精品解析：江苏省无锡市2025-2026学年中职职教高考第一次调研性统测数学试卷

无锡市2025-2026学年中职职教高考第一次调研性统测 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效. 2．作答前务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号等准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置. 3．考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，则下列向量中与垂直的单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 4. 若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 5. 若实系数一元二次方程的一个根为，则另一个根的三角形式为（ ） A. B. C. D. 6. 若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 已知函数在上是偶函数，在上是单调函数，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 9. 社会对“老人跌倒扶不扶”这个话题热议不休，但“扶一扶，扶的是美德和良知！”某电台因宣传需要，准备对三名学生和他们所扶起的两位老人进行采访，要求坐一排，两位老人相邻但不坐两端，则不同的坐法有多少种？（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 120 10. 已知，，若不等式恒成立，则m的最大值等于（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、填空题（本大题共5小题5空，每空4分，共20分） 11. 已知，，则的值为________． 12. 已知的展开式中的系数为40，则n等于________． 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则这个圆锥的体积为_____. 14. 已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为______． 15. 已知函数，等差数列满足，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）求不等式的解集. 17. 二次函数满足条件，且方程有等根． （1）求的解析式； （2）求在区间上的值域． 18. 如图，已知正方体棱长为2． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值及取最小值时x的值； （2）设三角形的内角所对的边分别为，且，若与共线，求的值． 20. 某厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为万元．当年产量不足70千件时，（万元）；当年产量不小于70千件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为0.05万元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？ 21. 为了解某中等专业学校的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列． （1）为了详细了解高三学生的视力情况，从样本中视力在中任选2名高三学生进行分析，求至少有1人视力在的概率； （2）设a，b表示参加抽查的某两位高三学生的视力，a，，求事件“”的概率． 22. 已知数列的前n项和为，点在直线上．数列满足，，且其前9项和为153． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 23. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）直线与椭圆C交于P，Q两点，若是一个与m无关的常数，则当面积最大时，求直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市2025-2026学年中职职教高考第一次调研性统测 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．本卷分为试卷和答题卡两部分，考生必须在答题卡上作答，作答在试卷上无效. 2．作答前务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号等准确清晰地填写在试卷和答题卡的指定位置. 3．考试结束时，须将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零求出集合，再由交集与补集的概念求解即可. 【详解】已知， 则， 即， 所以. 且， 所以. 故选：B. 2. 若向量，则下列向量中与垂直的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直、向量的模的坐标表示及单位向量的定义即可判断. 【详解】对A选项，向量的模为，故错误； 对B选项，向量的模为，故错误； 对C选项，因为，且其模为， 所以向量是与垂直的单位向量，正确； 对D选项，因为，所以向量与不垂直，故错误. 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，再由充分、必要条件的概念进行判断即可得解. 【详解】由，可得， 由，可得或， 所以，， 所以“”是“”的充分而非必要条件. 故选：A 4. 若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形面积公式求圆心角即可. 【详解】扇形的面积为，半径为1，设圆心角为， 则，解得； 故选：B. 5. 若实系数一元二次方程的一个根为，则另一个根的三角形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由，求出另一根为，再改写成三角形式即可. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根为， 则另一个根为，将化成三角形式， 则. 故选：C. 6. 若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项与等比中项公式列式即可得解. 【详解】由等差中项有，，， 则，， 即， 由等比中项有，即，， 则，，解得或， 、、互不相等，； 故选：D. 7. 已知函数在上是偶函数，在上是单调函数，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断选项即可. 【详解】因为函数在上是偶函数， 所以，， 因为，所以， 所以函数在上是单调递减， A：因为，所以，即，故A错误， B：因为，所以，故B错误， C：因为，且，所以，即，故C错误， D：因为，所以，故D正确. 故选：D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将分母用替代，弦化为切后可求解. 【详解】因为，显然， 所以原式 . 故选：D 9. 社会对“老人跌倒扶不扶”这个话题热议不休，但“扶一扶，扶的是美德和良知！”某电台因宣传需要，准备对三名学生和他们所扶起的两位老人进行采访，要求坐一排，两位老人相邻但不坐两端，则不同的坐法有多少种？（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列的知识即可得解. 【详解】先排三名学生,由种排法. 然后将两名老人作为一组,由种排法. 再将这组老人插空到两个间隙中,由种排法. 所以有种排法. 故选:. 10. 已知，，若不等式恒成立，则m的最大值等于（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】采用参数与变量分离，转化为最值问题，利用基本不等式可求解. 【详解】由，，不等式可化为 ， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9， 要使不等式恒成立，则有， 即m的最大值为. 故选：B 二、填空题（本大题共5小题5空，每空4分，共20分） 11. 已知，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的关系，可得与的值，再利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】由，可得， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 12. 已知的展开式中的系数为40，则n等于________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用通项公式和组合数公式可求解. 【详解】的展开式的通项公式：， 令，可得展开式中的系数为，则有 ，解得（负根舍去）. 故答案为：5 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则这个圆锥的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据侧面展开图求得母线长与半径，进而得到圆锥体积； 【详解】由题可知，圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面， 因为，所以， 半圆的弧长为，所以由，可知底面半径， 所以， 故答案为： 14. 已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由抛物线的定义可得，从而求出线段AB中点的横坐标，据此可求解. 【详解】 由抛物线可知，焦点，准线：， 设，过A，B分别向准线作垂线，垂足分别为，如上图所示， 由抛物线的定义可得： ，则， 所以AB的中点的横坐标为， 即线段AB的中点到y轴的距离为. 故答案为： 15. 已知函数，等差数列满足，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由函数可得，根据等差数列的性质，有，进而得，据此，采用倒序相加法可求解. 【详解】由题意， ， 因为等差数列满足， 所以，即， 所以. 设，则有 ， 两式相加，可得 ， 所以. 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的定义得到关于的方程，解之即可得解； （2）利用对数函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解. 【小问1详解】 因为是指数函数， 所以且，，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 因为在上单调递增， 不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. 17. 二次函数满足条件，且方程有等根． （1）求的解析式； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程有等根，可得，求出，再根据对称性，可得的值； （2）根据二次函数的图像和性质可求解. 【小问1详解】 ∵有等根，即有等根， ∴，解得. ∵，∴函数的对称轴为，可得， ∴； 【小问2详解】 ∵对称轴，开口向下，且， ∴当或5时，函数取最小值，即， 当时，函数取最大值，即，所以值域为. 18. 如图，已知正方体棱长为2． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用可求解； （2）连接，利用线面垂直的判定和性质，可得，，据此可证明结论. 【小问1详解】 在正方体中，平面， 所以是三棱锥的高， 所以； 【小问2详解】 连接，如上图所示， 在正方体中，平面，平面， 所以； 在正方形中，， 又，都在平面内， 所以平面. 因为平面，所以. 同理可证，且，都在平面内， 所以平面． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值及取最小值时x的值； （2）设三角形的内角所对的边分别为，且，若与共线，求的值． 【答案】（1）时，取最小值为． （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式再结合辅助角公式把函数化为正弦型函数即可求解. （2）由求得角，结合向量共线的坐标表示及正弦定理、余弦定理求得边. 【小问1详解】 由于， 所以，所以， 因为正弦函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 所以当，即时， 取最小值为． 【小问2详解】 由于，所以， 所以， 由于，所以， 所以，所以， 由于∥， 所以 即， 由正弦定理得， 又由得 ， 即， 解得． 20. 某厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为万元．当年产量不足70千件时，（万元）；当年产量不小于70千件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为0.05万元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当产量为100千件时，最大利润为750万元 【解析】 【分析】（1）由利润=销售额-成本-固定成本，分类讨论x的取值范围，写出分段函数即可. （2）通过（1）中的分段函数，利用二次函数和基本不等式，求出分段函数的最大值即可. 【小问1详解】 因为每件商品售价为0.05万元，所以x千件商品销售额为万元，由题意得： 当时，， 当时，， 所以，． 【小问2详解】 当时，， 所以，当时，； 当时，， 当且仅当时，即时，， 因为，所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为750万元. 21. 为了解某中等专业学校的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列． （1）为了详细了解高三学生的视力情况，从样本中视力在中任选2名高三学生进行分析，求至少有1人视力在的概率； （2）设a，b表示参加抽查的某两位高三学生的视力，a，，求事件“”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图确定第一组与第二组的频数，由等比数列的通项公式求前4组的频数，再由等差数列的求和公式，求出后6组的频数，进而得样本中在和的人数，最后利用古典概型的概率计算公式求解即可； （2）求出样本视力在和的人数，进而可得任取2人事件的总个数和事件“”的个数，最后根据古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知组距为，则 间的频数为； 间的频数为. 又前4组的频数成等比数列，所以该等比数列公比为3， 所以前4组的频数分别为：.       根据后6组频数成等差数列，即后6组样本人数成等差数列， 前三组的样本人数共有人，所以后6组样本人数共有人． 设后6组样本人数公差为d，第4组人数为首项， 由．解得， 所以后6组的人数分别为. 所以样本中视力在中人数为：人，其中在的人数为人， 设“至少有1人视力在”为事件，则 ； 【小问2详解】 由（1）可知： 样本视力在的有9人，在的有12人．             从这21人中任取2人的基本事件个数为：，             设“”为事件，即两人分属不同组，则共有个基本事件． . 22. 已知数列的前n项和为，点在直线上．数列满足，，且其前9项和为153． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求出的通项公式，根据等差数列通项公式和求和公式求出的首项和公差，据此可得解； （2）采用裂项相消法可求解. 【小问1详解】 因为点在直线上， 所以，可得， 当时， ， 当时，也符合上式， 所以； 又因为数列满足，即， 所以数列为等差数列. 设数列的公差为，由题意得 ，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以数列的前n项和: 23. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）直线与椭圆C交于P，Q两点，若是一个与m无关的常数，则当面积最大时，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率得到，又四边形的面积得到，结合解得，即可求解. （2）联立直线与椭圆方程，设，得到，令与有关的系数为0，求得，再计算面积最大时的值，即可解得. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以，代入得，即， 又四边形由椭圆的上下顶点和左右焦点构成，是菱形， 对角线长分别为和，面积， 所以，代入，得到， 所以， 即椭圆C的方程. 【小问2详解】 联立直线与椭圆方程，整理得， 设，， 根据韦达定理，， ， 第二项与无关， 含的项为， 因为是一个与m无关的常数，故， 可化为，解得，， 此时， 不妨设，此时， ，即，得到， 点到的距离为，， 则面积 ， 令， 设，则在取最大，即， 此时，直线方程为， 考虑到对称性，另一条直线面积也相同， 所以直线l的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $