塑料薄膜的面积＝圆柱底面积＋侧面积÷2，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 【详解】3.14×22＋2×3.14×2×15÷2 ＝3.14×4＋94.2 ＝12.56＋94.2 ＝106.76（平方米） 答：覆盖这个大棚至少要用106.76平方米的塑料薄膜。 考点4：组合体的表面积问题（圆柱） 【典型例题】综合实践课，小明制作了一顶帽子（如图），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（     ）平方厘米。 A．628 B．1256 C．1884 D．2198 【答案】C 【分析】帽子顶和帽檐合在一起就是一个大圆，先求出大圆的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch，分别计算大圆的面积和帽顶部分的侧面积，最后将两者相加就是所用布的总面积。 【详解】20÷2＝10（厘米） 10＋10＝20（厘米） 3.14×20² ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 3.14×20×10＝628（平方厘米） 628＋1256＝1884（平方厘米） 即这顶帽子一共用布1884平方厘米。 故答案为：C 【练习】求下面图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】282.6平方厘米 【分析】利用圆环的面积公式：S＝，再乘2，即可求出这个图形左右两边圆环的面积，里面小圆柱的侧面积可通过公式：S＝求出，外面大圆柱的侧面积同样可通过公式：S＝求出，注意两个圆柱的直径不同，把2个圆环的面积加上大小圆柱的侧面积即是这个图形的表面积。 【详解】圆环面积：R＝6÷2＝3（厘米），r＝4÷2＝2（厘米）； （3×3－2×2）×3.14×2 ＝（9－4）×3.14×2 ＝5×3.14×2 ＝31.4（平方厘米） 外侧面积：6×3.14×8＝150.72（平方厘米） 内侧面积：4×3.14×8＝100.48（平方厘米） 表面积：31.4＋150.72＋100.48＝282.6（平方厘米） 考点5：圆柱的体积（容积） 【典型例题1】如图：小芳将一个圆柱体切拼成一个长方体，并侧放。想到了另一种计算圆柱体的体积方法。亲爱的小朋友：你也想到了吗？如果圆柱体的半径是2cm，侧面积是12.56cm2，这个圆柱体的体积是（ ）cm3。 【答案】12.56 【分析】观察可知，将一个圆柱体切拼成一个长方体，并侧放会得到一个长方体，长方体的底面积就是圆柱的侧面积的一半，长方体的高就是圆柱的半径，根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据计算即可。 【详解】 （cm3） 如图：小芳将一个圆柱体切拼成一个长方体，并侧放。想到了另一种计算圆柱体的体积方法。亲爱的小朋友：你也想到了吗？如果圆柱体的半径是2cm，侧面积是12.56cm2，这个圆柱体的体积是12.56cm3。 【典型例题2】把一个棱长为8厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【答案】401.92 【分析】根据题意，把一个正方体木块削成一个最大的圆柱，那么圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积。 【详解】3.14×（8÷2）2×8 ＝3.14×42×8 ＝3.14×16×8 ＝401.92（立方厘米） 圆柱的体积是401.92立方厘米。 【练习】一个圆柱形水桶，从里面量，底面直径是4dm，高是5dm。已知每立方分米水重1kg，则这个水桶能装水（ ）kg。 【答案】62.8 【分析】根据圆柱的体积公式求出水桶的容积，再乘每立方分米水的质量即可。 【详解】3.14×(4÷2)2×5 =3.14×4×5 =62.8（dm3） 1×62.8=62.8（kg） 一个圆柱形水桶，从里面量，底面直径是4dm，高是5dm。已知每立方分米水重1kg，则这个水桶能装水62.8kg。 考点6：立体图形的切拼（圆柱） 【典型例题】如下图，一根长30分米的圆柱形木料，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米。原来这根圆柱形木料的体积是多少？ 【答案】3.6立方米 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，在本题中，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米，可知增加了4个小底面，也就是4个底面的面积是4.8平方米，先计算出底面积，再用底面积乘高计算出体积。 【详解】30分米＝3米 4.8÷[（3－1）×2]×3 ＝4.8÷4×3 ＝1.2×3 ＝3.6（立方米） 答：原来这个圆柱形木料的体积是3.6立方米。 【练习】两个同样的圆柱拼成了一个高为20厘米的大圆柱，这时表面积减少了16平方厘米，原来每个小圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【答案】80 【分析】两个同样的圆柱拼成一个大圆柱时，两个圆柱的底面重合，表面积减少了2个圆柱的底面积。已知表面积减少了16平方厘米，所以一个圆柱的底面积为16÷2＝8平方厘米。拼成的大圆柱的高是20厘米，这个高是原来每个小圆柱高的2倍，所以原来每个小圆柱的高为20÷2＝10厘米。根据圆柱的体积公式V＝Sh（S表示底面积，h表示高），把数据代入计算即可。 【详解】两个圆柱的底面重合，表面积减少了2个圆柱的底面积。 16÷2＝8（平方厘米） 20÷2＝10（厘米） 8×10＝80（立方厘米） 原来每个小圆柱的体积是80立方厘米。 考点7：圆锥的认识 【典型例题】如图，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个（ ），得到的这个图形的高是（ ）cm，底面积是（ ）cm2。 【答案】 圆锥 3 50.24 【分析】根据题意，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的高等于AB，圆锥的底面半径等于BC。圆锥的底面是一个圆，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个（圆锥），得到的这个图形的高是（3）cm，底面积是（50.24）cm2。 【练习】如图所示是一个圆锥，该圆锥有（ ）条高，高是（ ）cm，底面积是（ ）cm2。 【答案】 1 4 28.26 【分析】圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，据此确定圆锥的高；看图可知，圆锥的底面直径是6cm，根据圆锥底面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 该圆锥有1条高，高是4cm，底面积是28.26cm2。 考点8：圆锥的体积（容积） 【典型例题】孙爷爷的小麦大丰收。麦堆的高1.5米，底面直径6米，每立方米粮食800千克，这堆小麦多少吨？ 【答案】11.304吨 【分析】根据圆锥体积＝Sh，计算出圆锥形小麦堆的体积，用每立方米小麦的质量乘小麦的体积即可求出小麦的质量，单位换算成吨即可。 【详解】800千克＝0.8吨 ×3.14×（6÷2）2×1.5×0.8 ＝×3.14×9×1.5×0.8 ＝11.304（吨） 答：这堆小麦重11.304吨。 【练习】一个圆柱形橡皮泥的底面积是15平方厘米，高是6厘米，如果把它捏成一个与它的底面积相等的圆锥，圆锥的高是（     ）厘米。 A．2 B．6 C．18 【答案】C 【分析】先根据题意，利用公式V＝Sh，求出圆柱的体积。把它捏成等底的圆锥，圆锥的体积等于圆柱的体积。根据圆锥的体积公式V＝Sh反求出圆锥的高，h＝V÷÷S，代入数据计算即可。 【详解】圆柱体积：15×6＝90（立方厘米） 圆锥的高： 90÷÷15 ＝90×3÷15 ＝270÷15 ＝18（厘米） 所以如果把它捏成一个与它的底面积相等的圆锥，圆锥的高是18厘米。 故答案为：C 考点9：组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 【典型例题】以图中直线为轴旋转一周，求旋转后得到的图形的体积。 【答案】43.96cm3 【分析】观察可知，旋转一周得到一个高是6cm，底面直径是4cm的圆锥和一个高是6cm，底面直径是2cm的圆柱，根据圆锥的体积公式，以及圆柱的体积公式，分别代入数据计算再相加即可。 【详解】 = = =25.12+18.84 =43.96（cm3） 所以旋转后得到的图形的体积为43.96 cm3。 【练习】如下图，把冰激凌的上半部分近似地看作圆锥，那么这个冰激凌的体积是多少立方厘米？（单位：cm） 【答案】150.72cm³ 【分析】分析题目，这个冰激凌的体积等于一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥的体积加上一个底面直径是6厘米，高是6厘米的圆锥的体积，因为两个圆锥的底面积相同，所以可以合并成底面直径为6厘米，高为（）厘米的圆锥，圆锥的体积＝，据此列式计算即可。 【详解】 = = =（立方厘米） 答：这个冰激凌的体积是150.72立方厘米。 考点10：不规则物体的体积问题 【典型例题1】．一个圆柱形水槽，底面半径是10厘米，把一个底面半径是4厘米的圆锥形铁块浸没在水槽中，但水没有溢出水槽，当取出铁块时，水面下降了2厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】37.5厘米 【分析】水面下降部分的体积等于圆锥形铁块的体积。根据圆柱体积＝×半径的平方×高，计算出下降的水的体积，也就是圆锥形铁块的体积，用下降的水的体积乘3，再除以圆锥形铁块的底面积即可解答。 【详解】3.14××2×3÷（3.14×） ＝3.14×100×6÷3.14÷16 ＝600÷16 ＝37.5（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是37.5厘米。 【典型例题2】一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如下图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】瓶子倒过来后上面空白的容积等于正放时上面空白的容积，所以正方时上面空白容积可转化成高是6厘米同底的圆柱体积，这样整个瓶子容积可以转化成高为18厘米的等底圆柱体积，水的体积是高度12厘米同底的圆柱，用水的高度除以18厘米即可得水的体积占瓶子容积的几分之几。 【详解】（厘米） 12÷(12+6)= 瓶中水的体积占瓶子容积的。 故答案为：D 【练习】把一个圆锥完全浸没在一个底面直径为6厘米的圆柱形容器里，水位上升了4厘米。这个圆锥的体积是（     ）立方厘米。 A．36π B．12π C．48π D．144π 【答案】A 【分析】由题意可知，圆锥的体积等于上升部分水的体积，利用“”求出上升部分水的体积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝36π（立方厘米） 所以，这个圆锥的体积是36π立方厘米。 故答案为：A 一、选择题 1．用一块长25.12cm、宽18.84cm的长方形铁皮，配上下面圆形铁片（     ）正好可以做成圆柱形容器。 A．半径为1cm B．直径为3cm C．半径为4cm 【答案】C 【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长或宽可能是圆柱的底面周长，据此分别计算出各选项底面周长，等于长方形铁皮的长或宽即可。 【详解】A．2×3.14×1＝6.28（cm） B．3.14×3＝9.42（cm） C．2×3.14×4＝25.12（cm） 配上半径为4cm的圆形铁片正好可以做成圆柱形容器。 故答案为：C 2．一个圆锥形沙堆，底面积是50.24m2，高是3m。将这堆沙铺在一条长314m，宽8m的公路上，能铺（     ）cm厚。 A．0.02 B．0.06 C．2 【答案】C 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出这堆沙的体积，铺在公路上的厚度相当于长方体的高，根据长方体的高＝体积÷长÷宽，列式计算即可。注意最后厚度的单位要换算成cm。 【详解】50.24×3÷3÷314÷8 ＝50.24÷314÷8 ＝0.02（m） ＝2（cm） 能铺2cm厚。 故答案为：C 3．如图，将圆锥形容器中装满水后倒入圆柱形容器中，圆柱形容器的水面将有（     ）高。 A．9cm B．3cm C．6.25cm 【答案】C 【分析】将圆锥形的容器的水倒入圆柱形容器中，体积不变，即根据圆锥的体积，得出水的体积，再根据圆柱的体积，得出水面的高度。 【详解】水的体积： （立方厘米） 水面高度： ＝6.25（厘米） 则圆柱形容器的水面将有6.25cm高。 故答案为：C 4．一个圆柱和一个圆锥的底面半径的比是2∶3，它们的体积相等，那么圆柱与圆锥高的最简比是（     ）。 A．1∶2 B．3∶4 C．4∶9 【答案】B 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh＝和圆锥的体积公式V＝，把圆锥的底面半径看成“3”，那么圆柱的底面半径就是2；把圆锥的体积和圆柱的体积看作1，据此先求出圆柱和圆锥的高，进而写出它们高的对应比。 【详解】 ＝ ＝3∶4 故答案为：B 5．一根圆柱形木料，底面半径是6分米，高是4分米，如图，把这根木料沿底面直径锯成两个相等的半圆柱，表面积比原来增加的面积是（     ）。 A．48平方分米 B．226.08平方分米 C．96平方分米 【答案】C 【分析】根据题意可知，把一根圆柱形木料沿底面直径锯成两个相等的半圆柱，表面积比原来增加两个截面的面积，截面为长方形，长方形的长对应圆柱的底面直径，宽对应圆柱的高，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。 【详解】6×2×4×2 ＝12×4×2 ＝48×2 ＝96（平方分米） 表面积比原来增加的面积是96平方分米。 故答案为：C 二、填空题 6．一个圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形。如果这个圆柱的底面半径是5厘米，那么这个圆柱的高是（ ）厘米。 【答案】31.4 【分析】根据题意可知，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形，则圆柱的底面周长等于圆柱的高，根据圆的周长＝π×半径×2，代入数据，即可求出圆柱的底面周长，也就是圆柱的高。 【详解】3.14×5×2 ＝15.7×2 ＝31.4（厘米） 一个圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形。如果这个圆柱的底面半径是5厘米，那么这个圆柱的高是31.4厘米。 7．一堆沙子呈圆锥形，底面半径为1m，高为1.5m。如果每立方米沙子大约重1.5t，这堆沙子大约重（ ）t。 【答案】2.355 【分析】圆锥形沙子的体积＝π2rh，代入数据计算出这堆沙子的体积，再用体积乘每立方米沙子的重量，可得出这堆沙子的重量。 【详解】3.14×12×1.5××1.5 ＝4.71××1.5 ＝1.57×1.5 ＝2.355（t） 这堆沙子大约重2.355t。 8．一个直角三角形，两条直角边长分别是6cm和10cm。如果以较长直角边所在直线为轴旋转一周，那么得到的立体图形的体积是（ ）cm3；如果以较短直角边所在直线为轴旋转一周，那么得到的立体图形的体积是（ ）cm3。 【答案】 376.8 628 【分析】根据圆锥的特征可知，三角形旋转一周，得到的是圆锥；以较长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥的底面半径是6cm，高是10cm；以较短直角边所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥的底面半径是10cm，高是6cm，根据圆锥体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】以较长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥的底面半径是6cm，高是10cm： 3.14×62×10× ＝3.14×36×10× ＝113.04×10× ＝1130.4× ＝376.8（cm3） 以较短直角边所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥的底面半径是10cm，高是6cm： 3.14×102×6× ＝3.14×100×6× ＝314×6× ＝1884× ＝628（cm3） 一个直角三角形，两条直角边长分别是6cm和10cm。如果以较长直角边所在直线为轴旋转一周，那么得到的立体图形的体积是376.8cm3；如果以较短直角边所在直线为轴旋转一周，那么得到的立体图形的体积是628cm3。 9．把一个长方形的铁皮做成圆柱形（接缝不计），按下图剪裁，这个圆柱的底面半径是（ ）dm，圆柱表面积是（ ）dm2。 【答案】 2 75.36 【分析】由图可知，长方形的长是20.56dm，由2个圆的直径和1个圆的周长组成，即2d＋πd＝20.56，变形得d（2＋π）＝20.56，用20.56除以（2＋π）计算出底面直径，再除以2即可计算出底面半径； 计算出圆柱的底面半径是2dm，圆柱的高等于底面直径4dm，然后根据圆柱的表面积公式S＝2πrh＋2πr2计算出该圆柱的表面积。据此解答。 【详解】20.56÷（2＋3.14） ＝20.56÷5.14 ＝4（dm） 4÷2＝2（dm） 2×3.14×2×4＋2×3.14×22 ＝2×3.14×2×4＋2×3.14×4 ＝6.28×2×4＋6.28×4 ＝12.56×4＋25.12 ＝50.24＋25.12 ＝75.36（dm2） 所以，这个圆柱的底面半径是2dm，圆柱表面积是75.36dm2。 10．一根圆柱形钢材长2米，横截面的直径是4厘米。如果每立方厘米钢材重7.8克，这根钢材重（ ）千克。 【答案】19.5936千克 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据，求出圆柱的体积，再用圆柱的体积×每立方厘米的重量，即可解答，注意单位名数的统一以及换算。 【详解】2米＝200厘米 3.14×（4÷2）2×200×7.8 ＝3.14×22×200×7.8 ＝3.14×4×200×7.8 ＝12.56×200×7.8 ＝2512×7.8 ＝19593.6（克） 19593.6克＝19.5936千克 答：这根钢材重19.5936千克。 11．六年级学生用卡纸制作“博士帽”，“博士帽”上面是边长为30cm的正方形，下面是底面直径为18cm、高为8cm的无盖无底圆柱，制作这样一顶“博士帽”至少需要（ ）cm2的卡纸。（结果用含π的式子表示） 【答案】（900＋144π）/（144π＋900） 【分析】卡纸的面积＝正方形面积＋圆柱侧面积，正方形面积＝边长×边长，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【详解】30×30＋π×18×8＝（900＋144π）cm2 制作这样一顶“博士帽”至少需要（900＋144π）cm2的卡纸。 12．一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是78cm3，削去部分的体积是（ ）cm3。 【答案】156 【分析】当把一个圆柱削成一个最大的圆锥时，这个圆锥与原来的圆柱是等底等高的，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。已知圆锥的体积是78cm3，因为圆柱体积是等底等高圆锥体积的3倍，所以圆柱体积为78×3＝234cm3。削去部分的体积等于圆柱体积减去圆锥体积，用234减78计算即可。 【详解】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 78×3＝234（cm3） 234－78＝156（cm3） 削去部分的体积是156cm3。 13．下面是直角梯形ABCD，如果以CD边所在的直线为轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是（ ）立方厘米。（单位：厘米） 【答案】150.72 【分析】分析题目，得到的立体图形的体积等于一个底面半径是3厘米高是6厘米的圆柱的体积减去一个底面半径是3厘米高是（6－4）厘米的圆锥的体积，圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，据此代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×32×6－3.14×32×（6－4）× ＝3.14×9×6－3.14×9×2× ＝28.26×6－28.26×2× ＝169.56－56.52× ＝169.56－18.84 ＝150.72（立方厘米） 这个立体图形的体积是150.72立方厘米。 14．一种圆柱形纸筒高是12厘米，底面直径是5厘米。如图，6个打包装入纸箱，这个纸箱容积是（ ）立方厘米，合（ ）立方分米。 【答案】 1800 1.8 【分析】观察图形可知，纸箱的长是3个圆柱底面直径的长度，即5×3＝15厘米；纸箱的宽是2个圆柱底面直径的长度，即5×2＝10厘米；纸箱的高与圆柱的高相等，即12厘米。根据“长方体的体积＝长×宽×高”计算出这个纸箱的容积，最后将立方厘米换算为立方分米（1立方分米＝1000立方厘米）。据此解答。 【详解】（5×3）×（5×2）×12 ＝15×10×12 ＝150×12 ＝1800（立方厘米） 1800立方厘米＝1.8立方分米 因此，这个纸箱容积是1800立方厘米，合1.8立方分米。 15．一个圆柱和一个圆锥高相等，体积的比是6∶1，如果圆柱的底面积是3.6平方分米，圆锥的底面积是（ ）平方分米。 【答案】1.8 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的高相等，圆柱的体积是圆锥体积的6倍时，圆锥的底面积是圆柱底面积的一半。据此解答即可。 【详解】3.6÷2＝1.8（平方分米） 一个圆柱和一个圆锥高相等，体积的比是6∶1，如果圆柱的底面积是3.6平方分米，圆锥的底面积是1.8平方分米。 16．一个圆柱，如果高减少2厘米，表面积就减少25.12平方厘米，体积减少。这个圆柱原来的体积是（ ）立方厘米。 【答案】125.6 【分析】高减少2厘米，表面积就减少25.12平方厘米，减少的表面积也就是宽为2厘米的圆柱的侧面积，用25.12除以2计算出圆柱的底面周长，进而求出圆柱的底面积；根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数值计算出减少部分的体积；最后由减少部分的体积是原来圆柱体积的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用减少部分的体积除以，所得结果即为这个圆柱原来的体积。 【详解】圆柱的底面周长：25.12÷2＝12.56（厘米） 圆柱的底面半径：12.56÷3.14÷2＝2（厘米） 减少部分的体积：3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝3.14×8 ＝25.12（立方厘米） 25.12÷ ＝25.12÷5 ＝125.6（立方厘米） 因此这个圆柱原来的体积是125.6立方厘米。 17．数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水（如图），根据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）（填分数），如果想求出瓶子的容积，还需要知道（ ）。 【答案】 底面积、底面半径、底面直径、底面周长（选择其一即可） 【分析】根据图可知，无水部分相当于高是20－16＝4厘米的圆柱，瓶子里的水相当于高是14厘米的圆柱，则整个瓶子相当于高是4＋14＝18厘米的圆柱，瓶子的底面积是相同的，根据“圆柱体积＝底面积×高”，所以瓶子里水的体积占瓶子容积的14÷18＝；根据圆柱体积公式和可知，要计算瓶子的容积还需要知道圆柱的底面积或半径，另外根据圆的周长公式C＝2πr可知r＝C÷π÷2，以及r＝d÷2，已知周长和直径可计算出半径，因此知道底面积、底面半径、底面直径、底面周长任意一个就可求出瓶子的容积。 【详解】20－16＝4（厘米） 14÷（14＋4） ＝14÷18 ＝ ＝ 所以瓶中水的体积占瓶子容积的，想求出瓶子的容积，还需要知道底面积、底面半径、底面直径、底面周长（选择其中一个即可）。 三、判断题 18．一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，量得正方形的边长是18.84厘米，则这个圆柱的底面半径是3厘米。（ ） 【答案】√ 【分析】圆柱的侧面展开图是一个正方形时，正方形的边长等于圆柱底面的周长。圆的周长＝2×π×半径， 通过公式，可以推导出计算半径的方法，据此解答。 【详解】正方形边长为18.84厘米，即圆柱底面周长为18.84厘米。 18.84÷（2×3.14） ＝18.84÷6.28 ＝3（厘米） 则这个圆柱的底面半径是3厘米。 故答案为：√ 19．分别以如图三角形的两条直角边为轴旋转一周，所形成的两个圆锥的体积相等。（ ） 【答案】× 【分析】以如图三角形的直角边为轴旋转一周，为轴的直角边长度是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径，根据圆锥体积＝×底面积×高，求出以不同直角边为轴的圆锥的体积，据此判断即可。 【详解】×π×42×3 ＝×π×16×3 ＝16π（cm3） ×π×32×4 ＝×π×9×4 ＝12π（cm3） 16π≠12π 所以原题说法错误。 故答案为：× 20．同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。（ ） 【答案】√ 【分析】体积是指物体所占空间的大小；同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），都只是形状改变，但所占空间的大小不变，即体积不变，据此判断即可。 【详解】由分析可知： 同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。原题干说法正确。 故答案为：√ 21．把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了36立方厘米，这个圆锥的体积是18立方厘米。（ ） 【答案】√ 【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，则原来的圆柱和削成的圆锥等底等高，根据圆柱和圆锥的体积公式，可知最大的圆锥是圆柱的，减少的体积是圆柱的，把原来的圆柱体积看作单位“1”，根据分数除法的意义，用36÷即可求出圆柱的体积，再减去减少的体积，即可求出圆锥的体积。 【详解】36÷ ＝36× ＝54（立方厘米） 54－36＝18（立方厘米） 把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了36立方厘米，这个圆锥的体积是18立方厘米。原题干说法正确。 故答案为：√ 22．圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的8倍。（ ） 【答案】√ 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，设圆柱的底面半径为r，高为h，则扩大后的半径为2r，高为2h，分别求出变化前后的体积，即可求出体积扩大到原来的几倍，计算后再判断即可。 【详解】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则扩大后的半径为2r，高为2h； 原体积：πr2h 现体积：π×（2r）2×（2h） ＝π×4r2×2h ＝8πr2 h 8πr2 h÷πr2h＝8 圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的8倍。原题干说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 23．求出如下图形的体积。 【答案】50.24cm3；100.48dm3 【分析】第一个图形是圆柱，根据圆柱的体积＝，计算即可； 第二个图形是圆锥，根据圆锥的体积＝，计算即可。 【详解】 （cm3） 圆柱的体积是50.24cm3。 （dm3） 圆锥的体积是100.48dm3。 24．求下图的体积。 【答案】310.86 【分析】组合体的体积＝底面直径是6、高是8的圆锥的体积＋底面直径是6、高是10的圆锥的体积＋底面直径是6、高是5的圆柱的体积，根据圆锥的体积＝底面积×高×，圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×8×＋3.14×（6÷2）2×10×＋3.14×（6÷2）2×5 ＝3.14×32×8×＋3.14×32×10×＋3.14×32×5 ＝3.14×9×8×＋3.14×9×10×＋3.14×9×5 ＝3.14×（9×8×＋9×10×＋9×5） ＝3.14×（24＋30＋45） ＝3.14×99 ＝310.86 组合体的体积是310.86。 五、解答题 25．一段长方体木材，长、宽、高分别是4分米、4分米、10分米（如下图）。张师傅要将它加工成一个最大的圆柱，这个最大圆柱的体积是多少立方分米？加工时需要削去多少立方分米的木材？ 【答案】125.6立方分米；34.4立方分米 【分析】根据题意可知，这个长方体的底面是一个正方形，加工成一个圆柱，圆柱的底面直径等于长方体的底面正方形的边长；圆柱的高等于长方体的高；根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱的体积；再根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体的体积，再用长方体的体积-圆柱的体积，求出加工时需要削去部分的体积。 【详解】3.14×（4÷2）2×10 ＝3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方分米） 4×4×10－125.6 ＝16×10－125.6 ＝160－125.6 ＝34.4（立方分米） 答：这个最大圆柱的体积是125.6立方分米，加工时需要削去34.4立方分米的木材。 26．一个圆锥形零件，底面半径是4米，高是1.5米。如果把它熔铸成一个底面半径为2米的圆柱，圆柱的高是多少？ 【答案】2米 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形零件的体积；由于体积不变，即圆锥的体积＝圆柱的体积；根据圆柱的体积＝底面积×高；高＝体积÷底面积，据此求出圆柱的高。 【详解】（3.14×42×1.5×）÷（3.14×22） ＝（3.14×16×1.5×）÷（3.14×4） ＝（50.24×1.5×）÷12.56 ＝（75.36×）÷12.56 ＝25.12÷12.56 ＝2（米） 答：圆柱的高是2米。 27．小东家去年秋季收获的稻谷堆成了圆锥形，底面周长是9.42米，高是2米。如果把这堆稻谷装进底面半径为1米的圆柱形粮仓中，仓内稻谷高多少米？（π取3.14） 【答案】1.5米 【分析】稻谷堆成了圆锥形，已知圆锥底面周长为9.42米，根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14，r为半径），可得底面半径：r＝C÷（2π），即9.42÷（2×3.14）＝9.42÷6.28＝1.5米。根据圆锥体积公式V＝πr2h（r为底面半径，h为圆锥的高），高是2米，把数据代入计算出圆锥体积后再根据：h＝V÷π÷r2（r为圆柱半径，h为圆柱高，π取3.14），把圆柱底面半径1米和圆锥体积代入计算即可解答。 【详解】9.42÷（2×3.14） ＝9.42÷6.28 ＝1.5（米） ×3.14×1.52×2 ＝×3.14×2.25×2 ＝×14.13 ＝4.71（立方米） 4.71÷3.14÷12 ＝4.71÷3.14÷1 ＝1.5÷1 ＝1.5（米） 答：仓内稻谷高1.5米。 28．一种没有盖的圆柱形铁皮水桶，从里面量，底面直径是4分米，高是3分米。做一个这样的水桶大约用铁皮多少平方分米？如果把这个铁皮水桶装满水，能装多少升？ 【答案】50.24平方分米；37.68升 【分析】（1）分析题目，根据圆柱的表面积公式可知：铁皮的面积＝πdh＋π（d÷2）2，据此代入数据列式计算； （2）圆柱的体积＝π（d÷2）2h，据此求出圆柱的体积，再根据1立方分米＝1升把单位换算成升即可。 【详解】4×3.14×3＋3.14×（4÷2）2 ＝12.56×3＋3.14×22 ＝37.68＋3.14×4 ＝37.68＋12.56 ＝50.24（平方分米） 3.14×（4÷2）2×3 ＝3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方分米） 37.68立方分米＝37.68升 答：做一个这样的水桶大约用铁皮50.24平方分米，能装37.68升水。 29．沙漏也叫沙钟，是一种测量时间的装置。妈妈为确保小新每次刷牙的时长达到要求，让小新用装满沙子的沙漏进行计时（如图），要求小新每次刷牙的时长不少于沙子漏完的时长。这个沙漏每分钟漏掉4立方厘米的沙子，小新每次最少要刷牙多少分钟？（取3） 【答案】3分钟 【分析】已知沙漏上面的圆锥中装满沙子，根据圆锥的体积公式：，求出沙子的体积；再用沙子的体积除以每分钟向下漏沙子的体积，即可求出漏完这些沙子所需的时间；据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（立方厘米） 12÷4＝3（分钟） 答：小新每次最少要刷牙3分钟。 30．实验、操作的方法在数学学习中很有用！一个数学社团活动小组测量一个圆锥体零件的高度，进行了如下实验。 （1）准备一个长方体玻璃缸，并从里面测出长、宽分别是50厘米、30厘米，缸中水的深度是12厘米； （2）将一个底面积是900平方厘米的圆锥体零件全部浸没在水中； （3）发现此时水的深度是15厘米。 根据实验结果，这个零件的高度是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】水面上升的部分，即为放入的圆锥体的体积。根据“长方体底面积×水面上涨高度”求出圆锥的体积。将圆锥的体积除以它的底面积，再除以，求出圆锥的高。 【详解】50×30×（15－12） ＝1500×3 ＝4500（立方厘米） 4500÷900÷ ＝5×3 ＝15（厘米） 答：这个零件的高度是15厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $