精品解析：广东省佛山市中等职业学校2025-2026学年高三上学期教学质量监测数学试题

2025～2026学年上学期佛山市中等职业学校 教学质量监测数学学科试卷 本试卷共4页，24小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 设是虚数单位，已知复数，，若复数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：与直线：平行，则（ ） A. B. 4 C. D. 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知向量，，且与共线，则（ ） A. B. C. D. 10. 晨晨在广州一精品店购买了4款“第15届全运会”的精美纪念品，现送给小敏和小红各一个纪念品，则不同的情况数为（ ） A. B. C. D. 11. 在等差数列中，，，则该数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 12. 函数的最小正周期和最大值分别为（ ） A. ，1 B. ，1 C. ，2 D. ，2 13. 袋中有5个红球，3个黄球，6个绿球，这些球除颜色外，形状大小等均完全相同.从中随机摸出1个球，则摸到不是绿球的概率为（ ） A. B. C. D. 14. 直线与圆相交所得的弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 15. 函数在上是偶函数，且在上是增函数，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16. 计算：____________________. 17. 某公司采购了8辆BYD新能源商务车，价格分别为18万元的有3辆，20万元的有2辆，22万元的有3辆，那么这8辆车的平均价格是____________________万元. 18. 在直角坐标系中，点，，，则________________. 19. 已知数列满足，，则____________________. 20. 已知，，则____________________. 三、解答题（本大题共4小题，第21，22，23题各12分，第24题14分，满分50分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 21. 已知各项为正数的等比数列，，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 22. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，. （1）求角； （2）求的面积. 23. 某学校平面设计专业班开展剪纸展示活动，现有许多形状为直角三角形彩纸片的边角料，直角边的长分别为40和20，如图所示，为了开源节流，现在从这些边角料上截取阴影部分所示的矩形备用. （1）求矩形的面积与其边长的函数关系式； （2）当矩形的边长，各为多少时，所截取的矩形面积最大？并求出最大值. 24. 已知曲线上动点到两定点与的距离的差的绝对值为2，与曲线有共同焦点的椭圆上一点. （1）求曲线和椭圆的标准方程； （2）若曲线与椭圆相交于、两点，点在曲线的左支上，点在第四象限，求三角形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期佛山市中等职业学校 教学质量监测数学学科试卷 本试卷共4页，24小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】. 故选：C. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为， 所以，解得， 故不等式的解集为. 故选：B. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数式的真数大于零，列不等式可求解. 【详解】要使函数有意义，则满足， 解得，即函数的定义域为. 故选：B 5. 设是虚数单位，已知复数，，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则以及复数的模的计算公式求解即可. 【详解】因为复数，，所以， 因此. 故选：D. 6. 已知直线：与直线：平行，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线化为斜截式，再根据两直线平行的充要条件可得结果. 【详解】由，可得， ，，解得， 经检验，此时两直线平行，不重合，故. 故选：B 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分、必要条件的定义即可判断. 【详解】因为， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准式，再根据抛物线的焦点公式求解即可. 【详解】抛物线化成标准方程为， 则抛物线焦点在轴负半轴上且， 所以焦点坐标为，即. 故选：C. 9. 已知向量，，且与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】因为向量，，且与共线， 所以，得. 故选：A. 10. 晨晨在广州一精品店购买了4款“第15届全运会”的精美纪念品，现送给小敏和小红各一个纪念品，则不同的情况数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列的概念以及计算公式求解即可. 【详解】根据题意，从4个纪念品选2个纪念品出来，再进行排列，即. 即不同的情况数为12种. 故选：D. 11. 在等差数列中，，，则该数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，列不等式组求出和，据此可求解. 【详解】设等差数列的公差为，由题得： ，解得， . 故选：A 12. 函数的最小正周期和最大值分别为（ ） A. ，1 B. ，1 C. ，2 D. ，2 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角的余弦公式化简函数，再根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以最小正周期为，最大值为1. 故选：A. 13. 袋中有5个红球，3个黄球，6个绿球，这些球除颜色外，形状大小等均完全相同.从中随机摸出1个球，则摸到不是绿球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】袋中有5个红球，3个黄球，6个绿球，一共14个球，其中不是绿球有8个， 故摸到不是绿球的概率为. 故选：C. 14. 直线与圆相交所得的弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出圆的圆心以及半径，再根据弦长公式求解即可. 【详解】圆化为标准方程为，即圆心为，半径， 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 所以弦长为， 因此，弦长. 故选：B. 15. 函数在上是偶函数，且在上是增函数，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性求解即可. 【详解】或， 因为函数在上是偶函数，且，所以， 又因为在上是增函数，所以在上是减函数， 则，解得， ，解得， 所以的解集为. 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16. 计算：____________________. 【答案】4 【解析】 【分析】由指数幂和对数的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为：4. 17. 某公司采购了8辆BYD新能源商务车，价格分别为18万元的有3辆，20万元的有2辆，22万元的有3辆，那么这8辆车的平均价格是____________________万元. 【答案】20 【解析】 【分析】根据加权平均数公式求解. 【详解】依题意,这8辆车的平均价格 （万元）. 故答案为：20 18. 在直角坐标系中，点，，，则________________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先求出向量，再根据向量内积的坐标运算求解即可. 【详解】因为在直角坐标系中，点，，， 所以向量，； 进而. 故答案为：1. 19. 已知数列满足，，则____________________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据数列的通项公式求解即可. 【详解】因为数列满足，， 当时，， 当时，， 当时， 故答案为：16. 20. 已知，，则____________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式，求解即可. 【详解】依题意可知 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，第21，22，23题各12分，第24题14分，满分50分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 21. 已知各项为正数的等比数列，，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据（1）得到的数列的通项公式以及等比、等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为. 由 ，，可得， 解得. 因为等比数列的各项是正数，所以. 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 ，， . 则有 22. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，. （1）求角； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可求解； （2）利用两角和的正弦公式，求得的值，再根据面积公式可得解. 【小问1详解】 依题意，由正弦定理得 ，解得， ，； 【小问2详解】 由（1）可得，. ， . 23. 某学校平面设计专业班开展剪纸展示活动，现有许多形状为直角三角形彩纸片的边角料，直角边的长分别为40和20，如图所示，为了开源节流，现在从这些边角料上截取阴影部分所示的矩形备用. （1）求矩形的面积与其边长的函数关系式； （2）当矩形的边长，各为多少时，所截取的矩形面积最大？并求出最大值. 【答案】（1） （2）当矩形的边长x为10，y为20时，所截取的矩形面积的最大值为200 【解析】 【分析】（1）在和中，求出矩形边长的关系，进而得到面积的函数关系式； （2）利用二次函数的性质求出面积的最大值. 【小问1详解】 如图所示，，则， 在和中，， ， 矩形面积， 矩形的面积S与其边长的函数关系式为：． 【小问2详解】 由（1）得 ， ， 当时所截取的矩形面积最大，. 当矩形的边长x为10，y为20时，所截取的矩形面积的最大值为200. 24. 已知曲线上动点到两定点与的距离的差的绝对值为2，与曲线有共同焦点的椭圆上一点. （1）求曲线和椭圆的标准方程； （2）若曲线与椭圆相交于、两点，点在曲线的左支上，点在第四象限，求三角形的面积. 【答案】（1）， （2）12或6 【解析】 【分析】（1）根据双曲线、椭圆的定义和标准方程分析求解即可； （2）联立双曲线和椭圆的标准方程求出点的坐标，再结合两点间距离公式、斜率公式、直线的点斜式方程和点到直线的距离公式分情况求解即可. 【小问1详解】 因为曲线上动点到两定点与的距离的差的绝对值为2， 所以曲线是焦点在轴上的双曲线，且， ，即， 又因为，所以曲线的标准方程是 ； 因为曲线与椭圆有共同的焦点，所以， 又点是椭圆的长轴顶点，所以， 因为， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 曲线与椭圆相交于、两点， 即联立方程组解得：， 因为点在曲线的左支上，将代入， 解得：，所以点为或， 将代入，解得，所以点或， 因为点在第四象限，所以点为； ①当点，点时，， 直线的斜率为， 所以直线为，即， 点到直线的距离为， 所以三角形的面积； ②当点，点时，， 得点到直线的距离为， 所以三角形的面积. 综上三角形的面积为12或6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $