9.1.2离散型随机变量的分布列及其数字特征 课件-2025-2026学年高二下学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（下册）

第七节 随机变量及其分布 第十章 概率与统计 1．随机变量 (1)随机变量：表示随机试验结果的变量称为随机变量，常用ξ，X，Y等表示． (2)离散型随机变量：所有可能的取值都能______________的随机变量称为离散型随机变量． 一一列举出来 2．概率分布 (1)概率分布：离散型随机变量的取值及其相对应的________的全体称为离散型随机变量的概率分布． (2)分布列 一般地，设随机变量ξ， ①所有可能取的值为x1，x2，…，xn； ②取每一个值的对应概率为p1，p2，…，pn， 概率值 ξ x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 知识梳理 这个表示了离散型随机变量ξ的概率分布，通常称为分布列．(ξ可取的值也可能为无穷多个：x1，x2，…，xn，…) (3)分布列的两条性质 ①pi≥0，i＝1，2，3，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝ ＝________． 1 3．均值(数学期望) 离散型随机变量X的均值为E(X)＝____________________＝________． x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 4．方差 离散型随机变量X的方差为D(X)＝__________________________________________＝ _________． [x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn 5．独立试验 (1)在相同的条件下，重复做试验，如果每一次试验结果出现的概率都不依赖其他各次试验的结果，那么就把这种试验称为独立试验． (2)如果在n次独立试验的每一次试验中，我们只考察事件A发生或不发生这两个结果，并且在每次试验中事件A发生的概率不变，那么这样的n次独立试验，就称为n次独立重复试验．一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 (k＝0，1，2，…，n). Pn(k)＝ pk(1－p)n－k 6．二项分布 在独立重复试验中，若将事件A发生的次数设为X，事件A发生的概率是p，事件A不发生的概率是q＝________，那么X的分布列见表10－7－2. 1－p X 0 1 … k … n P p0qn p1qn－1 … ________ … pnq0 pkqn－k 由于表中的第二行恰好是二项展开式(q＋p)n＝ p0qn＋ p1qn－1＋…＋ pkqn－k＋…＋ pnq0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p). 7．正态分布 (1)正态曲线(如图10－7－1所示) (2)正态曲线的特点 ①曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称． ②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状． ③曲线形状由正参数σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，越“高瘦”． 当μ＝0且σ＝1时的正态分布称为_____________． 标准正态分布 【解析】分布列性质知， 解得c＝ . 【知识要点1】 离散型随机变量的分布列及性质 【例1】　离散型随机变量X的分布列如表，则常数c的值为(　　) A． 或 B． C． D．1 X 0 1 P 9c2－c 3－8c C 典例分析 【举一反三1】 设X是一个离散型随机变量，其分布列如表，则q等于(　　) A.1 B．－ C．1＋ D． D X －1 0 1 P 1－q q－q2 【提示】 由题意知， 解得q＝ . 【知识要点2】 离散型随机变量的均值与方差 【例2】　有10件产品，其中3件是次品．从中任取2件，若抽到的次品数为X，求X的均值和方差． 【解析】　由题意知，X的可能取值为0，1，2. X每个值对应的概率分别为： P(X＝0)＝ ，P(X＝1)＝ ，P(X＝2)＝ . 所以E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＝ ， D(X)＝ 【举一反三2】 为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据见表： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．现从上述5件产品中，随机抽取2件，设抽取的2件产品中优等品数为X. (1)写出随机变量X的分布列；(2)求X的均值和方差． 解：(1)5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝ ＝0.3，P(X＝1)＝ ＝0.6， P(X＝2)＝ ＝0.1. 所以优等品数X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 (2)E(X)＝0×0.3＋1×0.6＋2×0.1＝0.8， D(X)＝(0－0.8)2×0.3＋(1－0.8)2×0.6＋(2－0.8)2×0.1＝0.36. 【知识要点3】 二项分布 【例3】　重复抛掷一颗质地均匀的骰子5次，记得到点数为6的次数为ξ，求P(ξ＝4)，P(ξ＝5). 【解析】　依题意，随机变量ξ～B . 所以P(ξ＝4)＝ × ＝ ，P(ξ＝5)＝ ＝ . 【举一反三3】 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率． 解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为 . (2)乙至少击中目标2次的概率为 . 【知识要点4】 正态分布 【例4】　已知随机变量X～N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)的值是(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 C 【解析】　因为P(X＜4)＝0.8，所以P(X≥4)＝0.2，又μ＝2，所以P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.5－P(X≥4)＝0.5－0.2＝0.3. 【举一反三4】 已知随机变量X～N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X≤0)等于(　　) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 A 【提示】 由正态分布的特征得P(X≤0)＝1－P(X≤4)＝1－0.84＝0.16. 一、选择题 1．已知随机变量X的分布列如下表所示： 则a＋b等于(　　) A．0.75 B．1.5 C．1 D．0.25 A X 1 2 3 P 0.25 a b 2．设离散型随机变量X的分布列见下表： 则随机变量X的均值为(　　) A．0.24 B．0.28 C．0.3 D．2.4 D X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 活动设计：限时12分钟，认真完成基础练习选填题检测 随堂检测 3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次取1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)＝(　　) A． B． C． D． D 4．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)等于(　　) A． ×0.88×0.22 B． ×0.82×0.28 C．0.88×0.22 D．0.82×0.28 A 5．一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为(　　) A．0.93 B．1－(1－0.9)3 C． ×0.93×0.12 D． ×0.13×0.92 C 6．已知随机变量X～N(0，σ2)，P(X＜－2)＝0.12，则P(－2≤X≤2)等于(　　) A．0.88 B．0.76 C．0.24 D．0.36 B 二、填空题 7．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中随机 取出2个球，若X是取出的红球个数，则P(X＝1)＝________． 8．从装有除颜色外完全相同的m个白球和4个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为X，若E(X)＝1，则m＝________． 2 【提示】 由题意知X～B ，∴E(X)＝ ＝1，解得m＝2. 9．已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X≤0)＝0.1，则P(X＞2)＝________． 0.1 一、选择题 1．已知随机变量X的分布列如表：则E(X)等于(　　) A．2 B． C． D．1 X 0 2 3 P m 2m C 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 A 【提示】 ×0.62×0.4＋0.63＝0.648. 二、填空题 3．设随机变量的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝1，2，3，4，则P(X＜3)＝________． 课堂小结 1.书面必做作业：完成复习资料相关练习题目； 2.拓展提升作业：依据考点根据自身掌握情况，利用复习书练习进一步训练巩固相关内容 布置作业 $