3.1 平面向量的概念 教学设计-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版拓展模块一

3.1 平面向量的概念 【学情分析】 向量对学生来说，是一个全新的概念. 虽然学生在初中学过力、速度等，但学生的知识迁移能力不强，需要教师从这些物理背景中抽象出向量的概念．学生对向量的大小和方向这两个要素，需要在不断辨识和应用过程中准确把握．本节课讲授的概念性内容较多，教师需要通过一些实例的分析，不断引导学生理解向量及其相关概念． 【教学目标】 （1）了解平面向量、有向线段及相关概念. （2）了解并会判断零向量、单位向量、相等向量、共线向量． （3）通过体会向量及相关概念的抽象过程，逐步提升学生的数学运算、直观想象、数学抽象等学科核心素养． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示，教学难点是向量概念的两个要素以及共线向量的概念． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 导入 【问题情境】 学校正在进行拔河比赛，参赛双方势均力敌．你注意到作用在绳子上的力，既有大小又有方向了吗？ 分析问题：在这个问题情境中，参赛双方在绳子上分别施加了向左和向右的力，哪一边用的力大，中间的标志就向哪一边的方向移动，这说明力不仅有大小而且有方向． 【提问】 生活中还有哪些像力一样，既有大小又有方向的量？ 【例 1】 行驶中的汽车既可以调整行驶的快慢，又可以调整行驶的方向，汽车的速度也有大小和方向两个特征． 【例2】 汽车从 A 地行驶到 B 地，无论沿着什么路径，位 设置并分析 问题情境，让 学生感受力是 有大小和方向 的．通过分析 物理中的力、 速度、位移等 概念，抽象出 向量的概念． 1 学科网（北京）股份有限公司 移的大小都是线段 AB 的长度，方向是由 A 指向 B，如图所示． 新课 1 ．向量的概念 我们把既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移等．只有大小没有方向的量称为数量，如身高、体重、鞋码等． 向量可以用加粗的斜体小写英文字母 a ，b ，c ， …来表示，手写时应在字母上面加箭头，如 a ， b ， c ， …. 2 ．有向线段的概念 通常，在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设 A为始点，B 为终点，我们就说线段 AB 具有方向，具有方向的线段称为有向线段，如图所示． 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以 A 为始 点、B 为终点的有向线段记作 AB ．线段 AB 的长度也称为有 帮助学生明 晰 向 量 的 概 念，并能与数 量加以区分． 识记向量的 表示方法： （1）用 加 粗的斜体小写英文字母 a ，b ， c，…来表示向量； （2）用 有 向 线 段 AB ， CD ， …表示 向量. 识记向量长 度 的 表 示 方 法： （1）有向线段 AB 的长度， 记作| AB | ； 2 学科网（北京）股份有限公司 向线段 AB 的长度，记作| AB | ． 3 ．用有向线段表示向量 向量可以用有向线段 AB 来表示，我们把这个向量记作向量 AB ．有向线段 AB 的长度| AB | 表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．用有向线段表示向量，使向量有了直观形象． 向量 AB 的大小称为向量 AB 的长度 （或称模） ，记作 | AB | ． 最先使用有向线段表示向量的是英国著名科学家牛顿． 4 ．向量的相关概念 长度为 0 的向量称为零向量，记作 0 ．零向量的方向是不确定的．长度为 1 的向量称为单位向量． 我们把长度相等且方向相同的向量称为相等向量．向量 a 和b 为相等向量，记作 a ＝b． 例如，在下图所示的平行四边形 ABCD 中， AB ＝DC ． 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行．因为零向量的方向不确定，所以通常规定零向量与任意向量平行．两个向量 a 和 b 平行，记作a∥b ．两个向量平行也称为两个向量共线． （2）向量 a 的 长度，记作 | a | . 介绍向量的 历史，渗透数 学文化. 用数形结合 的思想方法， 帮助学生理解 零向量、单位 向量、相等向 量、共线向量 等概念． 3 学科网（北京）股份有限公司 例 如图所示，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，写出图中符合下列要求的所有向量： （1）与向量 OA 相等的向量； （2）与向量 OB 共线的向量． 解（1）与向量 OA 相等的向量有： EF ， DO ， CB ． （2）与向量 OB 共线的向量有：FA ，AF ，EO ，OE ， EB ， BE ， BO ， DC ， CD ． 通过例题，加深学生对相等向量和共线向量的理解． 1 ．判断下列说法是否正确： (1)若|a|=|b| ，则 a=b； (2)两个向量平行，则它们在同一直线上； (3)单位向量都相等； (4)非零的平行向量一定方向相同； (5)零向量与任一向量平行． 2 ．（1）正方形 ABCD 的边长为 2 ，则向量 AC 的长度 |A→C |=________． （2）等边三角形 ABC 的边长为 2，D 为 BC 边上的中点， 则向量 AD 的模|A→D |=________． 3 ．如图，已知点 D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA的中点，写出图中符合下列要求的所有向量： 巩固向量及相关概念． （1）与向量 AD 相等的向量； （2）与向量 BE 共线的向量． 4 学科网（北京）股份有限公司 小结 引导学生小结. （1）向量的两个要素. （2）向量的表示. （3）向量的相关概念． 回顾学习的过程，总结本节课的收获． 作业 教材第 71 页，习题第 1 ，2 ，3 题． 通过作业，巩固向量及相关概念． 5 学科网（北京）股份有限公司 $