精品解析：2026年江苏省常州市职业学校职教高考第一次调研性统测数学试卷

2026年常州市职业学校职教高考第一次调研性统测 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分.第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷3页至5页.两卷满分150分，考试时间120钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、考试证号、考试科目等项目. 2.用2B铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑，用黑色水笔在答题卡规定的答题区域书写答案.答案不涂写在答题卡上无效. 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上相应题号中正确答案的字母标号涂黑） 1. 已知集合有且仅有1个子集，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 或 2. 已知，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为（ ）. A. B. C. 0 D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则的值为（ ）. A. 2 B. C. D. 6. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知圆锥与圆柱的底面半径和高均为，且圆锥与圆柱表面积分别为 ，，则 （ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，，，为的中点，则为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）. A. B. C. D. 10. 已知直线：与直线：，且，则的最小值为（ ）. A. 15 B. C. 12 D. 第II卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，则的值为______. 12. 设为公比为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则______. 13. 已知抛物线：的准线为，点在上，直线：，点到直线的距离与点到直线的距离之和的最小值是______. 14. 在长方体中，那么直线与平面所成角的正弦值为 _________. 15. 已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是_____. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 设实数满足不等式. （1）求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 17. 已知函数在区间上最大值为3，最小值为0. （1）求实数和的值； （2）设函数，试判断函数的奇偶性. 18. 先后随机抛掷两枚骰子，其中表示第一枚骰子出现的点数，表示第二枚骰子出现的点数. （1）求两枚骰子点数之和为6的概率； （2）直线：，：，求直线的概率； （3）复数（为虚数单位），求是纯虚数的概率. 19. 在中，角的对边分别为.若， （1）求角A； （2）若，，求的面积. 20. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点. （1）求证：平面平面； （2）若，是中点，求三棱锥的体积. 21. 某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构成本费用为12000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30，则每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30，则给予优惠：每多一人，每位员工的培训费减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为，每位员工的培训费用为元，培训机构的利润为元． （1）写出与之间的函数关系式； （2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润． 22. 已知等差数列中，为前的和，若，； （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前的和； （3）若数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的前的和； 23. 已知椭圆的焦距为，四个顶点构成的四边形面积为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆经过椭圆的左右顶点及上顶点，求圆的方程； （3）设倾斜角为锐角的直线与椭圆交于两点，且点的坐标为，若，点为（2）中圆上的动点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年常州市职业学校职教高考第一次调研性统测 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分.第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷3页至5页.两卷满分150分，考试时间120钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、考试证号、考试科目等项目. 2.用2B铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑，用黑色水笔在答题卡规定的答题区域书写答案.答案不涂写在答题卡上无效. 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上相应题号中正确答案的字母标号涂黑） 1. 已知集合有且仅有1个子集，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由子集个数可判断，据此列一元二次不等式可求解. 【详解】因为集合有且仅有1个子集， 所以，即方程无实根， 所以，可化为， 解得， 所以实数的取值集合为. 故选：C 2. 已知，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，则，故. 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法及充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】或. 若，则必有充分性成立， 若，则或，不一定有，必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为（ ）. A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的图像变换与正弦函数的奇偶性即可得解. 【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位后， 可得函数的解析式为， 因为所得函数为奇函数，可得， 即，故的一个可能取值为. 故选：A. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则的值为（ ）. A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的性质及函数的周期性得出即可得解. 【详解】函数是定义在上的偶函数，满足， 当时，， 则， 故选：. 6. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用插空法求解，先排好没有限制条件的元素，再在这些元素形成的空位中插入不相邻的元素. 【详解】除《大学》《论语》《周易》外，还有部名著，这部名著进行全排列，排列数为， 排好部名著后，会形成个空位（包括两端），从这个空位中选个空位来安排《大学》《论语》《周易》，排列数为， 所以排法种数为. 故选：D. 7. 已知圆锥与圆柱的底面半径和高均为，且圆锥与圆柱表面积分别为 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的表面积公式求解. 【详解】圆锥的底面半径,高，所以圆锥的母线, 所以圆锥的表面积， 圆柱的底面半径,高， 所以圆柱的表面积， 故. 故选：D. 8. 如图所示，，，为的中点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件，利用平面向量的加法法则将用，表示. 【详解】，，为的中点， . 故选：. 9. 已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与双曲线：有共同的渐近线可设双曲线的标准方程为，再代入点求出双曲线的方程即可. 【详解】∵双曲线与双曲线：有共同的渐近线， ∴可设双曲线的标准方程为， 代入点可得，即， 故双曲线的标准方程为，即. 故选：D. 10. 已知直线：与直线：，且，则的最小值为（ ）. A. 15 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两直线垂直的性质得出与的关系，再将所求式子进行变形，最后利用基本不等式求解. 【详解】已知直线与直线，且， 可得，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 第II卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式及和角公式即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以 故答案为：. 12. 设为公比为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意结合等差中项的性质及等比数列的通项公式列出方程即可得解. 【详解】因为，，成等差数列， 则，即， 因为，，， 所以，因为， 则，即， 解得（舍）或， 故答案为：. 13. 已知抛物线：的准线为，点在上，直线：，点到直线的距离与点到直线的距离之和的最小值是______. 【答案】4 【解析】 【分析】设点到直线的距离为，点到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当共线时，距离之和最小，由点到直线的距离公式求得答案． 【详解】由抛物线：可知焦点，连接，设点到直线的距离为，点到准线的距离为，如图提示， 由抛物线的定义知：， 所以点到直线的距离与点到直线的距离之和为 当共线时，即点到的距离为的最小值， 而到的距离， 即点到直线的距离与点到直线的距离之和的最小值是4. 故答案为：4 14. 在长方体中，那么直线与平面所成角的正弦值为 _________. 【答案】 【解析】 【分析】找到直线与平面所成的角即可得解. 【详解】 根据长方体的性质知平面，平面，所以， 故面所成的角， 又，则， ， 故答案为：. 15. 已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，根据函数的性质求出，，，之间的关系，再将其代入化简，最后根据的范围求出化简后式子的取值范围. 【详解】当时，， 函数图象开口向上，对称轴为，， 当时，. 作出函数的图像及直线，如图， 因为方程有四个不同的解，，，，且， 即函数的图像与直线有四个不同的交点，且交点的横坐标依次为，，，， 由图可知，， ， 由二次函数对称性可知与关于对称，则， 因为，则， 由，得，即， 可得且，得且， 则， 显然，当时，上式单调递增， 则，即， 即的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 设实数满足不等式. （1）求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）解含绝对值的不等式即可得解. （）根据对数函数的性质列出不等式组即可得解. 【小问1详解】 由，解得得， 即的取值范围为. 【小问2详解】 因为的取值范围为， 所以函数在定义域上为减函数， 则不等式，即， 解得或， 所以不等式的解集为. 17. 已知函数在区间上最大值为3，最小值为0. （1）求实数和的值； （2）设函数，试判断函数的奇偶性. 【答案】（1）， （2）奇函数 【解析】 【分析】（1）先根据判断函数的单调性，再根据单调性得出函数在区间上的最大值和最小值，进而列出关于和的方程组求解； （2）先求出的表达式，再确定其定义域是否关于原点对称，最后判断与的关系. 【小问1详解】 ∵，∴函数在区间上单调递增， ∴当时，有最小值0；时，有最大值3， ∴且， ∴两式相减得，即， ∴解得，从而. 【小问2详解】 由（1）可知，，所以， 则， 因为对于任意实数，恒成立， 所以的定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数. 18. 先后随机抛掷两枚骰子，其中表示第一枚骰子出现的点数，表示第二枚骰子出现的点数. （1）求两枚骰子点数之和为6的概率； （2）直线：，：，求直线的概率； （3）复数（为虚数单位），求是纯虚数的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定基本事件总数以及两枚骰子点数之和为6的基本事件数，再根据古典概型的概率公式进行计算； （2）确定基本事件总数以及直线的基本事件数，再根据古典概型的概率公式进行计算； （3）确定基本事件总数以及是纯虚数的基本事件数，再根据古典概型的概率公式进行计算． 【小问1详解】 由题意知，所以基本事件的总数有36个. 设事件“两枚骰子点数之和为6”为A， 则A中包含，共5个基本事件， 故两枚骰子点数之和为6的概率. 【小问2详解】 设“直线”为事件B， 由，得， 因为，满足的有，，，共种情况， 所以直线的概率. 【小问3详解】 设“是纯虚数”为事件， 由z是纯虚数，则，即， ∴符合是纯虚数的基本事件有，共2个. 故是纯虚数的概率. 19. 在中，角的对边分别为.若， （1）求角A； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合正弦定理得出，代入余弦定理求出的值即可得解. （）根据余弦定理求出值，代入三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可知， 即， ，因为，则. 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理得， 得，解得：或（舍）， 的面积. 20. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点. （1）求证：平面平面； （2）若，是中点，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理得出面面垂直； （2）先求出点到底面的距离，再求出底面的面积，最后根据三棱锥体积公式计算体积． 【小问1详解】 ∵底面是正方形，∴， ∵底面，底面，∴， 又∵，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 【小问2详解】 设，连接， ∵是中点，是中点，∴，， ∵底面，∴底面， ∵正方形的边长，∴， ∴三棱锥的体积. 21. 某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构成本费用为12000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30，则每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30，则给予优惠：每多一人，每位员工的培训费减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为，每位员工的培训费用为元，培训机构的利润为元． （1）写出与之间的函数关系式； （2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润． 【答案】（1） （2）当参与培训的员工为57人或58人时，利润最大，为21060元 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合分段函数求解析式，即可求解； （2）先求出培训机构的利润关于参加培训的员工人数的函数解析式，再根据分段函数求最值，即可求解． 【小问1详解】 由题意，当时，， 当时，， 【小问2详解】 由题意，， 所以当时，，为单调增函数， 所以当时，取最大值,即元， 当时，， 当或时，取最大值,即元， 因为， 所以当参与培训的员工为57人或58人时，利润最大，为21060元． 22. 已知等差数列中，为前的和，若，； （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前的和； （3）若数列满足，，求证：数列是等比数列，并求数列的前的和； 【答案】（1）. （2）. （3）证明见解析，. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求出首项和公差即可得解. （）根据题意结合裂项相消法即可得解. （）利用分组求和法即可得解. 【小问1详解】 因为，， 则，解得， 故. 【小问2详解】 因为， 前的和， 故. 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 又，所以，所以， 所以数列是以1为首项4为公比的等比数列， 故，则， 前n项和为. 23. 已知椭圆的焦距为，四个顶点构成的四边形面积为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆经过椭圆的左右顶点及上顶点，求圆的方程； （3）设倾斜角为锐角的直线与椭圆交于两点，且点的坐标为，若，点为（2）中圆上的动点，求面积的最大值. 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（）根据焦距求出值，根据题意得出，结合，利用换元法求出即可得解. （）根据椭圆的性质得出所需点的坐标，设出圆的一般方程列出方程组即可得解. （）设出直线方程，联立方程组，结合弦长公式，点到直线距离公式及三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 椭圆的焦距为，则，解得， 因为四个顶点构成的四边形面积为4，则， 又因为， 令，所以， 解得或（舍）， 所以，则， ∴椭圆方程为. 【小问2详解】 ∵椭圆方程为. ∴椭圆的左顶点坐标为，右顶点坐标为，上顶点坐标为， ∵圆M过这三点，设圆M的方程为，， 将三点坐标代入可得，解得，满足题意， ∴圆M的方程为，即. 【小问3详解】 如图所示，∵，∴点A的坐标为， ∵直线过点A且与椭圆有两个交点，∴直线的斜率一定存在， 设为k，则直线的方程为， 将直线方程与椭圆方程联立得到，得， 恒成立， 设方程的两个根分别为，， 则，， ∴， ∴， ∵直线的倾斜角为锐角，∴， ∴直线的方程为，即， ∵为定值， ∴要使的面积最大，即点C到直线的距离最大， 设圆M的圆心到直线的距离为，则， ∴点C到自线的距的最大值为， ∴的面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $