立体几何试题汇编-河北省2005-2025年对口高考数学真题

立体几何试题汇编-河北省2005-2025年对口高考数学真题 本汇编收录2005-2025年河北省对口高考数学题，核心价值在于完整保留原始题号，此举既还原考情原貌，清晰呈现二十载命题演变，也为备考、教学及研究提供精准依据，助力把握高考规律。 【2005】 13．下列命题中正确命题的个数有 (1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 (2)垂直于同一个平面的两个平面互相平行 (3)垂直于同一条直线的两条直线互相平行 (4)垂直于同一条直线的两个平面互相平行 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15．在一个的二面角的一个面内，有一条直线与二面角的棱成，则此直线与二面角的另一个面所成的角为 A. B. C. D. 26．如图，在正方体中，异面直线与所成的角的大小是_______. 34．(7分)如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，A为垂足，点O为正方形ABCD的对角线AC和BD的交点，PA=6cm，， (1)求证：平面平面 (2)求点P到BD的距离. 【2006】 13．正方体的底面中心是O，E是的中点，与所成的角是： A. B. C. D. 26．垂直于同一平面的两条直线的位置关系是_____________. 35．(8分)如图，正方形的边长为，O是它的中心，CE垂直于平面AC，又知. (1)证明平面平面OCE；A B C D O E (2)求点C到平面的距离. 【2007】 12．正方体中，E为棱的中点，异面直线与EB所成的角等于 A. B. C. D. 28．若平面和平面垂直，直线平面，则直线与平面的位置关系为___________. 35．(7分)如图，已知D是等腰斜边BC的中点，，P是平面ABC外一点，平面ABC，于E，DE=1. (1)求证：AD平面PBC (2)求平面ABP与平面CPB所成二面角的大小. 【2008】 12.空间四边形ABCD中，AC=BD.，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH为 A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 13.以下关于平面、、的命题：①∥，⊥⊥;②⊥，⊥⊥;③∥，∥∥其中正确的是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 28.棱长为1的正方体中，与所成角为_________. 37.(8分)如图：正方形ABCD边长为4，O为对角线交点，E、F分别是AB和AD的中点，GC⊥面ABCD，GC=2， (1)证明BD∥面EFG； (2)求点B到平面EFG的距离. 【2009】 11.已知正方体，则与所成的角为 A. B. C. D. 26.点为二面角内一点，过点作,,垂足分别为、，若，则二面角的度数为____________. 37.(8分)如图二面角为，点、分别为平面和平面上的点，点到的距离为，点到的距离为， ，求： (1)与两点间的距离； (2)异面直线、所成角的正切值. 【2010】 11.已知空间四边形ABCD中，AB=AD=BD=AC，BC=CD，∠BCD=90°，则二面角A-BD-C的度数为 A.30° B.45° C.60° D.90° 12.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABCD是正方形，且AA1=2AB，点E是线段AA1的中点，则DE与CC1所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.90° 24.从60°的二面角内一点，到二面角的两个面的垂线段长都是8cm，则两垂足间的距离是__________cm．A B C D A1 D1 C1 B1 图2 35.(7分)如图2，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，高为2，求： (1)点A到直线B1C的距离； (2)二面角A-B1C-B的正切值． 【2011】 13.在一个的二面角的一个面内,有一条直线与另一个平面所成的角为,则此直线与二面角的棱所成的角为( ). A.90° B.45° C.60° D.30° 28.在正方体中,异面直线与所成的角为_____. 35.(7分)如图,,,平面平面. (1)求证:平面平面； (2)求与平面所成角的正切值. 【2012】 13.两个平面互相平行,直线与平面相交于点,与平面相交于点,点到平面的距离是2,则直线与平面所成的角是( ). A.30° B.45° C.60° D.90° 23.在一个的二面角的一个面内有一点,它到棱的距离是,则它到此二面角的另一个面的距离是_____. 36.(8分)已知:正方形所在的平面垂直于以为直径的半圆所在的平面,是半圆上一点. (1)求证:平面平面; (2)若,求直线与平面所成角的正弦值. 【2013】 9.点在平面外,为在平面上的射影,若到三边等距,则为的( ). A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 24.在正方体中,直线与的夹角大小为_____. 25.二面角为,其内有一点满足于于,则的大小为_____. 36.(7分)平面外有一点与平面所成角等于且与夹角相等.求点到的距离. 【2014】 11.在正方体中,是的中点,是的中点,则异面直线与的夹角余弦值为( ). A. B. C. D. 29.在二面角内有一点,过点作于于,且,则二面角的大小是_____. 37.(7分)如图,点是边长为2的等边三角形所在平面外一点,. ①求证:; ②当时,求二面角的余弦值. 【2015】 15．已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH为() A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 27．设直线与是异面直线，直线，则直线b与直线c的位置关系是_________． 29．已知平面与平行，直线l被两平面截得的线段长为cm，直线与平面所成的角是60°，则这两平面间的距离为___________． 37．(7分)如图，圆O直径是AB，VA垂直于圆O所在的平面，C为圆上不同于A、B的任意一点，若VC与圆O所在平面成45°角，M为VC的中点． 求证：(1)AM⊥VC；V O M C B A (2)平面AMB⊥平面VBC. 【2016】 15．已知点P是△ABC所在平面外一点，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影O是△ABC的 A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心 27．设直线∥平面，直线b⊥平面，则直线与直线b所成角是___________． 29．已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成直二面角，则∠FBD=______． 36．(7分)如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E.F分别为AB.PC的中点． (1)求证：EF∥平面PAD； (2)若平面PDC与平面ABCD所成的角为60°，且PA=4cm，求EF的长． 【2017】 15.设直线∥平面，直线平面，则下列说法正确的是() A.∥ B. C.且异面 D.且相交 28.将等腰直角三角形沿斜边上的高折成直二面角后，边与的夹角为 . 30.已知二面角的度数为，点是二面角内的一点，过作于，于，则 (填度数). 36.(7分)如图已知， ∥. (1)求证：平面平面； (2)若二面角为，，，求与面所成的角的正弦值. 【2018】 15.下列命题中正确的是 (1)平行于同一直线的两条直线平行(2)平行于同一平面的两条直线平行 (3)平行于同一直线的两个平面平行(4)平行于同一平面的两个平面平行 A.(1)(2) B.(1)(3) C.(1)(4) D.(2)(4) 27.设直线与平面所成的角为，直线则与所成角的范围是 . 29.在△中，，若则三角形的面积为 . 36.(7分)在△中，∠平面，为中点. (1)求证：平面; (2)求与平面所成角的正弦值. 【2019】 14.在正方体中，棱所成的角为 A. B. C. D. 25.在正方体中，与AB为异面直线的棱共有_______条. 36. (7分)如图所示，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，|PD|=2，平面PBC与底面ABCD所成角为45°，M为PC中点. (1)求DM的长度； (2)求证：平面BDM⊥平面PBC. 【2020】 25.在长方体中，底面边长，，高，则对角线与所成角的正切值为_________. 36.(7分)如图，已知矩形所在的平面，分别是的中点，. (1)求证：平行于平面； (2)求点到的距离. 【2021】 14.在正方体中,平面与平面所成的二面角的度数为 A.90° B.60° C.45° D.30° 23.若直线b⊥α且b⊆β,则平面α与平面β的位置关系是_______. 29.已知正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD的交点为E,以AC为棱折成的二面角D-AC-B,则点D到EB的距离为_______. 36.(7分)如图所示.四边形ABCD为菱形,边长为6.∠ABC=120.E为PC中点.PA⊥平面ABCD. (1)求证:平面DEB⊥平面ABCD; (2)求点E到平面PAD的距离. 【2022】 15.下列命题正确的是 A.三点确定一个平面 B.若直线垂直于平面,则垂直于内任何一条直线 C.若平面内有三个点到平面的距离相等,则 D.若两条直线,没有公共点,那么与是异面直线 25.已知直线PM与平面α所成角为45°,点,点,且PM=2,则点P到平面α的距离为______. 30.在二面角α-a-β内有一点P,过P作PA⊥α于点A,作PB⊥β于点B,若PA=PB=AB=5,则二面角α-a-β的大小为____. 36.(7分)在棱长为2的正方体中,已知EF分别是BC,的 中点.(1)求证:; (2)求点F到直线的距离 【2023】 14.已知直线a⊆α,直线b⊆β,且a⊄β,以下说法正确的是( ) A.若a∥b,则α∥β B.若a⊥b,则α⊥β C.若α//β,则a∥b D.若a//b,则a//β 28.已知在三棱锥P-ABC中PA、AB、AC两两互相垂直,则二面角P-BC-A的正切值为_______. 29.已知矩形ABCD与正方形CDEF成直二面角,AB=2,AD=1,G为DC的中点,则CE与AG所成角为_______. 36.(8分)已知圆O的直径为AB,C是圆周上不同于A、B的点,P为圆外点,BC∥平面PEO. (1)求证:点E为AC的中点; (2)若平面PAC⊥平面ABC,求证:OE⊥PC. 【2024】 11.已知m是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是 A.若m∥α,α∥β,则m∥β B.若m⊥α,m⊥β,则α∥β C.若m∥α,m∥β,则α∥β D.若m⊥α,α⊥β,则m∥β 27.已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为AD,BC的中点，现将正方形ABCD沿EF折叠成60°的二面角(如图)，则点C到BD的距离为_______. 29.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角的余弦值为_______. 36.(7分)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，. (1)求证：平面PBC⊥平面PCD; (2)求直线BD与平面PBC所成角的正弦值. 【2025】 11．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（    ）    A．   B．   C．   D．   14．在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（    ） A．   B．   C．   D．   25．某圆锥的侧面展开图是一个半圆，其体积的值与侧面积的值之比为，则该圆锥的高为 ． 28．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面. (1)求证：平面； (2)若点分别为的中点，点在棱上，且，求证：平面. 立体几何试题汇编-河北省2005-2025年对口高考 数学真题答案 (2005答案)13.B 13.B 34. 证明: (1) 平面 而 PA 和 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线 平面 2分 又 平面 平面 平面 3 分 解: (2)连接 PO 平面 是 在平面 上的射影 又显然 (三垂线定理) PO 就是 P 到 BD 的距离 5 分 在直角三角形 ABC 中 在直角三角形 PAO 中 到 的距离是 7 分 (2006答案)13.D 26. 平行或重合 35.(8分)(1)证明：如图，由正方形的性质， 由三垂线定理， 因为、是平面内的两条相交直线， 所以平面 2分 又平面， 所以平面平面 3分 (2)解：在平面中过点作，交于，则平面，这样的长即为点到平面的距离. 4分 由题意，正方形的边长为，其对角线， 在直角三角形中， 5分 因为∽，所以， 这样 8分 (2007答案)12.A 28.l//β或l在平面β内 35.(1)证明:D是等腰Rt△ABC斜边BC的中点 ∴AD⊥BC ∵PC⊥平面ABC,∴AD⊥PC. 而=C,∴AD⊥平面PBC. (2)连结AE, AD⊥平面PBC,又DE⊥PB; 由三垂线定理知,PB⊥AE, 所以∠AED就是平面ABP与平面CPB所成二面角的平面角. RT△ADE中， . (2008答案)12.D 13.B 37.(8分)证明:①因为分别为和的中点, 所以 因为在平面内 所以平面 3分 ②由平面可知,到平面的距离相等. 因为平面 所以 设交于 又因为 所以平面 所以平面 所以平面平面 作,则平面 所以得为点到平面的距离 6分 因为 所以 8分 (2009答案)11.B 26.100° 37.(8分)解:过C点在平面β内作CE//BD,且CE=BD, 连接BE、AE, 由已知BD⊥l,得CE⊥l,又AC⊥l, 所以∠ACE为二面角α-l-β的平面角,即∠ACE=60°,且CD⊥平面ACE, 从而BE⊥平面ACE⇒BE⊥AE 2分 (1)在△ACE中,|ACI=4,|CE|=5,∠ACE=60°,由余弦定理得 AE²=AC²+CE²-2AC·CE·cos60° =21 在Rt△ABE中,AB²=AE²+BE²=21+36=57. (2010答案)11.D 12.B 24． 35．(7分)解法一：(1)过点作⊥于点，连结．(如图1) ∵⊥平面， ∴是在平面内的射影． ∴由三垂线定理得⊥． ２分 ∴在中， ∴． ∴点到直线的距离为 ４分 解法二：过点作⊥于点，连结．(如图1) ∵⊥平面， ∴是在平面内的射影． ∴由三垂线定理得⊥． ２分 ∴在中， ∴． ∴点到直线的距离为． ４分 解法三：(如图2)连结、， 则由勾股定理，得，，． 过点作⊥于点， 由余弦定理，得 所以， ２分 在中， 所以，点到直线的距离为. ４分 解法四：(如图3)连结、，则由勾股定理， 得，，． 过点作⊥于点，过点作⊥于点， 则 ２分 在中，由面积，得　 所以，点到直线的距离为． ４分 (2)(如图1)由(1)知，⊥，⊥， 因此是二面角的平面角， ６分 所以，在中， 所以，二面角的正切值是． ７分 (2011答案)13.B 28. 35.(7分) (1)证明:因为平面平面,且面面, 因为, 于是, 所以面. 1分 又因为, 则. 2分 , 所以面. 2分 又因为面, 所以平面平面. 3分 (2)取的中点,因为, 所以. 因为平面平面,且棱为, 所以面于点. 所以是斜线在面上的射影, 所以即为与面所成的角. 5分 因为, 所以. 在Rt中,. 在Rt中,. 6分 在Rt中,. 7分 (2012答案)13．A 23.10 36.(8分) 证明:(1)平面平面. 在正方形中,, 所以平面. 而又在平面内, 所以. 因为是直径,所以. 与是平面内两条相交直线, 因此平面. 而在平面内, 所以平面平面. (2)过点,作,交于点. 因为平面平面, 所以平面, 为在面上的射影, 为直线与平面所成的角.因为,所以,在中,,设,则,所以.在Rt中,, 在中,, 所以. (2013答案)9．A 24. 25. 36. 解: 如图. 作 平面 于 于 于 ,连接 . 所以 为 在面 内的射影,故 为 与面 所成的角,即 . 由于 平面 于 ,故 , . 由于 交 于 ,所以 面 ,进而 ,同理, . 在 和 中,由于 , , 所以 ,进而 . 显然, 分别为 在平面 内的射影,故 , 所以 在 的角平分线上,即 . 在直角三角形 中, . 在直角三角形 中, . 所以,在直角三角形 中, . 故点 到 的距离为 . (2014答案)11．A 29. 37. 解: ① 设 是 的中点,连结 . 因为 是等边三角形,所以 . 又因为 ,所以 . 于是得 平面 ,直线 在平面 内,因此 . ②由①得 为二面角 的平面角. 因为 是边长为 2 的等边三角形, 是 的中点,所以 . 由 ,可知 . 在 中, ,由余弦定理可知: (2015答案)15.C 27. 异面或相交 29. 9cm 37．证明:(1)因为VA⊥面ABC,所以AC是VC在面ABC内的射影，所以∠VCA=45°所以Rt三角形VAC中，VA=AC，又M是VC中点，所以AM⊥VC (2)因为AB是圆O直径,所以BC⊥VC 而VA⊥面ABC，所以BC⊥VA,又ACVA=A,所以BC⊥面VCA 又因为AM⊆面VAC,所以BC⊥AM 由(1)知，AM⊥VC,BC,所以AM⊥面VBC 又AM⊆面AMB,所以⊥面VBC. (2016答案)15.C 27. 29. 36.证明：(1)方法一： 取PD中点M,连接AM,MF M,F分别是PD,PC的中点,MF∥DC且MF=DC 四边形ABCD是矩形,E是AB的中点，AE∥DC且AE=DC AE∥MF且AE=MF 四边形AEMF是平行四边形 EF∥AM 又AM平面PAD,EF平面PAD ∴EF∥平面PAD 方法二： 取DC中点N,连接FN,EN, N,F分别是DC,PC的中点, FN∥PD,又FN平面PAD,FN∥平面PAD 四边形ABCD是矩形,E,N分别是AB,CD的中点 EN∥AD,又EN平面PAD,EN∥平面PAD, 又FN∩EN=N 平面EFN∥平面PAD EF平面EFN EF∥平面PAD (2)解:PA⊥平面ABCD,PA⊥DC 四边形ABCD是矩形,DC⊥AD,又PAAD=A ∴DC⊥平面PAD ∴PD⊥DC ∴∠PDA是平面PDC与平面ABCD所成的角 ∠PDA= 在Rt△PAD中,PD= (2017答案)15.B 28. 30. 36.(1)证明：∵ ∴，. 又∵∥，∴. ∴平面. 而平面 ∴平面平面. (2)解：由(1)知：平面 ∴，. ∴是二面角的平面角，即. 在平面内作于，因平面平面 ∴平面. 连结，即为与平面所成的角. 在直角三角形中，. 在直角三角形中，，. (2018答案)15.C 27. 29.24 36.(1)证法一：因为VC⊥平面ABC,所以VC⊥BC 因为,所以BC⊥AC,所以BC⊥平面VAC,所以BC⊥VA 因为VC=AC,D为VA的中点,所以VA⊥CD 所以VA⊥平面DBC 证法二:因为VC⊥平面ABC,所以VC⊥BC 因为VC=BC=1,所以 因为BC=AC=1,,所以 所以VB=AB,因为D为VA的中点,所以VA⊥BD 因为VC=AC,所以VA⊥CD 所以VA⊥平面DBC (2)解：取AC中点E,连接DE,BE 则DE∥VC,所以DE⊥平面ABC 所以∠DBE为DB与平面ABC所夹的角 因为DE=VC= 又因为 所以 (2019答案)14.C 25.4 36.解：(1)因为PD⊥平面ABCD 所以PD⊥BC 又因为ABCD为矩形，得BC⊥CD 所以BC⊥平面PCD 所以BC⊥PC 所以∠PCD为平面PBC与平面ABCD所成角 即∠PCD=45° 从而△PDC为等腰直角三角形 在RTPDC中得 又M为PC的中点，则DM⊥PC 所以在 (2)证明：由(1)可知BC⊥平面PCD 所以BC⊥DM 由(1)可知DM⊥PC，且BCPC=C, 所以DM⊥平面PBC 又DM平面BDM，所以平面BDM⊥平面PBC. (2020答案)25. 36.(7分) (1)证法一： 如图所示，取中点，连接. 在三角形中，是中位线，所以平行于 且 由于是矩形，所以平行于 且 又因为为的中点， 所以平行于且 可得为平行四边形， 所以平行于，故平行于平面. 证法二： 取中点，连接. 因为分别是的中点， 所以平行于，平行于， 又由于和交于点， 从而平面平行于平面，故平行于平面. (2)解： 由于平面，故. 又为矩形，所以,平面，平面，故. 因此为点到的距离. 在直角三角形中，. 由勾股定理， 故. (2021答案)14.C 23.a⊥β 29. 36.(7分) (1)证明:连接AC交BD于点O,连接EO. ∵菱形ABCD,∴点O为AC中点. 又∵点E为PC中点∴EO∥PA. 1分 又∵PA⊥面ABCD,∴EO⊥面ABCD. 2分 ∵EO⊆面DEB, ∴面DEB⊥面ABCD. 3分 (2)解:∵OE∥PA, OE不在面PAD内,PA⊆面PAD, ∴OE∥面PAD, ∴点E到面PAD距离为点O到面PAD的距离. 4分 过点O作OH⊥AD于点H, 又∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥OH, ∵PA∩AD=A,∴OH⊥面PAD. 5分 ∴OH为点O到面PAD的距离. 6分 ∵菱形ABCD中,∠ABC=,∴∠DAB=. ∴△ABD为等边三角形,OH=OD== 即点E到面PAD的距离为. 7分 (2022答案)15.B 25. 30.120° 36.【解】(1)连接B1C，BC1相交于一点，由题意得.由CD与A1B1平行且相等可得四边形A1B1CD为平行四边形，所以. 因为点E，F分别为BC，CC1的中点，所以，所以. (2)过点F作边上的高h，连接，h即为点F到直线的距离，则，又, 所以，则， 所以，解得. (2023答案)14.D 28.5 29.60° 36.证明:(1)因为O为直径AB的中点,E为AC中点,所以OE为△ABC的中位线, 所以OE∥BC. 又因为BC在平面PEO外,EO在平面PEO内, 所以BC∥平面PEO. (2)因为AB为圆O的直径,C为圆周上一点, 所以∠BAC=90°,所以BC⊥AC. 又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC⊆平面ABC, 所以BC⊥平面PAC. 又因为PC⊆平面PAC,所以BC⊥PC. 又由(1)知OE∥BC, 所以OE⊥PC. (2024答案)11．B 27. 29. 36.(1)证明:四边形是正方形, 又 与是平面内两条相交直线, 平面 又平面 平面平面 (2)解: 过取中点,连接,. 为等边三角形, 由(1)得平面上平面 平面 是在平面内射影 是与平面所成角. 在边长为2的等边中, 正方形ABCD边长为2,故 在中,, 直线与平面所成角正弦值为. (2025答案)11.C 14.B 25.4 28.证明：（1）因为底面是菱形，所以． 因为平面，平面，所以． 又，平面 所以平面． （2）设与交于点，连接，设与交于点， 因为点分别为的中点，即为的中位线， 所以为的中点，从而， 因为，所以， 则，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 学科网（北京）股份有限公司 $