4.2.1 双曲线的标准方程教学设计-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版拓展模块一

4.2.1 双曲线的标准方程 【学情分析】 学生在初中学习了平面几何，在前面的课程学习了椭圆的标准方程以及几何性质，因此有一定的研究圆锥曲线的基础，能顺应性地建构关于双曲线的方程及几何性质的知识体系.通过类比、分析条件关系，学生可以自主推导双曲线的形成过程. 由于一部分学生平面几何知识基础较为薄弱，抽象概括能力不足，因此教学时应注意将直观与抽象相结合，提升学生利用数形结合思想解决问题的能力，并逐步提升学生的逻辑推理能力． 【教学目标】 （1）通过数学实验，提炼双曲线的概念，并学会运用双曲线的概念进行一些简单的分析和判断． （2）通过对双曲线的概念和标准方程的探究，提升直观想象、逻辑推理、数学抽象等学科核心素养． （3）结合生活实例，感受数学来源于生活，运用于生活. 通过解决问题，培养学生独立思考、交流合作的能力． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点是双曲线的定义和标准方程，教学难点是推导的证明过程． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 复习 通过提问，复习椭圆的定义及标准方程. （1）平面内与两个定点F1 ，F2 的距离的和等于常数（大于IF1F2 I）的点的轨迹是椭圆． （2）椭圆的标准方程、焦点坐标以及a ，b ，c的关系． 回忆椭圆的定义及标准方程，为双曲线的 学 习 做 铺垫． 新课 【问题 1】 数学实验：取一条拉链，固定在画板上的两点，拉动拉链，拉链头运动的轨迹是什么图形？ 如图所示，将拉链的一边截去一部分，并将拉链的两端用图钉固定在画板的F1 与F2 处，将笔尖放置在拉锁处，随着拉链沿不同的方向逐渐拉开，笔尖将作出一条曲线；调换拉链的两端，按照同样的操作，笔尖也将作出一条曲线．最终作出的图形是双曲线的一部分， 其中每一条曲线都称为双曲线的一支． 【预案】 提问：我们知道，平面内与两个定点F1 ，F2 的距离的和等于常数（大于|F1F2 |） 的点的轨迹是椭圆. 我们思考：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？ （1）这个平面图形就是双曲线，而这种作双曲线的方法实际上验证了双曲线定义中的点 P 一定存在而且有无数多个． 追问：那么，从数学上能不能证明这一点呢？ （2） 同椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨上述问题，并求出双曲线的标准方程． 1 ．双曲线的定义 平面内与两个定点F1 ，F2 的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2 |且不等于0）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 通过用实物 创设情境，激 发学生动手实 践的兴趣． 从提问互动 中，引导学生 思考并学习双 曲线的定义． 【问题 2】 通过上述活动，你能推导双曲线的标准方程吗？ 取过焦点F1 ，F2 的直线为X轴，线段F1F2 的垂直平分线为Y轴 ，建立平面直角坐标系（如下图）． 从实物到几何图形，培养 设M(x ，y) 是 双 曲 线 上 的 任 意 一 点 ， 双 曲 线 的焦 距 是2c (c > 0) ，那么F1 ，F2 的坐标分别是( - c ，0) ，(c ，0) ．又设点M与F1 、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a．则点M满足条件 IMF1 I - IMF2 I = ± 2a．由题意可知， IMF1 I = (x + c)2 + y2 ， IMF2 I = (x - c)2 + y2 ， 得方程 化简，得 (c2 - a2 )x2 - a2y2 = a2 (c2 - a2)． 由双曲线的定义可知 2c > 2a > 0 ，即c > a > 0 ，所以c2 - a2 > 0． 设c2 - a2 = b2 (b > 0) ，代入上式得 b2x2 - a2y2 = a2 b2 ，两边除以a2 b2 ，得 反之，我们可以证明，如果点M(x ，y)的坐标满足方程① ,那么点M一定在双曲线上．因此，方程①是双曲线的方程． 2 ．双曲线的标准方程 我们把焦点在x轴上的双曲线的标准方程记为 2 2 ( . ) - = 1(a > 0 ，b > 0) 学生的抽象思 维能力. 从文 字描述到图形 和符号，提升 学生的作图能 力． 它的焦点是 F1 ( — c ，0) ，F2 (c ，0) ，且c2 = a2 + b2 ． 【问题 3】 设双曲线的焦点为F1 和F2 ，焦距为 2c ，而且双曲线上的动点M满足 IIMF1 I — IMF2 II = 2a ． 其中c > a > 0 ．以F1F2 所在直线为Y轴，线段F1F2 的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系， 如图所示． 提问： （1）双曲线焦点的坐标分别是什么？ （2）能否通过①式来得到该双曲线方程的形式？ 推论：我们把焦点在Y轴上的双曲线的标准方程记为 它的焦点是 F1 (0 ， — c) ，F2 (0 ，c) ，且b2 = c2 — a2 ． 类比推理，提升学生的逻辑思维能力． 例 已知两点F1 ( — 5 ，0)和F2 (5 ，0)，求与它们的距离差的绝对值等于 6 的动点的轨迹方程． 解：按定义，所求动点的轨迹是双曲线，因为c = 5 ， a = 3，所以b2 = c2 — a2 = 52 — 32 = 42 ． 因此所求方程是 直接利用双曲线的定义解决问题，培养学生的发散思维能力 练习 1 ．写出适合下列条件的双曲线的标准方程： 巩固所学知识，加深对相 （1）a = 2 ，焦点为F1 ( - 3 ，0)和F2 (3 ，0)； （2）a = 2 ，焦点为F1 (0 ， - 3)和F2 (0 ，3)； （3）a = 4 ，b = 3 ，焦点在y轴上； （4）a = 2 5 ，经过点A(2 ， - 5) ，焦点在y轴上． 2 ．求下列双曲线的焦点的坐标与焦距： ( 1 x2 - y2 = 4； ( 2 y2 - x2 = 1； （4）9y2 - 16x2 = 144． 3 ．在坐标纸上，画出双曲线 4 ．判断下列双曲线的焦点在哪一条坐标轴上： （2） 9y2 - 16x2 = 144 ． 关 概 念 的 理解，提高解决数学问题的能力． 小结 引导学生小结. 回顾学习的过程，总结本节课的收获． 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点 F1 ( - c ，0)， F2 (c ，0) F1 (0 ， - c)， F2 (0 ，c) 焦距 IF1F2 I = 2c a ，b ，c的关系 c2 = a2 + b2 学科网（北京）股份有限公司 $