4.3.2 抛物线的几何性质（第1课时） 教学设计-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版拓展模块一

4.3.2 抛物线的几何性质（第 1 课时） 【学情分析】 学生学习了椭圆和双曲线的几何性质，也学习了抛物线的概念及标准方程，因此可以对学生的知识体系进行顺应性建构，类比椭圆和双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程入手，让学生探究、分析出抛物线的几何性质. 从学科核心素养来看，学生具备一定的直观想象、逻辑推理、数学抽象等素养. 通过对标准方程进行简单的逻辑推理，分析出圆锥曲线的几何性质是学生的薄弱环节，教学时应注意低起点、多示范、多总结，逐步提升学生分析问题和解决问题的能力． 【教学目标】 （1）会根据抛物线的标准方程推出抛物线的几何性质. （2）能根据抛物线的几何性质求出抛物线的标准方程. （3）通过抛物线的几何性质的应用，逐步提升学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等素养． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点是抛物线的几何性质，教学难点是抛物线几何性质的应用． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 复习 抛物线的标准方程、焦点、准线方程及图形： 回顾抛物线的 标准方程、焦 点、准线方程 及图形，启发 学生对抛物线 性质的思考， 为探索抛物线 的几何性质做 准备． 新课 【探索研究 1】 一般地，如果抛物线的标准方程是y2 = 2px(p > 0) ， ①你能根据方程①来研究抛物线的一些几何性质吗？ 1 ．范围 因为p> 0，由方程①可知，对于抛物线①上的点M（x ，y），必有x ≥ 0，所以除顶点外，这条抛物线的其余点都在y轴的右侧．当 x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．此时，称抛物线①的开口向右． 2 ．对称性 在方程中，将y换成一y ，方程①不变．这说明这条抛物线关于x轴对称．我们把抛物线的对称轴称为抛物线的轴． 3 ．顶点 抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点．在方程①中，当y = 0 时，x = 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标原点． 4 ．离心率 抛物线上的点M与焦点和准线的距离的比，称为抛物线的离心率，用e表示． 由抛物线的定义可知，e = 1． 类比双曲线 的几何性质， 启发学生思考 抛物线的几何 性质，提高学 生分析问题的 能力． 【探索研究 2】 如果抛物线的标准方程是 y2 =一 2px(p > 0) ， ② x2 = 2py(p > 0) ， ③ x2 =一 2py(p > 0） ， ④ 那么在抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与方程①所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？ 通过类比， 培养学生的抽 象 思 维 能 力 . 通过表格归纳 总结，提升学 生的表达能力 和逻辑思维能力． 例 1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M（2 ，一2 2 ），求它的标准方程． 解：因为抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并 且经过点 M（2 ，一2 2 ），所以可设它的标准方程为 y2 = 2px． 因为点 M（2 ，一2 2 ）在抛物线上，所以 2 （ 一 2 2 ） = 2p×2， 解得 p = 2 ．因此所求方程是 y2 = 4x． 通过例题讲解，培养学生的逻辑分析能力． 例 2 求顶点在原点，准线方程为 x =一 4 的抛物线的标准方程． 解： 由顶点在原点，准线方程为 x =一 4 ，知抛物线焦点在x 轴正半轴上，所以可设它的标准方程为 y2 = 2px (p > 0)．由准线方程知 一 =一 4 ， 即p = 8． 故抛物线的方程为 y2 = 16x． 通过例题讲 解，帮助学生 理解和掌握抛 物线的定义、 标准方程和几 何 性 质 等 内 容． 例 3 一种卫星接收天线如左下图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处，如右下图．已知接收天线的口径（直径）为 4.8 m ，深度为 1 m ．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 解：如下图所示，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x 轴上．设抛物线的标准方程是 y2 = 2px（p > 0）．由已知条件得，点 A 的坐标是（1，2.4），代入方程，得 2.42 = 2p× 1 ，即 p = 2.88 ．所以，所求抛物线的标准方程是y2 = 5.76x ，焦点坐标是（1.44,0）． 通过解决实 际问题，加深 学生对公式的 理解，激发学 生学习数学的 兴趣. 求满足下列条件的抛物线方程： （1）顶点在原点，关于 x 轴对称并且经过点 M（5 ，−4）； （2）顶点在原点，焦点是 F（0 ，5）； （3）顶点在原点，准线是 x = 4． 及时掌握学生学习情况，查漏补缺． 小结 引导学生小结. 抛物线的几何性质： （1）范围； （2）对称性； （3）顶点； （4）离心率． 回顾学习的过程，总结本节课的收获． 作业 教材第 127 页，练习第 2 题，习题第 3 题． 课后拓展，分层练习． 学科网（北京）股份有限公司 $