3.3 平面向量的内积 教学设计-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版拓展模块一

3.3 平面向量的内积 【学情分析】 学生在初中物理学习了功的概念，前面的课程又学习了平面向量的概念、平面向量的线性运算，因此学生在教师的引导下可以顺应性地进行知识体系建构，即从平面向量的线性运算到平面向量的内积. 从学科核心素养来看，学生具备一定的直观想象、逻辑推理、数学抽象素养，但由于对平面向量的学习还不够深入，抽象思维始终是学生的薄弱环节. 教学时，需注意低起点、慢慢来、多示范、多练习，逐步提升学生抽象思维的能力． 【教学目标】 （1）能够叙述两个非零向量夹角的概念以及向量内积的定义． （2）会根据向量内积的定义求内积、夹角以及判断向量的垂直． （3）会应用向量内积的运算律及性质进行内积的运算． （4）结合生活实例，感受数学来源于生活，运用于生活. 通过解决问题，培养学生独立思考、交流合作的品质． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点是向量内积的定义，教学难点是对向量内积的定义、运算律及性质的理解． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 引入 【问题情境】 在力学中，一个物体受到力的作用，并在力的方向上产生了一段位移，这个力就对物体做了功．如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ，如图所示． 讨论：（1）如何计算这个力所做的功？ 为 学 习 向量的内积做铺垫． （2）W，F 和 s 这三个量中，哪些是数量，哪些是向量？ 讨论“功的计算 ”时，教师要提醒学生注意由力和位移两个向量确定的功，这个结果是一个数量，有别于以前所熟悉的数的乘法结果． 新课 （一）两个非零向量夹角的概念与向量的内积 1 ．两个非零向量夹角的概念 如下图所示，已知两个非零向量 a 和 b ，作 OA ＝a ，OB = b ，则∠AOB 称为向量 a 与 b 的夹角，记作<a ，b> ．一般地，规定 0 ≤<a ，b> ≤π . 当<a ，b> ＝0 时，a 与 b 同向；当<a ，b> = π时，a 与 b 反向； 当<a ，b 时，a 与 b 垂直，记作 a 丄 b． 想一想：如图，等边三角形 ABC 中，向量 AB 与 AC 的夹 角是多少？ 向量 AB 与BC 的夹角是多少？ 注意：找两个向量的夹角时，这两个向量必须起点相同． 2 ．向量内积的定义 已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角是<a ，b> ，则 |a||b|cos<a，b>为 a 与 b 的内积（数量积或点积），记作 a ·b，即 a ·b ＝|a||b|cos<a ，b>． 规定：零向量与任意向量 a 的内积为 0 ，即 0 ·a ＝0． 说明：（1）a ·b 的结果是一个实数，可以为正数、负数、零． （2）符号“ · ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也 明 确 概 念 的实质，以具 体的例子让 学生辨析两 个向量夹角 的定义． 让 学 生 理 解两个非零 向量内积与 不能用“ × ”代替． 【例 1】已知|a| ＝3 ，|b| ＝6 ，求下列各种情况下 a ·b 的值： （1）<a ，b> ＝60° ； （2）a⊥b； （3）a∥b． 【分析】应用内积定义 a ·b ＝|a||b|cos<a ，b>求值． 【解】（1）因为<a ，b> ＝60° , 所以 a ·b ＝|a||b|cos<a ，b>=3 × 6 × cos 60°=9. （2）因为 a 丄 b ，所以<a ，b> ＝90° , 于是 a ·b ＝|a||b|cos<a ，b>=3 × 6 × cos 90°=0. （3）因为 a ∥b ，所以a 与 b 的方向相同或相反． 当 a 与 b 的方向相同时，<a ，b> ＝0° , 则a ·b ＝|a||b|cos<a ，b>=3 × 6 × cos 0° = 18； 当 a 与 b 的方向相反时，<a ，b> ＝180° , 则a ·b ＝|a||b|cos<a ，b>=3 × 6 × cos 180°=－18． 两个数的乘 积 的 本 质 区 别． 及 时 巩 固 向量内积的 计算公式，让 学生学以致 用． （二）两个非零向量内积的运算定律 引导学生小组合作探究：通过向量内积的定义，证明交换律和数乘结合律. 教师利用内积的定义证明分配律，并用具体数据说明向量内积的运算并不满足结合律．已知向量 a，b ，c 和实数λ , 则： (1)交换律：a ·b ＝b ·a； (2)数乘结合律： (λa） ·b =λ（a ·b）＝a · (λb）； (3)分配律：（a+b） ·c ＝a ·c＋b ·c． 说明：一般地，（a ·b） ·c≠a ·（b ·c）． （三）两个非零向量内积的性质 引导学生讨论：根据向量内积的定义，完成下面的问题. （1）如果 e 是单位向量，则 a ·e= . （2）如果 a 丄 b ，则 a ·b= ，反之也成立. （3）a ·a= . （4）cos<a ，b>= ． 让 学 生 深 刻理解向量 内积的运算 与数量运算 的本质区别． 让 学 生 掌 握向量内积 的运算公式， 进 一 步 理 解 内积的性质． （四）典型例题分析 【例 2】已知|a| ＝2 ，|b| ＝1 ，<a ，b> ＝60。，求： （1）(a＋b) ·(a－b)； （2） ｜a－b | . 【分析】a ·b ＝|a||b|cos<a，b> ＝2 × 1 × cos 60。＝2 × 1 × = 1． 【解】（1）(a＋b) ·(a－b) ＝ a ·a－a ·b＋ b ·a－b ·b = a ·a－b ·b = | a｜2 －｜b｜2 =4－1 ＝3. （2） ｜a－b｜2 ＝(a－b) ·(a－b) =a ·a－a ·b－ b ·a＋b ·b = | a｜2－2a ·b ＋｜b｜2 = 4 一 2× 1+1 ＝3，所以｜a－b | = . 【例 3】证明菱形的对角线互相垂直． 【分析】如图所示，已知菱形 OACB ，设 OA ＝a ，OB ＝b， 则|a| ＝|b| ，要证明菱形 OACB 的对角线 OC 丄 BA ， 只要证明 · =0 即可．而 =a＋b ， =a－b． 【证明】如图所示，已知菱形 OACB ，设 OA ＝a ，OB ＝b，则|a| ＝|b|． 因为 = a＋b ， = a－b， ( )所以 OC · BA=(a＋b) ·(a－b) = a ·a－a ·b＋ b ·a－b ·b = a ·a－b ·b = | a｜2 －｜b｜2 ＝0， 让 学 生 熟 练应用向量 内积运算的 分配律． 让 学 生 学 会通过计算 两个非零向 量的内积，证 明两个向量 互相垂直． 所以， OC 丄 BA ． 即菱形的对角线互相垂直． 【例 4】已知|a|=|b|=2 ，a ·b 求<a ，b> ． 【解】 让 学 生 学 会通过计算 两个非零向 量的内积及 它们的模，得 出两个非零 向量的夹角． 小结 引导学生小结. （1）两个非零向量夹角的定义. （2）两个非零向量的内积. （3） 内积运算定律. （4）两个向量内积的性质. （5）平面向量的内积常见的题型主要有哪些？ 回 顾 学 习的过程，总结本节课的收获． 作业 教材第 86 页，习题第 1 ，2 ，3 ，4 题． 学科网（北京）股份有限公司 $