3.4.1 平面向量的直角坐标及其运算 教学设计-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版拓展模块一

3.4.1 平面向量的直角坐标及其运算 【学情分析】 学生学习了平面向量的基础知识，向量加法、减法、数乘的几何运算、共线定理，具备了学习向量的坐标的基础．从能力来看，学生具备一定的观察问题、分析问题的能力，也具备从简单的物理及生活背景中抽象出数学问题的能力．平面向量的坐标运算为用“数 ”的运算处理“形 ”的问题搭建了桥梁. 学生在探究向量的运算时，可以运用数形结合、数学类比的思想方法，对知识进行理解和迁移． 【教学目标】 （1）理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算． （2）通过学习，帮助学生进一步理解数形结合、数学类比的思想方法，体会事物之间的联系，培养学生的辩证思维能力． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点是平面向量的坐标表示和坐标运算，教学难点是理解平面向量的坐标表示． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 导入 1 ．平面内建立了直角坐标系，点 A 可以怎么表示？ 2 ．平面向量是否也有类似的表示？ 3．在下图所示的在平面直角坐标系中，分别取与x 轴和 y 轴 的正方向同向的两个单位向量 i，j ，已知点 A(3，2) ，向量 OA如何用向量 i，j 来表示？ 教师提出问题，学生回忆，为知识的迁移做准备． 新课 1 ．平面向量的直角坐标 一般地，对于平面直角坐标系 xOy 中的任意一个向量 a，如图所示，作 OA ＝a ，若点A 的坐标为 (x，y) ，则 a ＝xi＋yj， 我们把 (x，y) 称为向量 a 在平面直角坐标系 xOy 中的坐标，记作 a ＝ (x，y) ． 问题：（1）向量的坐标与有序实数对之间是什么关系？ （2）零向量和单位向量 i，j 的坐标分别是什么？ 2 ．相等向量的充要条件 如果 a ＝（x1，y1 ），b ＝（x2，y2 ），那么 a ＝b x1 ＝x2 且y1＝y2． 通过对比教学，加深学生的印象.通过问题的探究，引导学生学习向量的直角坐标表示，为运用向量知识解决几何问题奠定基础． 例 1 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，用单位向量 i，j 分别表示向量 OA ， OB ， OC ， OD ，并求出它们的坐标． 通过例题， 加深学生对向量 坐 标的认识，进一步理解数形结合的思想方法． 解法略。 课堂练习 1 ．在平面直角坐标系 xOy 中，i，j 分别为x 轴和 y 轴正方向的单位向量. 如果 a ＝－2i＋3j ，b ＝－3i－j ，则向量 a 与向量 b 的坐标分别为 a ＝ ( ， ) ， b ＝( ， ) ． 2 ．如下图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，i，j 分别为x轴和 y 轴正方向的单位向量，写出图中四个向量的坐标. 通过练习，进一步巩固学生对向量的坐标的认识． 3 ．平面向量的坐标运算 问题：设 a ＝（x1，y1 ），b ＝（x2，y2 ）， λ 为实数，试用坐标表示 a＋b ，a－b ， λ a ，a·b． 4 ．始点不在原点的平面向量的坐标 问题：设 A = (x1，y1 ) ， B = (x2 ，y2 ) ，如何用坐标表示AB ？ 学生在理解的基础上，推导坐标运算公式． 例 2 已知 a ＝（4 ，-3），b（-6 ，8），求： （1） a+b；（2） a-b；（3）2a-3b； （4）a.（2a-b）．解法略。 例 3 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别是A(5 ， - 2) ，B(0 ，2) ，C( - 1 ，7) ，求点 D 的坐标． 解法略。 学生讨论，教师点拨，突出解题思路，深 化 解 题步骤，分解难点．巩固理解，提高技能，进一步培养学生的读图、识图能力，帮助学生深入理解数形结合的思想方法． 课堂练习 A 组题 1 ．若 a ＝（－2 ，4），b ＝（5 ，2），则 a＋b = , a－b = . 2 ．若 a ＝（4 ，3），b ＝（－3 ，8），则 a＋b = , a－b = . 3．若 A（3，5），B（6，9），则 AB = ，BA = ． 4．若 A（0，3），B（0，5），则 AB = ，BA = ． 5 ．已知作用在坐标原点的三个力f1（3 ，4），f2 ＝（2， -5），f3 ＝（3 ，1），求f1＋f2＋f3． B 组题 1 ．已知 a ＝ AB ，完成下列填空： （1）若 a ＝（a，b），A（2 ，1），B（3 ，－2），则 a = , b = ; 引导学生运 用数形结合的思想方法，加深学生对向量坐标的运算的理解． （2）若 a ＝（－3，2），A（1，－1），B (x，y) ，则 x = ， y = ； 2．已知 a ，则 2a＋3b = , 若 AB ＝2a＋3b ，且点 A 的坐标为（ －1 ，1） ，则点 B 坐标为 ． 3 ．已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标分别为 A（－2， 1），B（－1 ，3），C（3 ，4），求顶点 D 的坐标． 小结 引导学生小结. 1 ．平面向量的直角坐标. 2 ．平面向量的直角坐标运算. （1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. （2）一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标． 3 ．始点不在原点的平面向量的坐标． 针对学生薄弱环节或易错处进行强调和小结． 学科网（北京）股份有限公司 $