1.4.1 余弦定理（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版拓展模块一

1.4.1 余弦定理（第 1 课时） 【学情分析】 学生已经学习了平面几何、解直角三角形、三角函数、向量等知识，这些知识都为学习解三角形提供了保障. 从能力来看，学生具备一定的观察、分析、解决问题的能力，但对前后知识的联系、理解、应用较为欠缺，是他们的薄弱环节. 教学时，需注意循序渐进，慢慢来、多示范、多练习，逐步提升学生的应用能力． 【教学目标】 （1）通过创设情景，引导学生发现并推导余弦定理，应用余弦定理解三角形. ①已知三角形的两边及其夹角，求第三边. ②已知三角形的三边求内角． （2）增强学生的创新意识，提高学生的协作能力、逻辑思维能力和交流能力． （3）带领学生感受数学源于生活，服务于生活． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点是用余弦定理解三角形，教学难点是余弦定理的推导证明． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 导入 【创设情境，提出问题】 1．利用如左下图所示的现代测量工具，可以方便地测出 3 点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角． 2 ．如右下图所示，A ，B 分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点 C，然后使用测量仪得出AC，BC 以及∠ACB 的大小．你能根据这 3 个量求出 AB 吗？ 通 过 实 例 创设情境，激 发学生对本 节课的兴趣， 同时提出数 学问题，导入 新课． 3 ．对于一般的三角形，给定一些元素，那么其他元素与给定元素存在着怎样的数量关系呢？ 4．由三角形的已知元素求未知元素的过程称为解三角形． 新课 【建构模型，推导公式】 下面我们来看， 已知三角形的两边及其夹角，如何求第三边．如图所示，设△ABC 的顶点A 与坐标原点 O 重合，边 AB在 x 轴上，则点 B 的坐标为（c ，0），点 C 的坐标为（bcos A， bsin A）． 根据两点间的距离公式，有 a 2 = (b cosA-c )2 + (bsinA-0 )2 ，化简，得 a 2 =b2 + c2 -2bc . cos A ． 【小组合作，尝试推导】小组合作用类似方法证明： b 2 =a 2 + c2 -2ac . cos B； c2 =a2 + b2 -2ab . cos C. 【总结归纳】 于是我们可以得到如下公式： 我们把以上公式称为余弦定理，即三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 余弦定理还可以表述为： 余弦定理在解三角形中的应用主要有两种情形： 利 用 锐 角 三角函数和 两 点 间 的 距 离公式，推导 出余弦定理， 降低学习难 度． 通 过 小 组 交流合作，推 导出其余两 个公式，提高 学生交流协 作的能力． 总 结 归 纳 余 弦 定理 的 公式及变形， 培养学生从 特殊到一般 的思维能力． 利 用 余 弦 （1） 已知三角形的两边及其夹角，求第三边； （2） 已知三角形的三边求内角． 【练习巩固】 【例 1】 在△ABC 中，已知 a ＝3 ，c = 1 , ∠B ＝60° , 求 b 的值． 解： 由余弦定理，得 b2 =a2 + c2 -2ac . cos B = 32 +12 -2 × 3 × 1 × cos 60° = 7， 所以b = ． 练习 1 求下列三角形中未知的边： （1）a=35 ，b=24 ， ∠C=60° ; （2） a = 3 ，c=2 ， ∠B= 150° . 【例 2】 在△ABC 中，已知 a=1 ，b=1 ， c = ·、 ，求∠C 的值． 解： 由余弦定理，得 ( 1 = - ， ) 2 因为 0°<∠C<180° , 所以∠C= 120° . 定理解三角 形的第一种 情况：已知三 角形的两边 及其夹角，求 第三边． 利 用 余 弦 定理解三角 形的第二种 情况：已知三 角形的三边 求内角． 小结 引导学生小结. 1 ．余弦定理： 2 ．余弦定理在解三角形中的应用主要有两种情形： （1）已知三角形的两边及其夹角，求第三边； （2）已知三角形的三边求内角． 回 顾 学 习的过程，总结本节课的收获． 学科网（北京）股份有限公司 $