第二章 直线和圆的方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 章节复习 坐标法是研究和解决平面几何问题的方法. 在本章中,我们学习了一种新的研究问题的方法—— 坐标法,你知道坐标法是用来研究什么问题的方法吗？ 问题1 进行有关 代数运算 把代数运算的结果 “翻译”成几何结论 第三步： 第二步： 第一步： 建立坐标系，用坐标和方程表示点、距离、斜率，直线、圆等 用坐标法研究和解决平面几何问题的步骤是什么？ 追问1： 几何图形 代数运算 平面直角 坐标系 点 数 曲线 方程 追问2：你知道坐标法的作用是什么吗？ 追问3：它们是怎么联系的呢？ 坐标法 在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素？ 问题2 直线 两个点 倾斜角 斜率 向量 一个点 方向 追问1：直线的倾斜程度、倾斜角、斜率三者之间有什么关系？如何用直线上两点的坐标表示这条直线的斜率？ 平行 垂直 直线 两个点 倾斜角 斜率 向量 一个点 方向 在直角坐标系中,如何探索确定直线位置的几何要素? 问题2 直线的方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 二元一次方程 追问3：有人说直线方程的其他形式都是点斜式方程的“推论”，对此你有什么看法？ 点斜式 y-y0=k(x-x0) 不能表示垂直于x轴的直线 斜截式 y=kx+b 不能表示垂直于x轴的直线 两点式 不能表示垂直于坐标轴 的直线 截距式 不能表示垂直于坐标轴 或过原点的直线 追问4：指出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程中字母系数的几何意义，以及直线方程的特点. 一般来说，如果已知直线上一个点的坐标，我们可以用点斜式来表示直线方程. 追问5：你考虑过上述方程什么时候使用最合适吗？ 如果已知横纵截距有关系，可以用截距式来表示直线方程. 如果单独已知斜率，或纵截距，或者只知道是一条直线，可以用斜截式来表示直线方程. 而在后面的学习中，我们知道，求距离的时候，我们需要用到一般式. 直线与直线 相交 垂直 平行 倾斜角之间的关系 斜率之间 的关系 用直线方程研究几何问题 两条平行线间距离 交点坐标 点到直线的距离 直线与直线 相交 平行 倾斜角之间的关系 斜率之间 的关系 垂直 用直线方程研究几何问题 基础达标 1.下列关于直线的倾斜角与斜率的关系中，正确的是（ ） A.任意直线都有倾斜角，也有斜率. B.直线的倾斜角越大,它的斜率也越大. C.平行于x轴的直线的倾斜角为0或180° D.直线斜率的取值范围是R 2.已知直线的倾斜角为30°,求直线的斜率. 3.已知直线的斜率为-1,求直线的倾斜角. 直线的斜率与截距 斜率k= 在x轴上的截距= 在y轴上的截距= (1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在,求实数m的值,并求出此时的 直线方程； (3)若方程表示的直线在轴上的截距为-3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值． 5.直线y=ax+b与y=bx+a在同一坐标系中的图形可能是？ A B C D 1.根据下列条件,分别写出直线的方程： (1)过点P(1,5),且在y轴上的截距为6； (2)过点P(-3,4),且在x轴上的截距为3． 重点题型一：求直线方程 2.已知DABC三个顶点是A(4,4)B(-4,0)C(2,0). (1)求AB边中线CD所在直线方程; (2)求AB边上的高线所在方程. 一般来说,如果已知直线上一个点的坐标,我们可以用点斜式来表示直线方程. 如果已知横纵截距有关系,可以用截距式来表示直线方程. 如果单独已知斜率,或纵截距,或者只知道是一条直线,可以用斜截式来表示直线方程. 而在后面的学习中,我们知道,求距离的时候,我们需要用到一般式,如无特殊要求,结果化成一般式. 求直线方程的解题思路： 1.已知两条直线l1:(m-2)x-y-3=0,l2:3x-my-m2=0,m为何值时,l1与l2： (1)垂直；(2)平行 重点题型二：两直线的位置关系 2.两平行直线l1,l2分别过点A(1,0),B(0，5). (1)l1与l2之间的距离为5,求两直线方程； (2)若l1与l2之间的距离为d,求d的取值范围 O y x 定义：直线l:Ax+By+C=0的方向向量为 则直线l:Bx-Ay+C=0的方向向量为 1.直线的方向向量 2.平行直线系 3.垂直直线系 4.两直线的交点与距离问题 2.已知DABC三个顶点是A(4,4)B(-4,0)C(2,0). (1)求DABC的重心坐标; (2)DABC的面积. 5.相交直线系 (不包括l2) 例 已知直线l过定点P(-2,1),且与以A(2,-2),B(3,4)为端点的线段有交点，求直线l的斜率k的取值范围. O x y P(-2,1) A(2,-2) B(3,4) 已知直线l过定点P(2,1),且与以A(-2,-2),B(3,4)为端点的线段有交点，求直线l的斜率k的取值范围. O x y P(2,1) A(-2,-2) B(3,4) 【类题通法】具有某种共同属性的一类直线的集合,我们称之为直线系，这一属性可通过直线系方程体现出来,它们的变化存在于参数之中,常见的直线系有： (1)过已知点P(x0,y0)的直线系y-y0＝k(x-x0)(k为参数)． (2)斜率为k的平行直线系方程y＝kx＋b(b为参数)． (3)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，λ≠C)． (4)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)． (5)过直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0与l2:A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程 l1:A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 6.和直线有关的对称问题 x+2y-1=0 O y x A C A1 B P(1,2) Q ? 过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点． (1)当|OA|•|OB|取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程； (2)当|OA|+|OB|取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程 (3)当|PA|•|PB|取最小值时，求出最小值及直线的方程． O y x P(2,1) A B 解：(1)设所求直线方程为 因为点P(2,1)在直线l上, 即 a+2b=ab(a>0,b>0) 两边平方，整理得 当且仅当a=2b时,“=”成立. 即 a=4,b=2 |OA|•|OB|min=8 此时直线方程为 重点题型三：和直线有关的最值问题 (2)设所求直线方程为 O y x P(2,1) A B 因为点P(2,1)在直线l上, |OA|+|OB|=a+b 所求直线方程为 (3)设所求直线的倾斜角为q,则k=tanq (90°< q <180°) O y x P(2,1) A B 此时所求直线的方程为： x+y-3=0 (1)形如(x-a)2＋(y－b)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的 距离的平方的最值问题． 最值问题的解题思路： (3)形如l＝ax＋by形式的最值问题,可转化为动直线ax+by=l的 截距的最值问题． 的动直线斜率的最值问题. 本章还学了另一种特殊曲线——圆，那么我们是怎么利用坐标法来研究圆的呢？ 问题3 标准方程 圆心 圆的定义 半径 圆心O(a,b) 半径 r 追问：圆的方程有几种，你能说出它们各自的特点吗？ 标准方程 一般方程 圆心(a,b) 半径 r 在这一章，我们都学习了哪些位置关系呢？ 问题4 位置关系 直线与直线 直线与圆 圆与圆 追问1：直线和直线的位置关系有几种？研究了哪些内容？ 直线与直线 相交 垂直 平行 倾斜角之间的关系 倾斜角相等 倾斜角不相等 追问1：直线和直线的位置关系有几种？研究了哪些内容？ 直线与直线 相交 垂直 平行 倾斜角之间的关系 斜率之间 的关系 两条平行线间距离 交点坐标 点到直线的距离 直线与直线 相交 平行 倾斜角之间的关系 斜率之间 的关系 追问1：直线和直线的位置关系有几种？研究了哪些内容？ 垂直 追问2：直线和圆的位置关系有几种？如何判断呢？ 直线与圆 相切 相交 相离 直线与圆的交点个数 方程组的解的个数 圆心到直线的距离 追问3：圆与圆的位置关系从几何和代数的角度是如何判断的？如何判断比较便捷？ 圆与圆 相交 内切 外切 外离 内含 交点个数 方程组的解的个数 两圆圆心距与半径和、半径差的绝对值的比较 位置关系 直线与直线 直线与圆 圆与圆 几何图形 代数运算 重点题型一：求圆的方程 1.经过点C(-1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上； 2.经过直线x+3y-9=0与3x-2y+6=0的交点，圆心为点C(-1,1)； 3.经过M(1,-4)和N(3,-2)两点，且圆心在直线y=3x-5上； 4.经过E(0,1),F(-3,2),G(1,4)三点的圆的方程. 例 求满足下列条件的圆方程. 6.过点(4,1)的圆与直线x-y-1=0相切于点(2,1),求圆的标准方程． 5.已知圆C与圆x2+y2-2x＝0相外切,且与直线x+3y＝0相切于点Q(3,-3),求圆C的方程. 7.若直线l经过点 ,且被圆x2+y2=25截得的弦长为8,求直线l方程. 利用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： 第一步：选择圆的方程的某一形式； 第二步：由题意得a,b,r(或D,E,F)的方程(组)； 第三步：解出a,b,r(或D,E,F)； 第四步：代入圆的方程． 【类型题通法】 注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等． 1.圆心(1,-2),半径为2的圆的方程是; 2.圆心在x轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程; 3.过点A(1,1),B(-3,5),且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的方程; 5.若圆的半径为1,其圆心与点(1,3)关于直线x+y-2=0对称，求圆的标准方程； 4.经过经过E(0,1),F(-3,2),G(1,4)三点的圆的方程 练习 重点题型二：直线与圆,圆与圆的位置关系 例1 若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点，求m的取值范围. 例2 已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8＝0和圆C2：x2+y2-4x-4y-2＝0,试判断两圆的位置关系. 1.位置关系判断 2.切线和切线长问题 O 过圆上一点作切线 P(x0 ,y0) 切线方程解法: 过圆外一点作切线 切线方程解法: 用d=r解k r Q d = r O P(x0 ,y0) 1.过点P(1, )作圆C:(x-2)2+y2=4的切线l，求切线l的方程. 2.过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线，求此切线方程及切线长. 4.圆心在直线y=2x+1上,且与直线x+y-1=0切于点(2,-1);求圆的标准方程． 3.过点(4,1)的圆与直线x-y-1=0相切于点(2,1),求圆的标准方程． 5.圆心在直线3x-2y-6=0上，且与两坐标轴都相切求圆的标准方程． 6.已知圆C与圆x2+y2-2x＝0相外切,且与直线x+3y＝0相切于点Q(3,-3),求圆C的方程. 一、求切线的方程 2、几何法 若点在圆外,用 d=r 解k ( 必有两条) 若点在圆上，用垂直解k.(只有一条) 二、切线长问题.(转点到圆心的距离) 1、代数法 【类型题通法】 3.弦长问题 最长弦：直径 最短弦：与OP垂直的弦 d r A B |AB|= O P r O 定直线与圆相交 旋转直线与圆相交 平行直线与圆相交 ? d < r 例2 若直线l经过点 ,且被圆x2+y2=25截得的弦长为8,求直线l方程. 例1 已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0判断直线l与圆C的位置关系;如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 例3 圆心为C(2,-1),截直线y=x-1所得的弦长为 ,求圆C的方程。 1.若过点P(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,则最短弦长为 2.半径为10,圆心在直线y＝2x上,圆被直线x-y＝0截得的弦长为4,求圆的方程. A B C r d 弦长公式 由弦长公式知：弦长、圆心距，半径,知二求一. 所以相交弦问题有以下题型： 1、已知圆和直线的方程求弦长； 2、已知圆的方程和弦长，求直线方程; 3、已知直线方程和弦长，求圆的方程. 4、最短弦长，过中点的弦 求切线问题的本质就是寻找切线的斜率k. 【类型题通法】 4．已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=4上运动. 求2x+y的取值范围; 重点题型三：与圆有关的最值问题 1．已知实数x,y满足x2+y2+4x+3=0,求(x-1)2+(y-4)2的最大值为. 2．若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于直线y=x-1对称，求圆的方程。 3．已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3). (1)若P(a,a+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)求MQ的最大值和最小值； (1)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离,然 后利用数形结合确定距离的最值． (2)圆上动点到定直线距离的最值可以先计算圆心到直线的距离, 然后利用数形结合确定距离的最值． 【类题通法】 $