3.2.3 数乘向量 教学设计-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版拓展模块一

3.2.3 数乘向量 【学情分析】 学生在学习本节内容之前，已熟知向量的概念，掌握了向量的加、减法的三角形法则，具备了一定的认图和作图能力. 本节内容是向量的加、减法的特殊情况，即当两个向量方向相同或相反时，不能用三角形法则求和向量及差向量，故而引入本节内容． 【教学目标】 （1）通过实例掌握数乘向量的运算及运算律，并理解其几何意义． （2）理解并掌握共线向量基本定理． （3）通过教学，帮助学生养成规范作图的习惯，培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点是数乘向量的定义及其运算，教学难点是共线向量基本定理． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 导入 【问题情境】 已知非零向量 a ，求作： (1) a＋a＋a； (2) (－a)＋(－a)＋(－a)．解：作图如下． 通过作图，我们可以看到， 对于向量 a ，我们把 a＋a＋a 记作 3a ，把(－a)＋(－a)+ (－a)记作－3a． 在向量加法 的基础上引入 数乘向量的定 义，符合学生 认知规律，有 利于学生对概 念的同化，能 培养学生运用 数形结合的思 想方法解决问 题的能力． 观察图片，3a 与－3a 是否还是一个向量？它的长度与方向有何变化？ 观察发现：3a 的长度等于 3｜a｜，方向与 a 的方向相同； -3a 的长度同样等于 3｜a｜，方向与 a 的方向相反． 作图并思考： 已知 ，把线段 AB 三等分，分点为 P ，Q，则 ， ，与的关系如何？ 新课 1 ．数乘向量的定义 一般地，给定一个实数λ 和任意一个向量 a ，规定它们的乘积是一个向量，记作 λa． 向量 λa 的长度与方向规定为： (1) | λa | ＝| λ | | a |； (2) 当λ>0 时，λa 与 a 的方向相同；当λ< 0 时，λa 与 a的方向相反． 上述实数λ与向量 a 相乘的运算简称数乘向量．显然，0a ＝0， λ0 ＝0． 2 ．数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．如 2a 的几何意义就是沿着向量 a 的方向，长度放大为原来的 2 倍． 练习 1 任作向量 a ，作出向量－3a ，a ， － a ，并说出它们的几何意义． 3 ．数乘向量线性运算及其运算律 设 λ , μ∈R ，可以验证，数乘向量运算满足下列运算律： (1) (λ+μ)a =λa+μa； (2) λ(μa) ＝(λμ)a； (3) λ(a＋b) =λa+λb． 紧扣向量的 两要素分析定 义，便于学生 理解数乘向量 的几何意义． 采用类比学习 的方式．有实 数运算法则的 基础，学生解 决这部分题目 比较容易. 教 师要提醒学生 手 写 向 量 a 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称向量的线性运算． 请观察，数乘向量的运算律与实数乘法运算律有什么相似之处. 例 1 计算： （1）(－2)× 3a； （2）2(a＋b)－3(a－b)； （3）(λ+μ)(a－b)－(λ-μ)(a+b) ．解法略。 练习 2 化简：（1）2(a－b)＋3(a＋b)； (2) (a＋b)＋(a－b)．例2 设x是未知向量，解方程5 (x＋a)＋3 (x－b) ＝0． 解法略。 练习3 解关于x 的方程： (1) 3(a＋x) ＝x ； (2) x＋2(a＋x) ＝0． 例3 如图所示，已知向量a ，b ，作出向量a－3b． 解法略。 4 ．共线向量基本定理 可以看出， 向量λa 与向量 a 共线．反之，若有一个向量 b与向量 a(a≠0) 共线，则向量 b 与 a 的关系如下： 当b=0时, b=0a; 时，应写作 a ． 由例 3 引 出 向量共线的定 理， 由特殊到 一般，便于学 生接受． 共线向量基本定理： 向量 a(a≠0)与 b 共线 。 存在唯一一个实数λ , 使 b =λa． 例 4 已知 e ，e1 ，e2 为非零向量，判断下列各题中向量 a ，b是否平行： (1)a = 2e，b = 4e； (2)a = 2e1 + 4e2 ，b = e1 + 2e2 . 解法略。 例 5 如图所示，已知点 E，F 分别是△ABC 的边 AB，AC 的 中点，求证： BC∥EF ． 解法略。 练习 4 在△ABC 中，已知点 D 是线段 BC 的中点， 求证： ( → 1 → → )AD ＝2(AB ＋AC )． 本题可帮助 学生学会用共 线向量基本定 理判断两个向 量是否平行． 本题用向量 知识解决平面 几何问题，对 学生来说有些 难度. 教师要 结合向量的运 算法则详细讲 解． 小结 引导学生小结. 1 ．数乘向量的定义及其几何意义． 2 ．数乘向量的运算律． 3 ．共线向量基本定理． 针对学生薄弱环节或易错处进行强调和小结． 作业 教材第 82 页，习题第 3 题． 巩固所学内容． 学科网（北京）股份有限公司 $