专项：2025-2026学年 人教版九年级数学上册 智趣寒假作业 之一元二次方程应用

专项：《智趣寒假作业》之一元二次方程应用 目录 题型一、根与系数的关系应用 1 题型二、求最值应用 2 题型三、销售与利润应用 6 题型四、新定义应用 8 题型五、几何应用 11 题型一、根与系数的关系应用 1．已知关于ｘ的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 2．阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，； 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　 　 ，　 　 ； （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值； （3）思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值． 题型二、求最值应用 4．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如分解因式： ． 又例如：求代数式的最小值，因为， 又因为，所以当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：　 　． （2）当x为何值时，多项式有最小值?并求出这个最小值． （3）试说明：无论y取任何实数时，多项式的值总为正数． 5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+4的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值； （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 6．（2024九上·顺德月考）综合与实践：用硬纸板制作无盖纸盒 背景：在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材：配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： 当时，有最大值5． 方案1：甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2：乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形． （1）任务1：在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为______（用含的代数式表示），并判断底面积能否达到． （2）任务2：若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． （3）任务3：求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 7.综合与实践： 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： ∴当时，有最大值5． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形． 任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到． 任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长． 任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． 任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 题型三、销售与利润应用 8．（2024九上·惠城期末）“十一”期间，某花店以每盆20元的价格购进一批花卉、市场调查反映：该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆、若涨价销售，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆． （1）若该花卉每天的销售利润为200元，且销量尽可能大，每盆花卉售价是多少元？ （2）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过6元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？ 9．经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． （1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是　 　吨. （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 10．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． （1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 11．隆回花瑶特产专卖店销售猕猴桃，其进价为40元，已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降0.5元，则平均每天的销售量可增加．若该店销售这种猕猴桃计划平均每天获利2240元． （1）若该店销售这种猕猴桃平均每天获利2240元，求每千克该种特产应降价多少元？ （2）在（1）的条件下平均每天获利不变，若要尽可能让利于顾客，那么该店应按原售价的几折出售？ 12．根据以下素材，探索完成任务. 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件. 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件.按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价. 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件. 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 平衡市场方案 该商品的网上销售价每件 ▲ 元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等 任务3 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 题型四、新定义应用 13．阅读材料：若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）求“快乐方程”的“快乐数”的值； （2）若关于的一元二次方程是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与（m、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 14．（2024九上·南山月考）阅读下面材料： 小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形． 探究方程是否存在常数根． 小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 请回答：　 　． 参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 　 　； （2）正方形的关联方程是，则正方形的面积=　 　． 15．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”.此关系通常被称为“韦达定理”.已知二次函数. （1）若，，且该二次函数的图象过点，求的值； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足. ①求关于的一元二次方程的根的判别式的值； ②若，令，求的最小值. 16．如图1和2，在矩形中，，点在边上．且．点分别在边上，且．点从点出发沿折线匀速运动，点在边上随移动，且始终保持；点从点出发沿匀速运动，点同时出发，点的速度是点的一半，点到达点时停止，点随之停止．设点P移动的路程为x． （1）当点Q与点K重合时，通过计算确定点P的位置； （2）若点P在上，当时，如图2，求x的值； （3）在点P沿折线运动过程中，求点Q，E的距离（用含x的式子表示）； （4）已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，请直接写出点K在线段上（包含端点）的总时长． 题型五、几何应用 17．如图，某旅游景点要在长、宽分别为40m、24m的矩形水池的正中央建立一个与矩形的各边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的 ，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 ，求道路的宽 18．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 19．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为　 　cm，宽为　 　cm； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长. 20．综合实践：如何用最少的材料设计花园? 【情境】如图，小王打算用篱笆围一个长方形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米. 【项目解决】 目标1：确定面积与边长的关系. 当篱笆全部用完，且围成长方形花园ABCD 的面积为32平方米时，求AB 的长. 目标2：探究用最少的材料的方案. 现要围成面积为 平方米的长方形花园，设所用的篱笆为m米. （1）若m=14，能成功围成吗?若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由. （2）若要成功围成，则m的最小值为　 　，此时， 　 　米. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项：《智趣寒假作业》之一元二次方程应用 目录 题型一、根与系数的关系应用 1 题型二、求最值应用 3 题型三、销售与利润应用 9 题型四、新定义应用 13 题型五、几何应用 17 题型一、根与系数的关系应用 1．已知关于ｘ的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为或 2．（2023九上·通榆月考）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，； 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　 　 ，　 　 ； （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值； （3）思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值． 【答案】（1）； （2）解：一元二次方程的两根分别为、， ，． （3）解：实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ． 【解析】【解答】解：（1）因为x1和x2是一元二次方程的两个根， 所以x1+x2=-=，x1x2=-； （2）同理，m+n=，mn=-； ∴=-； （3）因为实数满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0， ∴s与t是方程2x2-3x-1=0的两个实数根； ∴s+t=，st=-， ∴+=-3. 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，求出值即可； （2）根据根与系数的关系，求出结论即可； （3）根据题意可得，s和t是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系，求出结论即可。 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值． 【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根， ∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0， ∴m≥﹣； （2）解：根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2， ∵x12+x22=31+|x1x2|， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|， 即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2， 解得m=2，m=﹣14（舍去）， ∴m=2． 【解析】【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果． 题型二、求最值应用 4．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如分解因式： ． 又例如：求代数式的最小值，因为， 又因为，所以当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：　 　． （2）当x为何值时，多项式有最小值?并求出这个最小值． （3）试说明：无论y取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】（1） （2）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，有最小值， ∴当时，的值最小，最小为； （3）解： ， ∵， ∴， ∴无论y取任何实数时，多项式的值总为正数． 【解析】【解答】解：（1）解： ， 故答案为：； 【分析】（1）根据配方法，结合乘法公式求解。先将配方后，再利用平方差公式分解因式即可； （2）根据配方法，结合完全平方式的非负性求解。仿照题意把变形为，再由可得当时，的值最小，最小为； （3）根据配方法，结合完全平方式的非负性求解。把所给的多项式配方后根据非负数的性质进行解答． 5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+4的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值； （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）解： m2+m+4=（m+ ）2+ ， ∵（m+ ）2≥0， ∴（m+ ）2+ ≥ ， 则m2+m+4的最小值是 ； （2）解：4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5， ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+5≤5， 则4﹣x2+2x的最大值为5； （3）解：由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x， ∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0， ∴﹣2（x﹣5）2+50≤50， ∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5， 则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2 【解析】【分析】（1）先对所给代数式进行配方，结合平方的非负性即可求得所给代数式的最小值；（2）先将代数式的二次项系数化为1，再配方，即可得到一个数减去一个非负数，从而可求得代数式的最大值；（3）根据题意可用x表示出花园的面积，可知其为一个一元二次多项式，先将二次项系数化为1，再进行配方即可求得花园面积的最大值，及此时x的值. 6．（2024九上·顺德月考）综合与实践：用硬纸板制作无盖纸盒 背景：在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材：配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： 当时，有最大值5． 方案1：甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2：乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形． （1）任务1：在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为______（用含的代数式表示），并判断底面积能否达到． （2）任务2：若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． （3）任务3：求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 【答案】（1），底面积能达到 （2）当时，方案1的纸盒体积大；当时，方案1与方案2的纸盒体积一样大；当时，方案2的纸盒体积大 （3）纸盒体积有最大值为 7．综合与实践： 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： ∴当时，有最大值5． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形． 任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为（用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到． 任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长． 任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小． 任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 【答案】解：任务1：根据题意得： 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为， 故答案为：； 令， 解得：(不符合题意，舍去)， 则此时底面积能达到； 任务2：根据题意得：； 任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大； 由任务1可知：方案1的底面积为：； 由任务2可知：方案2的底面积为：； 根据题意知：，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得； 故当时，方案一的纸盒体积大； 当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大； 当时，方案二的纸盒体积大． 任务4：方案二中纸盒的体积为：； 当时，纸盒体积有最大值为． 【解析】【分析】任务1：根据题意可得：=(40-2x)cm，进而表示出底面的面积为：（40=2x)2cm2；然后令（40=2x)2=900，解方程即可得出答案； 任务2：根据题意可得=BC=(40-2x)cm，再根据中间的四边形为正方形即可表示出； 任务3：首先表示出两个方案中纸盒的底面积，然后分三种情况进行比较： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得；故而得出当时，方案一的纸盒体积大；当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；当时，方案二的纸盒体积大； 任务4：首先表示出方案2中纸盒的体积，然后用二次函数最值的方法即可得出答案. 题型三、销售与利润应用 8．（2024九上·惠城期末）“十一”期间，某花店以每盆20元的价格购进一批花卉、市场调查反映：该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆、若涨价销售，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆． （1）若该花卉每天的销售利润为200元，且销量尽可能大，每盆花卉售价是多少元？ （2）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过6元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？ 【答案】（1）解：设该花卉每盆售价是x元，由题意得 （x﹣20）[25﹣（x﹣25）]＝200， 化简得：x2﹣70x+1200＝0， 解得：x1＝30，x2＝40， ∵销量尽可能大， ∴＝30． 答：每盆花卉售价是30元； （2）解：设每盆售价是x元，利润为y元，则有y=（x﹣20）[25﹣（x﹣25）] 整理得， ∵ 每盆花卉涨价不超过6元， ∴x≤31， ∵当x≤35时，y随x的增大而增大，∴x=31时，y最大。此时y=209 ∴ 该花卉一天最大的销售利润是 209元 【解析】【分析】（1）设该花卉每盆售价是x元，则每盆利润为x-20元，销售量为25-(x-25)盆，根据利润为200元列方程进行求解即可。特别要注意的是要求 销量尽可能大， 所以要选择使销售量较大的售价. （2）设每盆售价是x元，利润为y元，列出关系式，根据题意确定x的范围，再根据关系式求出最大值即可. 9．经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． （1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是　 　吨. （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 【答案】（1）60 （2）解：设售价每吨为x元，根据题意列方程为：（x - 100）（45+×7.5）=9000， 化简得x2 - 420x + 44000=0， 解得x1=200，x2=220（舍去）， 因此，将售价定为200元时销量最大。 【解析】【解答】（1）由题意可知月销售量为：45[（260-240）107.5]=60(吨) 【分析】（1）根据题意可得每吨售价每下降10元时、月销售量就会增加7.5吨，再根据每吨售价为260元时、月销售量为45吨，据此列出式子求得当每吨售价是240元时的月销售量； （2）根据（1）可得一元二次方程，解得x的值即可。 10．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． （1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 【答案】（1）解：设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒， 根据题意得： = ， 解得：x=35， 经检验，x=35是原方程的解． 答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒 （2）解：设年增长率为m， 2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）． 根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100， 解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：年增长率为20% 【解析】【分析】（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论． 11．隆回花瑶特产专卖店销售猕猴桃，其进价为40元，已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降0.5元，则平均每天的销售量可增加．若该店销售这种猕猴桃计划平均每天获利2240元． （1）若该店销售这种猕猴桃平均每天获利2240元，求每千克该种特产应降价多少元？ （2）在（1）的条件下平均每天获利不变，若要尽可能让利于顾客，那么该店应按原售价的几折出售？ 【答案】（1）每千克该种特产应降价4元或者6元 （2）该店应按原售价的九折出售 12．根据以下素材，探索完成任务. 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件. 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件.按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价. 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件. 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 平衡市场方案 该商品的网上销售价每件 ▲ 元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等 任务3 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 【答案】解：任务1：网上毛利润为：（元）， 实体店毛利润为：（元）； 任务2：设网上销售单价下降x元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等， 根据题意得： ， 整理得：， 解得：或， 当网上销售单价下降0元或14元时，即售价为60元/件时，或46元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等； 任务3：设网上销售单价下降y元/件， 则网上毛利润为：， 实体店毛利润为：； 总毛利润为：， 根据题意， 解得：，， y=2时，， y=4时，， ∴每件商品的网上销售价是58或56元． 【解析】【分析】任务1：根据毛利润单件毛利润销售数量，计算求解即可； 任务2：设网上销售单价下降x元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等，根据题意得： ，解得：或，进而得到答案； 任务3：设网上销售单价下降y元/件，分别算出网上销售和实体店销售的利润，再使总利润等于8160，进行求解即可． 题型四、新定义应用 13．阅读材料：若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）求“快乐方程”的“快乐数”的值； （2）若关于的一元二次方程是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与（m、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】（1）-4 （2）3， （3）或3 14．（2024九上·南山月考）阅读下面材料： 小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形． 探究方程是否存在常数根． 小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 请回答：　 　． 参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 　 　； （2）正方形的关联方程是，则正方形的面积=　 　． 【答案】阅读下面材料：1（1）（2）36 15．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”.此关系通常被称为“韦达定理”.已知二次函数. （1）若，，且该二次函数的图象过点，求的值； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足. ①求关于的一元二次方程的根的判别式的值； ②若，令，求的最小值. 【答案】（1）解：将，代入得， 将代入得， ，解得： （2）解：①∵ ∴ ∴ ∵抛物线的顶点坐标为： ∴ ∴ ∴ ②∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴b=2 ∴ ∴ ∴， ∴当时，最小=-4. 【解析】【分析】（1）将a=1、b=3代入y=ax2+bx+c中可得y=x2+3x+c，将（1，1）代入就可求出c的值； （2）①根据完全平方公式结合根与系数的关系可得(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=，表示出x2-x1，即AB，根据顶点坐标公式表示出顶点坐标，得到AE，然后根据三角函数的概念进行解答； ②根据①的结论可得x2=，根据平行线分线段成比例的性质可得，代入求解可得b的值，然后表示出c，根据题意可得T，接下来利用二次函数的性质就可得到T的最小值. 16．如图1和2，在矩形中，，点在边上．且．点分别在边上，且．点从点出发沿折线匀速运动，点在边上随移动，且始终保持；点从点出发沿匀速运动，点同时出发，点的速度是点的一半，点到达点时停止，点随之停止．设点P移动的路程为x． （1）当点Q与点K重合时，通过计算确定点P的位置； （2）若点P在上，当时，如图2，求x的值； （3）在点P沿折线运动过程中，求点Q，E的距离（用含x的式子表示）； （4）已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，请直接写出点K在线段上（包含端点）的总时长． 【答案】（1）点P在上与点B相距的位置 （2） （3）当时，；当时，；时，；当时， （4）14秒 题型五、几何应用 17．如图，某旅游景点要在长、宽分别为40m、24m的矩形水池的正中央建立一个与矩形的各边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的 ，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 ，求道路的宽 【答案】解：设道路的宽为x米， 则可列方程： x（24﹣4x）+x（40﹣4x）+16x2＝ ×40×24， 即：x2+8x﹣20＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣10（舍去）． 答：道路的宽为2米． 【解析】【分析】 设道路的宽为x米， 根据道路的宽为正方形的边长的 的 ，可得正方形的边长为4x， 根据道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 ，列出方程，求解并检验即可. 18．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【答案】（1）解：设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45， 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10， 答：AD的长为10m （2）解：设AD=xm， ∴S= x（100﹣x）=﹣ （x﹣50）2+1250， 当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣ a2， 综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣ a2 【解析】【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，根据矩形菜园的面积是450平方米，列出方程，求解并检验即可得出所利用旧墙AD的长； （2）设矩形的面积是S，AD=xm，则AB=（100-x）m，根据矩形的面积公式即可得出矩形的面积S与x之间的函数关系式，再配成顶点式，根据矩形的性质即可得出答案。 19．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为　 　cm，宽为　 　cm； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长. 【答案】（1）26；12 （2）解：设剪去的正方形的边长为， 则纸盒底面长方形的长为（30-2x）cm，宽为（16-2x）cm， ∴可列方程：， 解得， 当时，，所以不符合题意舍去， 答：剪去正方形的边长为3cm； （3）解：设剪去的正方形的边长为. 根据题意可列方程为：， 解得(舍去)，， 答：剪去的正方形的边长为2cm. 【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 纸盒底面长方形的长=30-2-2=26（cm）； 宽=16-2-2=12（cm）； 故答案为：26；12； 【分析】（1）根据题意可得：纸盒底面长方形的长=原长方形的长-2×剪去的正方形的边长，宽=原长方形的宽-2×剪去的正方形的边长，代入计算即可求解； （2）设剪去的正方形的边长为，结合（1）的结论并根据长方形的面积等于长方形的长×宽可列关于x的方程，解方程并检验可求解； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意“ 折成的有盖长方体纸盒的表面积为”可列关于y的方程，解方程求出y的值，根据实际问题检验即可求解. 20．综合实践：如何用最少的材料设计花园? 【情境】如图，小王打算用篱笆围一个长方形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米. 【项目解决】 目标1：确定面积与边长的关系. 当篱笆全部用完，且围成长方形花园ABCD 的面积为32平方米时，求AB 的长. 目标2：探究用最少的材料的方案. 现要围成面积为 平方米的长方形花园，设所用的篱笆为m米. （1）若m=14，能成功围成吗?若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由. （2）若要成功围成，则m的最小值为　 　，此时， 　 　米. 【答案】（1）解：目标1：设AB的长为x米. ∵可用的篱笆总长为20米， ∴BC的长为(20-2x)米. 根据题意，得x(20-2x)=32， 化简、整理，得x2-10x+16=0， 解得x1=2，x2=8. 当x=2时，20-2x=20-2×2=16>10，不符合题意； 当x=8时，20-2x=20-2×8=4<10，符合题意. 答：AB的长为8米. 目标2：(1)不能围成面积为平方米的长方形花园.理由如下： 假设能围成面积为平方米的长方形花园，设AB的长为y米，则BC的长为(14-2y)米. 根据题意，得y(14-2y)=， 化简、整理，得4y2-28y+81=0. ∵b2-4ac=(-28)2-4×4×81=-512<0， ∴原方程没有实数根， ∴不能围成面积为平方米的长方形花园 （2）18； 【解析】【解答】解：(2)设AB的长为a米，则BC的长为(m-2a)米. 根据题意，得a(m-2a)=， 化简、整理，得4a2-2ma+81=0. 由题意，得b2-4ac=(-2m)2-4×4×81≥0， 解得m≥18或m≤-18. ∵m>0，∴m的最小值为18. 当m=18时，原方程为4a2-36a+81=0， 解得a1=a2=. 当a=时，18-2a=18-2×=9<10，符合题意，∴AB=米. 故答案为18，. 【分析】(1)目标1：设AB=x，则BC=20-2x，由此得关于x的一元二次方程，求解方程后再验证知x=8符合题意；目标2：同理设AB=y，得方程4y2-28y+81=0，无实数根即知不能围成平方米的长方形花园； (2)设AB=a，则BC=m-2a，得方程4a2-2ma+81=0，根据判别式b2-4ac≥0，即可得m的最小值，同时可得AB的长. 学科网（北京）股份有限公司 $