2.3.1向量的数乘运算（教学课件）高一数学北师大版必修第二册

§3从速度的倍数到向量的数乘 3.1 向量的数乘运算 第二章 平面向量及其应用 学 习 目 标 1 2 3 掌握向量数乘的定义并理解其几何意义。（重点） 理解向量数乘的运算律。（重点） 了解向量线性运算的性质及其几何意义。（难点） 情景1： 在疾风暴雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电， 后听到雷声？ 这是因为光速远远大于声速，经测量光速大小约为声速的8.8×倍. 速度的大小有倍数关系 情景导入 情景2： 一重物由高空自由落下，根据自由落体运动的速度公式 可知，它在1末和2末的速度大小分别为=9.8m⁄s和=19.6m⁄s， 显然，并且方向都是竖直向下的. 以上实例说明在实际中存在着这样的两个向量，它们是共线的， 而且大小之间具有倍数关系. ————实数与向量的数乘运算及向量模长的倍数关系. 情景导入 读教材 阅读课本P92-P94，2分钟后完成下列问题： 1.什么是向量的数乘？其结果还是向量吗？ 2.向量的数乘的几何意义是什么？ 3.向量的数乘运算的运算律有哪些？ 4.向量的线性运算包括向量的哪些运算？ 单击此处添加备注 5 1.向量的数乘的概念： 实数与向量的乘积是一个向量，记作，满足以下条件: (1)当时，向量与向量的方向相同； 当时，向量与向量的方向相反; 当时，，方向任意. (2)， 这种运算称为向量的数乘. 探索新知 一、数乘运算的定义 2.向量的数乘的几何意义： 如图，由实数与向量数乘的定义可以看出，它的几何意义是: 当时：表示向量的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的倍; 当时：表示向量的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的倍. 探索新知 一、数乘运算的定义 伸长 缩短 3.单位向量 在非零向量方向上的单位向量是，这个过程称为向量的单位化， 一个非零向量的单位向量是. 探索新知 一、数乘运算的定义 例：若||=5，与的方向相反，且||=7，则= 概念理解 2 已知点在线段上，且，则 等于( ). D A. B. C. D. 1 已知 ，则下列结论正确的是( ). C A. B. C. D.非零向量方向上的单位向量是 解析：当时，不成立，A错误；是一个非负实数， 而 是一个向量，B错误；非零向量方向上的单位向量是 ，D错误． A B C 思考： 我们熟知，数的乘法满足分配律和交换律，即对任意有 那么，向量的乘法运算满足哪些运算律呢？ 探索新知 二、数乘运算的运算律 探索新知 二、数乘运算的运算律 探究一： 探究二： = = 1.数乘运算的运算律： 设为实数，为向量，那么根据向量的数乘定义，可以得到以下 运算律: (1)； (2)； (3). 2.向量的线性运算： 向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合). 若一个向量由向量的线性运算得到，如 ，则称向量可以用向量线性表示. 探索新知 二、数乘运算的运算律 结合律 分配律 分配律 解：(1)依题得：； (2)依题得： ； (3)依题得： . 例1 设为向量，计算下列格式， (1); (2); (3) . 典例讲解 方法总结 向量线性运算的基本方法是类比法.向量的数乘运算类似于代数多项 式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式 等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因 式”是指向量，实数看作是向量的系数． 典例讲解 提分笔记 化简: （1） （2） = 解：原式可变形为 ， 即， 即. 例2 设是未知向量，解方程； 典例讲解 向量方程类比代数方程，可利用解代数方程的方法求解.在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 分析 典例讲解 已知向量为，，未知向量为，，向量，，，满足关系式 ，，求向量， ． 解: 已知 由，得 ， 代入①得，所以 ． 故， ． 基础巩固题 解：因为点为边的中点，所以， 又， 所以，也就是， 即， 所以. 即向量与共线且方向相同， 长度是向量长度的倍. 例3 如图，已知点是△ABC所在平面内一点，点为边的中点，且 ，说明向量与的关系. 典例讲解 变 式 训 练 典例讲解 已知的三边，，的中点分别是，，，则 ( ). C A. B. C. D. 解： 如图， 的三边，，的中点分别是，， , . 课堂检测 1. ( ). B A. B. C. D. 2.在四边形中，，则 ( ). B A. B. C. D. 3.若是所在平面内的一点，满足，则 ( ). C A. B.4 C. D.3 4.如图所示，在四边形中，，分别是，的中点，已知 ， ，，试用，，表示， ． 解: , ． 课堂检测 $