精品解析：上海市曹杨中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

2025学年第一学期高一数学期末试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一、填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 已知集合，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的概念计算即可. 【详解】集合，，则. 故答案为： 2. 函数的零点为_____． 【答案】 【解析】 【分析】令，解出的值，即为函数的零点，从而得解. 【详解】令，解得， 故函数的零点为. 故答案为：. 3. 函数的定义域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零和偶次根式被开方数非负求解即可. 【详解】由题意可得，，即且. 故答案为：. 4. 若幂函数为严格增函数，则m的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的单调性求参数值，注意验证. 【详解】由题意，幂函数为严格增函数，则，可得，此时满足题意. 故答案为： 5. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知函数解析式，先计算内层函数，再计算外层函数，从而求解的值． 【详解】时，， ， 时，， ． 故答案为：． 6. 某运动员在某次男子气手枪射击比赛中12次的比赛得分数据单位：环为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第30百分位数为______  . 【答案】 【解析】 【分析】先对数据从小到大排序，再结合百分位数的定义，即可求解． 【详解】数据从小到大排序，，，，，，，，，，，，，共12个， ，故这组数据的第30百分位数为 故答案为： 7. 函数的值域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数值域求解即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 8. 总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体．选取方法是从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为_____． 66 67 70 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86 【答案】20 【解析】 【分析】根据随机数表读法分别读取有效的5个数字即可得出结论. 【详解】依题意从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取， 依次读取两个数字舍去大于50的数且重复的数字只取一次，可得数字为14,05,11,09,20; 所以选出来的第5个个体的编号为20. 故答案为：20 9. 已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 【答案】##0.9375 【解析】 【分析】根据所给条件，利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件与事件互斥，且， 所以， 又因为事件与事件都不发生的概率为， 所以，解得， 所以， 故答案为： 10. 已知，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用奇函数的概念和定义解出的值，代入即可得解. 详解】令， 则由，即可得的定义域为， 因为， 所以是奇函数， 又因为，所以，， 所以， 故答案为： 11. 已知函数，对任意，且，有恒成立，则实数a的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由题设在上严格单调递减，结合二次函数、对数函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由图象的开口向下且对称轴为，且在上单调递减， 由题设上严格单调递减，则，且在定义域上单调递增， 所以，可得. 故答案为： 12. 记表示不超过的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有5对点关于原点对称，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】作出和的图象，根据公共点个数列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】当时，；当时，；当时，；； 作出的部分图象，作出的图象以及和它关于原点对称的函数的图象， 因为的图象上恰有5对点关于原点对称，所以与恰有5个公共点， 所以，解得. 故答案为： 二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分） 13. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C. 14. 从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率. 【详解】从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，包含的基本事件为: ，，，，，，，，，共种， 则两个数都是奇数包含的基本事件为， 所以两个数都是奇数的概率为. 故选：B. 15. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例判断A、B，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D. 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 16. 对于函数，设：对任意的，均有，：对任意的，均有，：函数为偶函数，则（ ）. A. 、中仅是的充分条件 B. 、中仅是的充分条件 C. 、均是的充分条件 D. 、均不是的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义推理判断作答. 【详解】对于 : 对任意的, 均有， 则，因此为偶函数， 对于 ：对任意的，均有， 则，因此是偶函数， 所以、均是的充分条件，ABD错误，C正确. 故选：C. 【点睛】易错点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）或是定义域上的恒等式． 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知，集合. （1）当时，求和； （2）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式即可求解； （2）由集合运算转化为子集关系，再讨论空集和非空子集，来求解参数范围. 【小问1详解】 由，得，解得或， 则或； 由； 当时，，解得. 【小问2详解】 由，得，由， ①当时，得，符合题意； ②当时，若，则， 由，或 可得，此时； 若，则，此时恒成立，故符合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 18. 已知函数． （1）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； （2）若，函数在区间上没有最值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为方程有两个不相等的正数解，结合根与系数的关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意确定函数的对称轴为，若函数在无最值，则对称轴不在区间内，则或，解不等式即可求得. 小问1详解】 由有两个不相等的正数解，即有两个不相等的正数解， 即方程有两个不相等的正数解， 设方程有两个不相等的正数解分别为和， 则满足 ，解得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，由二次函数图像易知 在上单调递减，在上单调递增， 在区间上没有最值， ①或②， 由①解得无解，由②解得， 综上：的取值范围是. 19. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? （3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 【答案】（1） （2） （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 20. 已知函数，． （1）若，求方程的解： （2）若，函数，判断并用定义证明函数的单调性； （3）已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）先计算函数解析式，再结合指数函数单调性解方程即可； （2）直接利用定义法作差计算证明单调性即可； （3）利用指数函数的单调性，将不等式化为在定区间上恒成立，再由对勾函数的单调性计算最值解参数范围即可. 【小问1详解】 由可得，所以， 则方程等价于，即， 所以，由在R上单调递增可知满足题意只有， 所以方程只有一个解； 【小问2详解】 单调递增，证明如下： 若，则， 设，则 ， 因为在R上单调递增，且恒成立可知：，， 则， 即在R上单调递增； 【小问3详解】 易知， 所以不等式等价于， 又，则在R上单调递减，所以等价于， 即在区间上恒成立，两侧同除以得， 设， 由对勾函数的单调性可知在上单调递减，上单调递增， 所以时，，即. 21. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”． （1）证明函数的图像关于点对称； （2）判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； （3）若函数，对任意（其中，），都存在，使得．求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在对称中心为，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据解析式求得可证结论； （2）假设存在对称中心，根据恒成立可求对称中心； （3）把条件转化为，结合恒成立和能成立问题可求答案. 【小问1详解】 证明：，， 因为，所以函数的图像关于点对称. 【小问2详解】 存在对称中心为，理由如下： 假设函数的图像存在对称中心，则对定义域内任何恒成立，即. 整理得 ，即 ， 因为该式对任意恒成立，所以必须有 ，解得 . 所以函数的图像存在对称中心为. 【小问3详解】 由（2）知函数的图像关于对称， 所以等价于，即. 因为任意，所以， 因为对任意，都存在，使得成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高一数学期末试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一、填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 已知集合，，则_____． 2. 函数的零点为_____． 3. 函数的定义域是_____． 4. 若幂函数为严格增函数，则m的值为__________. 5. 已知函数，则________． 6. 某运动员在某次男子气手枪射击比赛中12次的比赛得分数据单位：环为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第30百分位数为______  . 7. 函数值域是_____． 8. 总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体．选取方法是从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为_____． 66 67 70 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86 9. 已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 10. 已知，若，则_____． 11. 已知函数，对任意，且，有恒成立，则实数a取值范围为_________ 12. 记表示不超过的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有5对点关于原点对称，则实数的取值范围是_____． 二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分） 13. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A B. C. D. 14. 从数字2，3，4，5，6中一次性随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 16. 对于函数，设：对任意的，均有，：对任意的，均有，：函数为偶函数，则（ ）. A. 、中仅是的充分条件 B. 、中仅是的充分条件 C. 、均是充分条件 D. 、均不是的充分条件 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知，集合. （1）当时，求和； （2）已知，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； （2）若，函数在区间上没有最值，求取值范围． 19. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? （3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 20. 已知函数，． （1）若，求方程的解： （2）若，函数，判断并用定义证明函数的单调性； （3）已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 21. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”． （1）证明函数的图像关于点对称； （2）判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； （3）若函数，对任意（其中，），都存在，使得．求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $