第1部分 第4讲 力与曲线运动(二)-【金版教程】2026年高考物理大二轮专题复习冲刺方案课件PPT

第一部分　专题强化复习 专题一　力与运动 第4讲　力与曲线运动(二) 知识框架 学习目标 1.会分析常见的圆周运动的向心力来源，并会处理圆周运动问题。 2.会分析天体的运动规律，并会分析人造卫星的发射问题、变轨问题，能利用相关规律求解中心天体的质量和密度等。 2 目录 1 2 专题作业 课时检测Ⅰ 考点 高考风向标 3 课时检测Ⅱ 4 考点 考点1　圆周运动 考点 5 例1　(2025·广东卷，8)(多选)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有(　　) A．角速度为5 rad/s B．线速度大小为4 m/s C．向心加速度大小为10 m/s2 D．所受支持力大小为1 N 考点 6 考点 7 考点 8 考点 9 竖直面内的圆周运动，可能是轻绳模型、轻杆模型，还可能是拱桥模型，甚至是物体做匀速圆周运动等。 (1)解题思路：首先应明确是否为特殊模型，若是则可以结合模型特点分析，若不是则要结合受力和基本的圆周运动知识分析。 (2)一般情景(非最高点或最低点的情景)：一定要沿半径方向和垂直半径方向分解受力，结合动力学知识分析。 考点 10 例3　(2025·江西省宜春市高三下二模)如图，水平圆盘上沿直径方向放着用轻绳相连可视为质点的物体A和B，此时绳子恰好伸直但未有弹力。A的质量为5m，B的质量为m。它们分居圆心两侧，到圆心的距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若转盘从静止开始缓慢加速转动，在A、B滑动前轻绳未断，则(　　) A．A的摩擦力先增大后减小，再增大 B．A的摩擦力一直增大 C．B的摩擦力先增大，后保持不变 D．B的摩擦力先增大后不变，再减小，再反向增大 考点 11 考点 12 (1)圆周运动的连接体问题：一般只能用隔离法，注意分析每个物体的受力时不要漏力，不要弄错力的方向。 (2)圆周运动的临界问题：临界条件与直线运动的相同；在本题中需要注意有两个临界点。 考点 13 考点2　万有引力与航天 考点 14 考点 15 考点 16 考点 17 求解中心天体的质量和密度的两条思路 考点 18 考点 19 考点 20 考点 21 例6　(2025·福建省龙岩市高三下教学质量检测)(多选)神舟十九号载人飞船于2024年10月30日成功发射，经过10分钟左右成功进入预定轨道。如图所示。飞船进入预定轨道之前在近地圆轨道1的P点点火加速进入椭圆轨道2，在远地点Q点再次点火加速进入圆轨道3。若飞船在1、2轨道的P点和2、3轨道的Q点速度分别为v1P、v2P和v2Q、v3Q，向心加速度分别为a1P、a2P和a2Q、a3Q，机械能分别为E1P、E2P和E2Q、E3Q，飞船在1、2和3轨道的周期分别为T1、T2和T3。对于以上物理量的大小关系，下列选项正确的是(　　) A．v2P>v1P>v3Q>v2Q B．a1P>a2P>a2Q>a3Q C．E1P<E2P<E2Q<E3Q D．T1<T2<T3 考点 22 考点 23 考点 24 考点 25 考点 26 双星系和多星系问题的解题步骤 (1)确定星球受几个万有引力，所受万有引力的合力充当向心力。 (2)清楚天体之间的引力距离，确定天体运动的轨道半径。 (3)求出天体之间的万有引力，列出牛顿第二定律方程，进行计算。 考点 27 高考风向标 高考风向标 29 2．(2025·黑龙江省大庆市大庆中学高三下第三次模拟) (多选)2021年3月15日13时29分，嫦娥五号轨道器在地面飞控 人员精确控制下成功被日地—拉格朗日L1点捕获，这也是我 国首颗进入日地L1点探测轨道的航天器。日地L1点位于太阳 与地球的连线之间，这是地球与太阳之间的引力“动平衡点”。 理想状态的“日地—拉格朗日点”是指在太阳和地球对人造卫星引力作用下(忽略其他星体引力)，使人造卫星围绕太阳运行的周期与地球围绕太阳运行的周期相同的点。其中两个“日地—拉格朗日点”L1和L2在日地连线上，L1在地球轨道内侧，L2在地球轨道外侧，如图所示，下列说法中正确的是(　　) 高考风向标 30 解析：在“日地—拉格朗日点”，人造卫星围绕太阳运行的周期与地球公转的周期相同，则角速度相同，根据v＝ωr可知，人造卫星在L1处绕太阳运动的线速度小于地球公转的线速度，根据a＝ω2r可知，人造卫星在L1处绕太阳运动的加速度小于地球公转的加速度，A、C正确，B错误；人造卫星在L1处的运转半径小于L2处，根据F＝mω2r可知，同一人造卫星所受太阳和地球万有引力的合力在L1处小于在L2处，D错误。　 A．人造卫星在L1处绕太阳运动的线速度小于地球公转的线速度 B．人造卫星在L1处绕太阳运动的角速度大于地球公转的角速度 C．人造卫星在L1处绕太阳运动的加速度小于地球公转的加速度 D．同一人造卫星所受太阳和地球万有引力的合力在L1处大于在L2处 高考风向标 31 高考风向标 32 高考风向标 33 高考风向标 34 专题作业 课时检测Ⅰ 1．(2025·黑龙江省哈尔滨第三中学高三下第二次模拟)某同学在观看了“天宫课堂”后，设计了一种可以在完全失重状态下测量物体质量的装置，在不可伸长的轻绳的一端A点连接待测物体，另一端B点固定质量为50.0 g的标准砝码，两物体均可视为质点，令整个装置在无外力作用下绕绳上某一点做匀速圆周运动，通过观察圆心在绳上的位置确定待测物体质量。为了方便读数，该同学将绳子十等分，若某次测量中装置绕着b点转动，则待测物体质量为(　　) A．10.0 g B．12.5 g C．200.0 g D．250.0 g 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 2．(2024·江苏卷，8)如图所示为生产陶瓷的工作台，台面上掉有陶屑与工作台一起绕OO′匀速转动，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面足够大)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则(　　) A．越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B．越靠近台面边缘的陶屑质量越小 C．陶屑只能分布在工作台边缘 D．陶屑只能分布在某一半径的圆内 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 3．(2025·云南卷，5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　) A.金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间 C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 5．(2025·福建省宁德市高三下质量检测)(多选)如图甲所示为某人造卫星绕地球运动，所受地球引力随时间变化如图乙所示，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是(　　) A．卫星的周期为2t1 B．卫星绕地球运行时机械能守恒 C．卫星在近地点与远地点的速度之比为4∶1 D．卫星在近地点与远地点的加速度之比为4∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 8．(2025·山东卷，10)(多选)如图所示，在无人机的某次 定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心、 半径R1＝5 m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高 度H＝20 m的空中绕O′点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆 周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B＝90°。若物品相对 无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机 做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 10．(2024·湖北卷，4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　) A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 解析：空间站变轨前、后在P点所受到的万有引力相同， 即其所受到的合力相同，根据牛顿第二定律可知，空间站变 轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为空间站变轨后 其轨道的半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知， 空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；空间站 在P点沿背离地球球心方向极短时间喷射气体，使空间站获得指向地球球心方向的反冲速度，根据平行四边形定则，空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大，故C错误；由开普勒第二定律可知，空间站变轨后在P点的速度比变轨后在近地点的小，结合C项分析可知，空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 课时检测Ⅰ 专题作业 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ A．容器壁对硬币的支持力充当了硬币做匀速圆周运动的向心力 B．硬币在A点做匀速圆周运动的向心加速度大于在B点做匀速圆周运动的向心加速度 C．硬币在A点做匀速圆周运动的周期小于在B点做匀速圆周运动的周期 D．硬币做匀速圆周运动在A、B两点的动能之比为5∶6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课时检测Ⅱ 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R 圆周运动的动力学公式 沿半径方向：Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝man。 垂直半径方向：Ft＝0(匀速圆周运动)或Ft＝mat(变速圆周运动)。 解析　对小球受力分析如图所示，有Fn＝mgtanθ＝mω2R，解得ω＝5 rad/s，故A正确；线速度大小为v＝ωR＝2 m/s，故B错误；向心加速度大小为an＝ω2R＝10 m/s2，故C正确；所受支持力大小为FN＝eq \f(mg,cosθ)＝eq \r(2) N，故D错误。 例2　(2025·辽宁省名校联盟高三下三模)如图所示，有一质量为m的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大于小球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C为管道的最高点和最低点，B为管道上与圆心等高的点，D为管道上的一点，且D与圆心连线和水平方向的夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．若小球在A点的速度大小为eq \r(gR)，则外侧管壁对小球有作用力 B．若小球在B点的速度大小为eq \r(gR)，则内侧管壁对小球有作用力 C．若小球在C点的速度大小为eq \r(gR)，则管道的内外壁对小球均无作用力 D．若小球在D点的速度大小为eq \r(gR)，则外侧管壁对小球有作用力 解析　当小球的速度大小为v＝eq \r(gR)时，小球受到的向心力大小为F＝eq \f(mv2,R)＝mg，方向指向圆心，由重力指向圆心的分力和管壁对小球的作用力共同提供。若小球在A点的速度大小为eq \r(gR)，则小球在A点只受重力，管壁对小球无作用力，故A错误；若小球在A点以外的位置速度大小为eq \r(gR)，则小球受到的重力指向圆心的分力均不足以提供所需的向心力，外侧管壁对小球有作用力，故B、C错误，D正确。 解析　以指向圆心的方向为正方向，设轻绳的拉力为 T，A、B受到的静摩擦力分别为fA和fB，其中－5μmg≤fA ≤5μmg，－μmg≤fB≤μmg，根据牛顿第二定律，对A有 fA＋T＝5mω2r，对B有fB＋T＝mω2·2r。当T＝0时，fA和 fB均随ω的增大而增大；因为B到圆心距离更远，且A、B与盘间的动摩擦因数相同，故B先达到最大静摩擦力，此时的角速度为ω1＝eq \r(\f(\a\vs4\al(μg),2r))；ω＞ω1时，B受到的静摩擦力保持在μmg不变，T＝2mω2r－μmg，fA＝5mω2r－T＝3mω2r＋μmg，可知A受到的摩擦力随ω的增大而增大；当A达到最大静摩擦力时有5μmg＝3mωeq \o\al(2,2)r＋μmg，解得ω2＝2eq \r(\f(\a\vs4\al(μg),3r))；ω＞ω2时，A受到的摩擦力保持在5μmg不变，T＝5mω2r－5μmg，fB＝2mω2r－T＝5μmg－3mω2r，fB从μmg减小到0后反向增大至－μmg，之后A、B滑动。综上所述，A、B、C错误，D正确。 1．重力与万有引力的关系 场景 关键公式 赤道地表 mg赤＝Geq \f(Mm,R2)－mω2R 两极地表 mg极＝Geq \f(Mm,R2) 距地表高度h mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2) 2.几个重要公式 (1)开普勒第三定律：eq \f(a3,T2)＝k(圆或椭圆)。 (2)万有引力提供向心力：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝man(圆周运动)。 (3)地表物体(忽略自转)：Geq \f(Mm,R2)＝mg→黄金代换：GM＝gR2。 3．三个综合问题：追及相遇问题；变轨问题；双星及多星问题。 例4　(2025·北京市朝阳区高三下一模)如图，若质量为m的“祝融号”火星车悬停在火星表面上方，受到竖直向上的升力F，已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转，则下列说法正确的是(　　) A．火星表面的重力加速度大小为eq \f(G,m) B．火星的第一宇宙速度大小为eq \r(\f(FR,m)) C．火星的质量为eq \f(Fm,GR2) D．火星的密度为eq \f(4F,3GπmR2) 解析　对悬停在火星表面上方的火星车，根据平衡条件得F＝mg，解得火星表面的重力加速度大小为g＝eq \f(F,m)，A错误；对环绕火星表面运动的物体，根据牛顿第二定律得m′g＝m′eq \f(v2,R)，解得火星的第一宇宙速度大小为v＝eq \r(\f(FR,m))，B正确；根据黄金代换GM＝gR2，解得火星的质量M＝eq \f(FR2,Gm)，C错误；根据密度公式得M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，解得火星的密度ρ＝eq \f(3F,4GπmR)，D错误。 例5　(2025·四川卷，6)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为(　　) A．eq \r(3,\f(GMT2,36π2)) B．eq \r(3,\f(GMT2,16π2)) C．eq \r(3,\f(GMT2,4π2)) D．eq \r(3,\f(9GMT2,4π2)) 解析　设卫星转动的周期为T′，卫星在观测站正上方时信号强度最大，可得eq \f(2π,T′)·eq \f(T,2)－eq \f(2π,T)·eq \f(T,2)＝2π，解得T′＝eq \f(T,3)，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T′2)r，可得卫星的轨道半径r＝eq \r(3,\f(GMT2,36π2))，故选A。 追及相遇问题 (1)相距最近：两同心转动的天体(rA＜rB)同向转动，当两天体位于同一直径上且在圆心的同侧时相距最近，从相距最近到再次相距最近，两天体的运动关系满足(ωA－ωB)t＝2π或eq \f(t,TA)－eq \f(t,TB)＝1。 (2)相距最远：两同心转动的天体(rA＜rB)同向转动，当两天体位于同一直径上且在圆心的异侧时相距最远，从相距最近到第一次相距最远，两天体的运动关系满足(ωA－ωB)t′＝π或eq \f(t′,TA)－eq \f(t′,TB)＝eq \f(1,2)。 解析　设地球的质量为M，飞船的质量为m，对于在圆 轨道上运行的飞船，由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)， 解得v＝eq \r(\f(GM,r))，则v1P>v3Q，飞船在P、Q点两次加速，有 v2P>v1P，v3Q>v2Q，则v2P>v1P>v3Q>v2Q，故A正确；飞船在P、 Q点的运动方向均与万有引力方向垂直，由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝ma，则a1P＝a2P>a2Q＝a3Q，故B错误；在同一轨道上飞船的机械能守恒，则E2P＝E2Q，飞船在P、Q两点加速，有E1P<E2P，E2Q<E3Q，则E1P<E2P＝E2Q<E3Q，故C错误；由开普勒第三定律有k＝eq \f(a3,T2)，即轨道半径或半长轴越大，周期越长，则T1<T2<T3，故D正确。 航天器变轨问题 (1)比较加速度：根据万有引力定律和牛顿第二定律得出a＝eq \f(GM,r2)，可知加速度由所在位置与中心天体的距离决定。(注意加速度与向心加速度的区别，当速度与加速度垂直时，加速度即为向心加速度) (2)比较速度：在圆周轨道上根据v＝eq \r(\f(GM,r))比较，在同一椭圆轨道上根据开普勒第二定律比较，在变轨处根据离心运动和近心运动的知识(或速度变大则轨道离中心天体变远、速度变小则轨道离中心天体变近)比较。 (3)比较机械能：根据变轨时的速度变化和同一轨道上机械能不变，可知轨道离中心天体越远则机械能越大。 (4)比较周期：根据T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))(只适用于圆轨道)或开普勒第三定律比较。 例7　(2025·天津市南开区高三下一模)“二月二，龙抬头”是中国民间传统节日。每岁仲春卯月之初，“龙角星”犹从东方地平线上升起，故称“龙抬头”。0点后朝东北方天空看去，有两颗星“角宿一”和“角宿二”，就是龙角星。该龙角星可视为双星系统，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。若“角宿一”的质量为m1、“角宿二”的质量为m2，它们中心之间的距离为L，公转周期为T，万有引力常量G。忽略自转的影响，则下列说法正确的是(　　) A．“角宿一”的轨道半径为eq \f(m2,m1＋m2)L B．“角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为m1∶m2 C．“角宿一”和“角宿二”的线速度之比为m1∶m2 D．“角宿一”和“角宿二”做圆周运动的向心力之比为m1∶m2 解析　“角宿一”和“角宿二”可视为双星系统，角速度、周期相同，且彼此间的万有引力提供其向心力，由牛顿第三定律可知，“角宿一”和“角宿二”做圆周运动的向心力之比为1∶1，D错误；设万有引力的大小为F，角速度为ω，“角宿一”和“角宿二”的轨道半径分别为r1和r2，向心加速度分别为a1和a2，线速度分别为v1和v2，由牛顿第二定律，分别有F＝m1ω2r1＝m12,1)eq \f(v,r1) ＝m1a1，F＝m2ω2r2＝m22,2)eq \f(v,r2) ＝m2a2，又L＝r1＋r2，联立解得r1＝eq \f(m2,m1＋m2)L，eq \f(a1,a2)＝eq \f(m2,m1)，eq \f(v1,v2)＝eq \f(m2,m1)，故A正确，B、C错误。 1．(2025·山东卷，4)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为eq \f(1,50) s。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径eq \f(1,5)的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为(　　) A．11 N B．9 N C．7 N D．5 N 解析：根据题意可知，小球经过最低点的速率约为v＝eq \f(\f(1,5)R,t)＝eq \f(\f(1,5)×0.6 m,\f(1,50) s)＝6 m/s，在最低点对小球由牛顿第二定律有F－mg＝meq \f(v2,R)，重力加速度g取10 m/s2，解得小球在最低点时细线的拉力约为F＝7 N，C正确。 易错点拨　“拉格朗日点”问题是一种典型问题，应注意位于拉格朗日点上的航天器不是仅受中心天体的万有引力，而是受系统中两个天体的万有引力，不能应用Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r进行分析计算。例如本题中位于“日地—拉格朗日点”的人造卫星受太阳和地球的万有引力，与地球以相同的角速度绕太阳运动；但对于地球而言，所受太阳的万有引力远大于所受人造卫星的万有引力，仍满足Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r。 3．(2025·湖南卷，4)我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到R＝eq \f(a\s\up6(\f(2,3)),b\s\up6(\f(2,3))－a\s\up6(\f(2,3)))h，M＝eq \f(4π2R3,Gc2)。下列选项正确的是(　　) A．a为T1，b为T0，c为T1 B．a为T1，b为T0，c为T0 C．a为T0，b为T1，c为T1 D．a为T0，b为T1，c为T0 解析：卫星分别在小行星的同步轨道和表面附近做圆周运动时，由开普勒第三定律有2,0)eq \f(（R＋h）3,T) ＝2,1)eq \f(R3,T) ，解得R＝f(2,3))eq \f(T,1) ,Tf(2,3))eq \o\al(,0) －Tf(2,3))eq \o\al(,1) ) h，则a为T1，b为T0；设卫星的质量为m，卫星在小行星表面附近做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力有eq \f(GMm,R2)＝m2,1)eq \f(4π2,T) R，解得M＝2,1)eq \f(4π2R3,GT) ，则c为T1。故选A。 解析：设绳子长为L，拉力大小为T，转动角速度为ω，根据题图可知Ab＝eq \f(L,5)，bB＝eq \f(4L,5)，对在A点的物体和在B点的砝码，根据牛顿第二定律有T＝mAω2·Ab，T＝mBω2·bB，联立解得mA＝200.0 g，故选C。 解析：对与工作台一起匀速转动的陶屑受力分析，可知由摩擦力提供向心力，则有f＝mω2r，又f≤μmg，解得陶屑与OO′间的距离r≤eq \f(\a\vs4\al(μg),ω2)，则陶屑只能分布在某一半径的圆内，C错误，D正确；由C、D项分析可知，陶屑与台面边缘的距离与其质量无关，A、B错误。 解析：由开普勒第三定律有3,行)eq \f(R,Teq \o\al(2,行)) ＝3,地)eq \f(R,Teq \o\al(2,地)) ，其中T行＝5.8年，T地＝1年，R地＝1 AU，解得R行≈3.2 AU，结合题表可知，该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。 4．(2025·河南省高三下高考适应性考试)卫星通信系统由卫星和地球站两部分组成，卫星通信具有通信范围大、可靠性高等优点。已知地球自转周期为T，卫星高度与地球半径相等，北极地面的重力加速度大小为g，赤道地面的重力加速度大小为g1，引力常量为G，则地球的质量为(　　) A．eq \f(g（g－g1）2T4,8π4G) B．eq \f(g（g－g1）2T4,16π4G) C．eq \f(g（g－g1）2GT4,16π4) D．eq \f(g（g－g1）2π4,16T4G) 解析：设地球的质量为M，半径为R，取一质量为m的物体，在赤道地面有eq \f(GMm,R2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)R＋mg1，在北极地面有eq \f(GMm,R2)＝mg，解得地球的质量M＝eq \f(g（g－g1）2T4,16π4G)，故选B。 解析：由F万＝Geq \f(Mm,r2)可知，卫星在远地点时所 受地球引力最小，由图乙可知，卫星相邻两次到达 远地点的时间间隔为t1，则卫星的周期为T＝t1，A 错误；卫星绕地球运行时，只有地球引力做功，则 机械能守恒，B正确；卫星在近地点时有8F＝G2,min)eq \f(Mm,r) ， 在远地点时有2F＝G2,max)eq \f(Mm,r) ，可知eq \f(rmin,rmax)＝eq \f(1,2)，根据开普勒第二定律有eq \f(1,2)v1Δtrmin＝eq \f(1,2)v2Δtrmax，可知卫星在近地点与远地点的速度之比为eq \f(v1,v2)＝eq \f(2,1)，C错误；根据牛顿第二定律有F万＝ma，解得a＝eq \f(F万,m)，可知卫星在近地点与远地点的加速度之比为eq \f(a1,a2)＝eq \f(8F,2F)＝eq \f(4,1)，D正确。 6．(2025·江西省鹰潭市高三下二模)(多选)如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力为2mg，重力加速度的大小为g，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，下列说法正确的是(　　) A．圆环角速度ω等于eq \r(\f(g,R))时，小球受到2个力的作用 B．圆环角速度ω等于eq \r(\f(3g,R))时，小球受到3个力的作用 C．圆环角速度ω等于2eq \r(\f(g,R))时，细绳将断裂 D．圆环角速度ω大于eq \r(\f(6g,R))时，小球受到2个力的作用 解析：当细绳拉直时，设细绳与水平方向的夹角为θ，如图所 示，因细绳与两半径构成等边三角形，则θ＝90°－60°＝30°， 球做圆周运动的半径为r＝Rcosθ＝eq \f(\r(3),2)R，在水平方向上，由牛顿第 二定律有F支cosθ＋F拉cosθ＝mω2r，在竖直方向上，由平衡条件 有F支sinθ＝mg＋F拉sinθ，当F拉＝0时，解得ω1＝eq \r(\f(\a\vs4\al(2g),R))，当F拉＝2mg时，解得ω2＝eq \r(\f(\a\vs4\al(6g),R))。圆环角速度ω等于eq \r(\f(\a\vs4\al(g),R))时，ω＜ω1，细绳处于松弛状态，小球仅受重力和圆环支持力的作用，A正确；圆环角速度ω等于eq \r(\f(\a\vs4\al(3g),R))时，ω1＜ω＜ω2，小球受到重力、圆环支持力和细绳拉力的作用，B正确；圆环角速度ω等于2eq \r(\f(\a\vs4\al(g),R))时，ω＜ω2，细绳没有断裂，C错误；圆环角速度ω大于eq \r(\f(\a\vs4\al(6g),R))时，细绳断开，小球受到重力和圆环支持力的作用，D正确。 7．(2025·河北卷，7)随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为mg0Req \o\al(2,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,R0)－\f(1,r)))(r≥R0)。要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为(　　) A．eq \r(g0R0) B．eq \r(\f(3g0R0,2)) C．eq \r(2g0R0) D．eq \r(3g0R0) 解析：飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,（2R0）2)＝meq \f(v2,2R0)，此时引力势能Ep＝mg0Req \o\al(2,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,R0)－\f(1,2R0)))＝eq \f(1,2)mg0R0，在星球表面，飞行器所受万有引力等于重力，即G2,0)eq \f(Mm,R) ＝mg0，此时引力势能Ep′＝mg0Req \o\al(2,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,R0)－\f(1,R0)))＝0，飞行器发射过程由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0)＋Ep′＝eq \f(1,2)mv2＋Ep，联立解得飞行器发射的初速度为v0＝eq \r(\f(3g0R0,2))，B正确。 A．ωmax＝eq \f(π,3) rad/s B．ωmax＝eq \f(2,3) rad/s C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 解析：物品从抛出到落地的过程做平抛运动，当其恰好落在目标区域的边缘时，物品的水平位移示意图如图所示，由几何关系有xmax＝2,1)eq \r(R－Req \o\al(2,2)) ＝4 m，此时物品的初速度最大，水平方向上有xmax＝vmaxt，竖直方向上有H＝eq \f(1,2)gt2，解得物品下落所用的时间t＝2 s，最大初速度(无人机的最大线速度)vmax＝2 m/s，所以无人机的最大角速度ωmax＝eq \f(vmax,R2)＝eq \f(2,3) rad/s，A错误，B正确；物品释放后在空中运动的过程，无人机转过的角度θ＝ωmaxt＝eq \f(4,3)<eq \f(π,2)，所以无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，C正确，D错误。 9．(2025·东北地区高三下名师名校联席命制信息卷)利用现代技术可以高效地辅助物理实验探究。如图a所示，轻绳一端连接小球，另一端可绕水平转轴在竖直面内自由转动，在最低点给小球一个初速度v0，使小球能做完整的圆周运动，利用传感器记录绳的拉力大小F，同时记录对应时刻轻绳与竖直向下方向的夹角θ，将数据输入计算机得到F­cosθ图像如图b所示。已知绳长为0.6 m，g取10 m/s2，则下列判断正确的是(　　) A．小球的质量为0.1 kg B．小球在最低点的初速度大小为8 m/s C．小球在最高点的速度大小为2eq \r(3) m/s D．小球在最低点与最高点绳的拉力差随初速度大小v0的增大而增大 解析：由机械能守恒定律有eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0)－eq \f(1,2)mv2＝ mgl－mglcosθ，由牛顿第二定律有F－mgcosθ ＝eq \f(mv2,l)，联立解得F＝2,0)eq \f(mv,l) ＋3mgcosθ－2mg。由 题图b可知当cosθ＝0.5时F＝11 N，当cosθ＝0时F＝8 N，代入数据解得m＝0.2 kg，v0＝6 m/s，故A、B错误；设小球在最高点的速度大小为v′，小球从最低点到最高点的过程中，根据动能定理得－mg·2l＝eq \f(1,2)mv′2－eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0)，解得v′＝2eq \r(3) m/s，故C正确；当cosθ＝1时小球在最低点，当cosθ＝－1时小球在最高点，小球在最低点与最高点绳的拉力差为ΔF＝2,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(mv,l)＋3mg－2mg)) －2,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(mv,l)－3mg－2mg)) ＝6mg，与v0无关，故D错误。 11．(2025·重庆市高三下第六次质量检测)“天关”卫星是中国研制的一颗空间科学卫星，用于探寻黑洞、引力波等重要预言。如图所示，“天关”卫星离地高度约为600千米，其轨道平面与赤道平面的夹角约为29°，轨道半径为r0。某时刻，“天关”卫星刚好从另一高轨卫星的正下方经过，该高轨卫星的轨道位于赤道上空，经过一段时间后，“天关”卫星在地球另一侧从该高轨卫星下方经过(忽略地球自转)，两卫星轨道均视为圆轨道，则该高轨卫星的半径可能的值为(　　) A．eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(3))r0 B．eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))\s\up12(3))r0 C．eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2))r0 D．eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))\s\up12(2))r0 解析：设“天关”卫星周期为T0，高轨卫星周期为T，轨道半径为r，则“天关”卫星运动到地球另一侧经过的时间Δt＝mT0＋eq \f(T0,2)＝(2m＋1)eq \f(T0,2)(m＝0，1，2，…)，高轨卫星经过的时间Δt′＝nT＋eq \f(T,2)＝(2n＋1)eq \f(T,2)(n＝0，1，2，…)，根据开普勒第三定律有3,0)eq \f(r,Teq \o\al(2,0)) ＝eq \f(r3,T2)，由题意可知r＞r0，且存在m、n使Δt＝Δt′成立，联立解得r＝eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m＋1,2n＋1)))\s\up12(2))r0，其中m、n取整数且m>n，故A、B、C错误，D正确。 1．(2025·福建卷，5)(多选)如图为春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，已知OQ＝eq \r(3)OP，手绢绕O点做匀速圆周运动，则(　　) A．P、Q线速度之比为1∶eq \r(3) B．P、Q角速度之比为eq \r(3)∶1 C．P、Q向心加速度之比为eq \r(3)∶1 D．P点所受合外力总是指向O 解析：P、Q同轴转动，故角速度相等，即角速度之比为1∶1，B错误；由v＝ωr可知，P、Q线速度之比vP∶vQ＝rOP∶rOQ＝1∶eq \r(3)，A正确；由a＝ω2r可知，P、Q向心加速度之比aP∶aQ＝rOP∶rOQ＝1∶eq \r(3)，C错误；做匀速圆周运动的物体，其所受合外力提供向心力，故P点所受合外力总是指向圆心O，D正确。 2．(2025·安徽卷，9)(多选)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(　　) A．r＝eq \f(a＋b＋R,2) B．r＝eq \f(a＋b,2)＋R C．M＝eq \f(4π2r3,GT2) D．M＝eq \f(4π2R3,GT2) 解析：根据开普勒第三定律可知，卫星甲所在环月椭圆轨道的半长轴等于卫星乙所在环月圆形轨道的半径，即eq \f(a＋b＋2R,2)＝r，解得r＝eq \f(a＋b,2)＋R，A错误，B正确；对卫星乙，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，C正确，D错误。 3．(2025·甘肃省酒泉市高三上期末)2024年9月20日17时43分，我国在西昌卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天启星座29～32星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。关于卫星运行速度的三次方(v3)与其周期的倒数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,T)))的关系图像，下列各图正确的是(　　) 解析：由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r，又v＝eq \f(2πr,T)，联立消去r可得v3＝2πGM·eq \f(1,T)，故v3­eq \f(1,T)图像为过原点的倾斜直线，故选B。 4．(2025·河南省信阳市重点高中高三下高考考前冲刺)“双星系统”与“三星系统”都是宇宙中常见的天体系统。两种系统中，天体均可在万有引力的作用下绕共同的圆心做匀速圆周运动。如图分别为两种天体系统的示意图，图中五个球形天体的质量均为M，天体连心线的长度均为L，万有引力常量为G。“双星系统”与“三星系统”运动周期之比为(　　) A．eq \r(2)∶eq \r(3) B．eq \r(3)∶eq \r(2) C．2∶3 D．3∶2 解析：“双星系统”与“三星系统”均由万有引力提供向心力，设做圆周运动的半径分别为r和r′，周期分别为T和T′，对“双星系统”有r＝eq \f(L,2)，Geq \f(M2,L2)＝Meq \f(4π2,T2)r，对“三星系统”有r′＝Lsin60°×eq \f(2,3)，2Geq \f(M2,L2)cos30°＝Meq \f(4π2,T′2)r′，联立可得eq \f(T,T′)＝eq \f(\r(3),\r(2))，故选B。 5．(2025·湖南省长沙市长郡中学高三下月考)在水平面上放置一个半径为2R的圆盘，圆盘上放置两个可视为质点的物体A和B(如图甲)，其中B在圆盘中心，A和B之间用长为2R的轻绳连结。物体A的质量为m，物体B的质量为2m，且它们和圆盘的动摩擦因数相同。现圆盘绕通过圆心的轴从静止缓慢加速转动，当角速度ω的大小为ω1时，A和B恰好与圆盘发生相对滑动。如果把物体A和B沿直径放置在圆盘上(如图乙)，此时物体A到圆心的距离为R，然后再次让圆盘绕通过圆心的轴从静止缓慢加速转动，当角速度ω的大小为ω2时，A和B也恰好与圆盘发生相对滑动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则eq \f(ω1,ω2)的大小为(　　) A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(6),6) C．eq \f(\r(3),2) D．1 解析：图甲中，当A和B恰好相对圆盘发生滑动时，对B有2μmg＝T1，对A有μmg＋T1＝mωeq \o\al(2,1)·2R，解得ω1＝eq \r(\f(\a\vs4\al(3μg),2R))；图乙中，由于B的质量大于A的质量，B所需向心力较大，当A和B恰好相对圆盘发生滑动时，A、B所受摩擦力方向均由B指向A，对A有T2－μmg＝mωeq \o\al(2,2)R，对B有T2＋μ×2mg＝2mωeq \o\al(2,2)R，解得ω2＝eq \r(\f(\a\vs4\al(3μg),R))，所以eq \f(ω1,ω2)＝eq \f(\r(2),2)，A正确。 6．(2025·河南省郑州市外国语学校高三下调研考试八)如图甲所示，是一款旋转硬币游乐设备。图乙是该装置的示意图，OO′为其对称轴，且OO′竖直。将一元钱的硬币从上端入口沿容器壁边缘水平切线方向滚入，硬币恰好沿容器壁做螺旋运动，转很多圈后到达底部。该硬币在水平方向的运动可近似看作匀速圆周运动，曲面在A、B两点的切线与水平方向的夹角分别为30°和45°，匀速圆周运动的轨道半径分别为R1＝eq \f(\r(3),4) m、R2＝0.3 m，重力加速度g取10 m/s2，则硬币在运动过程中(　　) 解析：容器壁对硬币的支持力与硬币重力的合力充当了硬币做匀速圆周运动的向心力，A错误；对硬币受力分析，根据牛顿第二定律，当硬币在A点时有mgtan30°＝ma1＝m2,1)eq \f(4π2,T) R1＝m2,1)eq \f(v,R1) ，当硬币在B点时有mgtan45°＝ma2＝m2,2)eq \f(4π2,T) R2＝m2,2)eq \f(v,R2) ，解得a1＝eq \f(10,3) eq \r(3) m/s2＜a2＝10 m/s2，T1＝eq \r(0.3)π s＞T2＝eq \f(\r(3),5)π s，EkA＝2,1)eq \f(mv,2) ＝eq \f(1,2)mgR1tan30°，EkB＝2,2)eq \f(mv,2) ＝eq \f(1,2)mgR2tan45°，可得硬币做匀速圆周运动在A、B两点的动能之比为eq \f(EkA,EkB)＝eq \f(R1tan30°,R2tan45°)＝eq \f(5,6)，故B、C错误，D正确。 7．(2025·重庆卷，7)“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的(　　) A．轨道半径之比为eq \f(L,d) B．周期之比为eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L＋d,L)))\s\up12(2)) C．线速度大小之比为eq \r(\f(L＋d,L)) D．向心加速度大小之比为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,L＋d))) eq \s\up12(2) 解析：根据题意并结合几何知识可知，eq \f(d,L)＝eq \f(r地－r金,r金)，地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为eq \f(r地,r金)＝eq \f(L＋d,L)，故A错误；对于绕太阳做匀速圆周运动的行星，根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r＝meq \f(v2,r)＝ma，解得行星绕太阳运动的周期T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，线速度大小v＝eq \r(\f(GM,r))，加速度大小a＝eq \f(GM,r2)，可得地球和金星绕太阳运动的周期之比为eq \f(T地,T金)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L＋d,L)))\s\up12(3))，线速度大小之比为eq \f(v地,v金)＝eq \r(\f(L,L＋d))，向心加速度大小之比为eq \f(a地,a金)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,L＋d))) eq \s\up12(2)，故B、C错误，D正确。 8．(2025·湖北省十堰市高三下适应性考试)(多选)如图所示的机械装置由摆锤和底座两部分组成，摆锤通过轻质直杆与底座上的转轴连接，整个机械装置放置在上表面水平的压力传感器上，底座内部的电机可以驱动摆在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，底座始终保持静止。已知摆锤的质量为m，底座的质量为M，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．若摆锤的速率为eq \r(gR)，则摆锤运动到最高点时，压力传感器的示数等于Mg B．摆锤运动到最低点时，压力传感器的示数可能小于(M＋m)g C．当摆锤重心与O点等高且在O点右侧时，直杆对摆锤的弹力指向O点 D．当摆锤重心与O点等高且在O点右侧时，底座所受摩擦力水平向左 解析：若摆锤的速率为v＝eq \r(gR)，摆锤运动到最高点时 的向心力大小为F＝meq \f(v2,R)＝mg，方向竖直向下，即摆锤的重 力提供向心力，摆锤与杆、底座间无相互作用，压力传感器 的示数等于Mg，A正确；摆锤运动到最低点时的加速度方 向向上，摆锤和底座整体处于超重状态，压力传感器的示数 一定大于(M＋m)g，B错误；摆锤做匀速圆周运动，直杆对摆锤的弹力和摆锤自身重力的合力提供向心力，方向始终指向圆心，当摆锤重心与O点等高且在O点右侧时，直杆对摆锤的弹力斜向左上，直杆对底座的弹力斜向右下，而底座保持静止，所以底座所受摩擦力水平向左，C错误，D正确。 9．(2025·陕西省商洛市高三下二模)(多选)洲际弹道导弹是战略核力量的重要组成部分。洲际弹道导弹从地面发射后，经过推进加速阶段、中途阶段、再入大气层阶段，最后击中地面上的目标。如图所示，某洲际导弹离开地面后发动机停止工作，其飞行轨迹为椭圆的一部分，远地点C到地心的距离为2R(R为地球的半径)，发射点与落地点的连线恰好为椭圆的短轴。地球(视为质量分布均匀的球体)的质量为M，引力常量为G，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　) A．椭圆的半长轴为R B．导弹在C点的加速度大小为eq \f(GM,4R2) C．导弹在C点的速度大小为eq \r(\f(GM,2R)) D．导弹从发射到落地所用的时间大于πReq \r(\f(R,GM)) 解析：发射点与落地点恰为椭圆的短轴，由题图可知，C点到椭圆短轴的距离即椭圆的半长轴大于R，故A错误；设导弹的质量为m，在C点的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有Geq \f(Mm,（2R）2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,4R2)，故B正确；当导弹在过C点的轨道上绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,（2R）2)＝meq \f(v2,2R)，解得此时导弹在C点的速度大小v＝eq \r(\f(GM,2R))，由于导弹在C点做近心运动，可知导弹在C点的速度小于eq \r(\f(GM,2R))，故C错误；当导弹贴着地面做圆周运动时有eq \f(GMm,R2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)R，解得T＝2πReq \r(\f(R,GM))，因为导弹运动轨迹为椭圆，且其半长轴大于R，根据开普勒第三定律可知，导弹实际的运动周期T′>2πReq \r(\f(R,GM))，又C点相当于椭圆轨道的远地点，则导弹从发射到落地所用的时间t>eq \f(T′,2)>πReq \r(\f(R,GM))，故D正确。 10．(2025·吉林省吉林市东北三省教育教学联合体高三下模拟预测)已知均匀球壳对内部任意一点的引力为零，地球可视为质量分布均匀的球体，半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，若从地球表面沿半径方向挖一深度为eq \f(R,2)的洞，忽略地球自转和空气阻力的影响，下列说法正确的是(　　) A．洞底的重力加速度大小为eq \f(g,4) B．洞底的重力加速度大小为2g C．若从地表由静止掉落一物体，到达洞底时的速度大小为eq \f(\r(2gR),2) D．若从地表由静止掉落一物体，到达洞底时的速度大小为eq \f(\r(3gR),2) 解析：设地球的密度为ρ，取球心周围半径为r(r＜R) 的内部球体，该内部球体的质量为Mr＝ρ·eq \f(4,3)πr3，取一质量 为m的物体放在距球心r处，外部球壳对其引力为0，设 内部球体表面重力加速度为gr，则eq \f(GMrm,r2)＝mgr，解得gr＝ eq \f(4,3)πρGr，当r＝R时，有g＝eq \f(4,3)πρGR，当r＝eq \f(R,2)时，可知洞底的重力加速度大小为g′＝eq \f(2,3)πGρR＝eq \f(\a\vs4\al(g),2)，故A、B错误；设物体到达洞底时的速度大小为v，根据动能定理可知从地表到洞底，万有引力做功等于物体动能的变化量，则有WG＝eq \f(1,2)mv2－0，由gr＝eq \f(4,3)πρGr可知，内部球体表面重力加速度与内部球体的半径成正比，利用平均值求做功，有WG＝eq \f(\a\vs4\al(mg＋mg′),2)×eq \f(R,2)＝eq \f(3,8)mgR，解得v＝eq \f(\a\vs4\al(\r(3gR)),2)，故C错误，D正确。 $