4.1.1 椭圆的标准方程 教学设计-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版拓展模块一

4.1.1 椭圆的标准方程 【学情分析】 学生在初中学习了平面几何，前面的课程又学习了直线与圆的方程，对圆的要素及标准方程已有一定了解. 从知识层面看，学生已经掌握了一些椭圆图形的概念与实例. 从学习能力看，学生已具备一定的观察事物的能力、抽象的能力和语言转换的能力，积累了一些研究问题的经验． 【教学目标】 （1）了解椭圆的定义及标准方程，会利用椭圆的相关性质求椭圆的标准方程． （2）通过椭圆概念的引入与椭圆方程的推导过程，培养学生分析、探索问题的能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法． （3）结合生活实例，感受数学来源于生活，运用于生活. 通过解决问题，培养学生独立思考、交流合作的能力． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点是椭圆的概念及椭圆标准方程的两种形式，教学难点是椭圆标准方程的建立和推导． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 导入 在日常生活中，我们发现很多椭圆的形象（如图）．在数学中，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合．圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，那么椭圆在数学上的定义是什么呢？ 回忆圆的概念，引发学生思考椭圆的定义． 新课 事实上，如果F1 ，F2 是平面内的两个定点，a是一个常数，且 2a > F1F2 ，则平面内满足 IPF1 I + IPF2 I ＝2a 的动点 P 的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1 ，F2 称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离IF1F2 I称为椭圆的焦距．另外，椭圆可以通过用平面截圆锥面得到，因此椭圆是一种圆锥曲线． 【探索研究 1】 你能利用日常生活中的物品作出一个椭圆吗？ 如图所示，在水平的画板上取两上定点F1 和F2 ，在这两个点上都钉上一个图钉，将一条长度大于IF1F2 I的细绳的两端固定在两个图钉上，用笔尖把细绳拉紧， 并使笔尖在画板上慢慢移动一周，则画出的图形是一个椭圆． 这种作椭圆的方法实际上是验证了椭圆定义中的点 P 一定存在而且有无数多个．那么，从数学上能不能证明呢？ 不难想到，我们可以通过坐标法来探讨上述满足条件的点 P是否存在． 取过焦点F1 ，F2 的直线为X 轴，线段F1F2 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（如图）． 设 P(X ，y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距为 2c(c > 0) ，P 与F1 和F2 的距离的和等于正常数 2a ，则F1 ，F2 的坐标分别是(-c ，0) ，(c ，0)． 由已知可得 IPF1 I + IPF2 I ＝2a， 理解椭圆的 定义及相关概 念． 通过实物创 设情境，激发 学生动手实践 的兴趣． 用坐标法探 讨满足点 P 的 条件． 建立平面直 角坐标系． 由椭圆的概 念得出方程． 得方程a． 将这个方程移项，两边平方，得 整理，得 两边再平方，得 a4 －2a2 cx + c2x2 = a2x2 - 2a2 cx + a2 c2 + a2y2，整理，得 (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2 (a2 - c2 )． 由椭圆定义可知 2a > 2c ，即a > c ，所以a2 - c2>0．设a2 - c2 ＝b2 (b > 0) ，得 b2x2+a2y2 ＝a2 b2， 两边除以a2 b2 ，得 + = 1(a > b > 0) ． ① 反之，我们可以证明，如果点 P(x ，y)的坐标满足方程 ① ,那么点 P 一定在椭圆上．因此，方程 ①是椭圆的方程. 通常把这个方程称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程．它的焦点是 F1 (-c ，0) ，F2 (c ，0) ，且c2 ＝a2 -b2． 整理方程． 得出椭圆的标准方程． 【探索研究 2】 设椭圆的焦点为F1 ，F2 ，焦距为 2c ，而且椭圆上的动点 P 满足 IPF1 I + IPF2 I ＝2a， 其中a > c > 0．以F1F2 所在直线为y轴，线段F1F2 的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．此时： （1）椭圆焦点的坐标分别是什么？ （2）能否通过①式来得到该椭圆方程的形式？ 显然，此时椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1 (0，-c)，F2 (0 ，c) （如图），而且只要将方程①的x ，y互换，就可以得到上述椭 推导出焦点 圆的方程，为 + = 1(a > b > 0)． ② 其中b2 ＝a2 一 c2 ．这个方程通常称为焦点在y轴上的椭圆的标准方程． 在 y 轴上的椭圆 的 标 准 方程． 【例 1】 平面内两个定点的距离是 8，写出到这两个定点距离的和是 10 的动点的轨迹方程． 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1，F2表示．取过点F1和F2 的直线为x轴，线段F1F2 的垂直平分线为y 轴． 因为 2a＝10，2c = 8，所以a＝5，c =4，b2 ＝a2 一 c2 = 52 一42 = 9，即b＝3 ．因此，这个椭圆的标准方程是 + = 1，即 + = 1． 由椭圆的相关性质求出椭圆 的 标 准 方程． 【例 2】 分别求椭圆C1: + = 1 与椭圆C2: + = 1 的焦点． 解：因为 4 > 3，所以椭圆C1 的焦点在x轴上，椭圆C2 的焦点在y轴上． 所以椭圆C1 的两个焦点分别为( 一 1，0)和(1，0)，椭圆C2 的两个焦点分别为(0， 一 1)和(0，1)． 由椭圆的标准方程求出椭圆的焦点． 【练习】 1 ．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）a = 4，焦点为F1( 一 3，0)，F2(3，0)； （2）a = 4，焦点为F1(0， －3)，F2(0，3)； （3）b = 1，焦点为F1( 一 15，0)，F2( 15，0)； （4）焦点在 y 轴上，且a = 6，焦距为 4 2． 2 ．求下列椭圆的焦点和焦距： （1） + = 1； 掌握所学知识点． （3）2x2 + y2 = 8； （4）3x2 + 4y2 = 12． 3 ．已知椭圆的焦点在x轴上，求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）a: b = 5: 3 ，焦距等于 16； （2）通过点(4 ，3)和(6 ，2)； （3）焦距为 ，且通过点(2 ，1)． 4 ．判断下列椭圆的焦点在哪一条坐标轴上： （1）4x2 + 9y2 = 144； （2） 小结 引导学生小结. （1）椭圆的定义及标准方程. （2）利用椭圆的相关性质求椭圆的标准方程． 回顾学习的过程，总结本节课的收获． 学科网（北京）股份有限公司 $