4.2.2 双曲线的几何性质 教学设计-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版拓展模块一

4.2.2 双曲线的几何性质 【学情分析】 学生在基础模块中学习了直线与圆的方程，能够运用坐标法研究简单的几何图形，建立直线和圆的方程. 学生通过方程研究直线与圆的性质，能够感受数形结合的思想方法．从学科核心素养来看，学生具备一定的数学运算、直观想象、逻辑推理的素养，但数学运算是学生的薄弱环节，教学时应注意低起点、慢慢来、多示范、多练习，循序渐进． 【教学目标】 （1）通过类比和观察，探究双曲线的几何性质，并学会运用这些基本事实进行一些简单的判断． （2）通过对双曲线几何性质的观察、分析与计算，提升直观想象、逻辑推理、数学抽象素养，进一步提高利用数形结合的思想方法解决问题的能力． （3）结合生活实例，感受数学来源于生活，运用于生活. 通过解决问题，培养学生独立思考、合作交流的能力． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点是双曲线的几何性质，教学难点是运用代数方法研究双曲线的几何性质． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 复习 通过提问复习基础知识. 1 ．双曲线的标准方程是什么？ 2 ．椭圆有哪些几何性质？ 3 ．类比椭圆几何性质的研究，你能根据双曲线的标准方程来研究双曲线的一些几何性质吗？ 回忆椭圆的 几何性质的研 究过程，启发 学生思考双曲 线几何性质的 研究． 新课 设双曲线的方程是 1 ．范围 由图可知，双曲线上点的坐标 (x，y) ，对于任意实数 x，y 都满足 所以 x ≥ a或x ≤ -a ． 2 ．对称性 如果(x ，y)是方程的一组解，则（ -x，y），(x ，-y) ，(-x ，-y)都是方程的解，说明双曲线关于y 轴、x 轴成轴对称，关于原点成中心对称． x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心． 3 ．顶点 （1）在方程中，令y=0 ，得x =一 a或x = a，可知双曲线与x 轴有两个交点，记作A1( 一 a，0)，A2(a，0)； （2）在方程中，令 x=0 ，得 该方程无实数解，可知双曲线与y 轴无交点． 双曲线与它的对称轴共有 2 个交点，即A1 ，A2，这两个点都称为双曲线的顶点． 称线段A1A2 为双曲线的实轴．若记B1(0，-b)，B2 (0，b)，则称线段B1B2 为双曲线的虚轴．于是 a，b 分别称为双曲线的半实轴长和半虚轴长． 特别地，实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线． 类比椭圆的 范围、对称性、 顶点的研究， 观察双曲线的 图 形 得 出 结 论．利用代数 方法，研究双 曲线的范围、 对称性、顶点、 渐近线、离心 率等性质． 4 ．渐近线 如图，我们把两条直线 称为双曲线的渐近线． 注：双曲线的各支向外延伸时，与渐近线逐渐接近，但是永不相交． 5 ．离心率 双曲线的半焦距与半实轴长的比e 称为双曲线的离心率． 【探索研究】 （1）根据双曲线离心率的定义，判断双曲线的离心率的取值范围. （2）利用几何画板，研究双曲线离心率的大小与双曲线的形状有什么联系． （3）如果双曲线焦点在y 轴上，则该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，哪些与焦点在 x 轴上的双曲线是有区别的？ 方程形式 焦点 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0，-c),F2 (0,c) 范围 | x |≥ a | y |≥ a 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 对称性 关于原点中心对称 渐近线 离心率 c e = a 探究焦点在 y 轴上的双曲 线 的 几 何 性 质，并将其与 焦点在 x 轴上 的双曲线的几 何性质进行对 比． 例 1 求双曲线5x2 -4y2 =20的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：把方程化为双曲线的标准方程 由此可知双曲线的焦点在 x 上，半实轴长 a = 2 ，半虚轴长 所以双曲线焦点的坐标是 (-3，0)，(3，0) ，离心率 e 渐近线方程为 y x ． 运用双曲线的几何性质解题，提升学生的数学运算能力． 例 2 已知双曲线 C 的顶点为A1，A2 ，虚轴的一个端点为B ，且△BA1A2 是一个等边三角形，求双曲线 C 的离心率． 解：设 O 为坐标原点，则 A1A2 的中点为 O ，且 OA1 = a，BO = b ，由△BA1A2 是等边三角形可知 BO = OA1 ，因此b = a， 又因为c2 = a2 +b2 = a2 +( a)2 = 4a2 ，所以 c = 2a ，从而 e = = 2 ． 利用数形结合的思想方法解题，培养学生的逻辑推理的能力． 例 3 已知 A ，B 两地相距 800 m ，在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s，且声速为 340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 分析：先根据题意判断轨迹的形状．由声速及 A ，B 两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知 A ，B 两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A ，B 为焦点的双曲线上．因为爆炸 点离 A 处比离 B 处远，所以爆炸点应在靠近 B 处的双曲线的一支上． 解：如图，建立平面直角坐标系 xOy，使 A ，B 两点在 x 轴上，并且原点 O 与 在利用坐标 法解决实际问 题的过程中， 培养学生的数 学运算、逻辑 推理、数学建 模素养． 线段 AB 的中点重合． 设炮弹爆炸点 P 的坐标为（x，y），则 PA 一 PB = 340× 2 = 680 ， 即 2a = 680，a = 340 ． 又 AB = 800， 所以 2C = 800，C = 400，b2 = C2 — a2 = 44 400． 因为PA 一 PB = 680 > 0 ，所以点 P 的轨迹是双曲线的右支，因此x ≥ 340． 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程是 . 小结 引导学生小结. （1）双曲线的几何性质． （2）利用方程推导双曲线的几何性质． 回顾学习的过程，总结本节课的收获． 学科网（北京）股份有限公司 $