第1部分 第3讲 力与曲线运动(一)-【金版教程】2026年高考物理大二轮专题复习冲刺方案课件PPT

第一部分　专题强化复习 专题一　力与运动 第3讲　力与曲线运动(一) 知识框架 学习目标 1.掌握运动的合成与分解，熟练运用分解的方法化曲为直。 2.会灵活建立坐标系分解平抛运动、斜抛运动，能解决三维空间中的抛体运动问题。 2 目录 1 2 专题作业 考点 高考风向标 3 考点 考点1　运动的合成与分解 两种分解方法 (1)效果分解法：一般看物体参与哪几个分运动，如小船渡河时参与了随水流的运动和在静水中的运动，关联速度问题中绳(或杆)端物体参与了沿绳(或杆)的运动和垂直于绳(或杆)的转动。 (2)正交分解法：适用范围更广，一般主要是为了解题方便选择此方法。注意坐标轴的选取要灵活，不是必须选合力方向和垂直于合力方向为坐标轴。 考点 5 考点 6 考点 7 根据分运动判断合运动的性质和轨迹，关键是找到合初速度和合力(或合加速度)。若二者共线，则做直线运动；若二者不共线，则做曲线运动。若合力(或合加速度)恒定且不为零，则做匀变速运动；若合力(或合加速度)变化，则做变加速运动。 考点 8 例2　(2025·黑吉辽蒙卷，6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　) A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 解析　设塔块匀速下落的速度为v0，细绳与水平方向的夹角为α，将塔块的速度v0和手的速度v沿细绳方向、垂直于细绳方向分解，如图所示，根据沿细绳方向的分速度相等，有v0sinα＝vcosα，得v＝v0tanα，塔块下落过程中α逐渐增大，v0保持不变，所以v一直增大，B正确。 　 考点 9 关联速度问题中，要将绳(或杆)端物体的速度沿绳(或杆)方向和垂直于绳(或杆)方向分解。本题有两个易错点需要注意： (1)分解塔块的速度时不要沿两绳的方向分解。 (2)不要将塔块的速度平均分成两份，再对一侧绳的两端速度分解。 考点 10 考点2　抛体运动 1．平抛运动的两个模型 (1)已知末速度方向，如图甲、乙，解题的突破口是分解速度。 (2)已知位移方向，如图丙、丁，解题的突破口是分解位移。 考点 11 2．平抛运动的两个推论(本质是描述同一规律) (1)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。 (2)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 3．斜上抛运动的解题技巧 (1)充分利用运动的对称性。 (2)将从开始运动到最高点的运动逆向看作平抛运动(逆向思维)。 考点 12 考点 13 考点 14 [跟进训练]　(2025·云南卷，3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　) A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 考点 15 考点 16 考点 17 考点 18 抛体(或类抛体)运动中，除沿合力方向和垂直合力方向分解外，还可以根据具体的题目情境和设问来分解合力。例如本题中求重物离PQ连线的最远距离，可以沿PQ方向和垂直PQ方向建立坐标轴分解运动——这是一种经典模型。 考点 19 [跟进训练]　(2025·黑龙江省哈尔滨市第六中学高三下四模)如图，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P点水平射出的同时乙黄豆从另一吸管末端M点斜向上射出，一段时间后两黄豆在N点相遇。若M点在P点正下方，M点与N点位于同一水平线上，不计空气阻力，黄豆视为质点，则(　　) A．甲在P点的速度为乙在最高点速度的两倍 B．N点甲的速度与水平方向夹角的正切值为乙的两倍 C．N点甲的速度大小为乙的两倍 D．PM的距离为乙相对M点上升最大高度的两倍 考点 20 考点 21 高考风向标 1．(2025·四川省成都市高三下二诊)图a为记载于《天工开物》的风扇车，它是用来去除水稻等农作物子实中杂质的木制传统农具。风扇车的工作原理可简化为图b模型：质量为m1的杂质与质量为m2的子实仅在水平恒定风力和重力的作用下，从同一位置P静止释放，若m1小于m2，杂质与子实受到的风力大小相等。下列说法正确的是(　　) A．杂质与子实在空中做曲线运动 B．杂质与子实在空中运动的时间相等 C．杂质与子实落地时重力的瞬时功率相等 D．杂质落地点与P点的水平距离小于子实落地点与P点的水平距离 高考风向标 23 高考风向标 24 高考风向标 25 高考风向标 26 3．(2025·四川省雅安市高三下二模)如图所示，将小球从斜面顶端分别以v、2v、3v、4v、5v的速度水平抛出，不计空气阻力，小球落点位置分别标为1、2、3、4、5。下图中标示小球落点位置可能正确的是(　　) 高考风向标 27 高考风向标 28 专题作业 1．(2025·辽宁省名校联盟高三下三模)如图所示，是在哈尔滨举行的第九届亚冬会跳台滑雪赛道的简化图。可视为质点的运动员在t＝0时刻从M点由静止自由滑下，经过水平滑道NP段后飞出，落在斜坡上的Q点。若不计运动员经过N点的动能损失，忽略其运动过程中受到的阻力。用vx、vy、v、a分别表示该过程中运动员水平方向的速度大小、竖直方向的速度大小、实际运动的速度大小、加速度大小，t表示其运动的时间，下列图像中可能正确的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 4．(2025·山东省德州市高三下三模)如图所示，在中学生篮球赛中，某同学某次投篮出手点距水平地面的高度h＝1.8 m，距竖直篮板的水平距离x0＝3 m；篮球出手后的初速度大小v0＝10 m/s，方向斜向上与水平方向的夹角为53°。篮球与篮板的摩擦不计，空气阻力不计；篮球自出手至落地仅与篮板发生了碰撞(碰撞时间极短)，且碰撞时无机械能损失；篮球可视为质点，运动轨迹所在竖直面与篮板垂直，取g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。则篮球的落地点与出手点的水平距离为(　　) A．3.6 m B．4.8 m C．6.6 m D．7.8 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 6．(2025·山东省菏泽市高三下一模)如图，水平地面上有一截面为正方形的建筑物，边长为a。小明在地面上某一位置(位置可调)斜向上踢出一足球，足球能够越过该建筑物。忽略空气阻力。求足球被踢出时的最小速度大小和方向(用速度与水平方向夹角的正切值表示)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 方法点拨　本题要用到倍角公式sin2α＝2sinαcosα求斜抛运动的极值问题。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 7．(2025·北京市第二中学高三下模拟)如图，O为抛物线OM的顶点，A、B为抛物线上两点，O点的切线水平。从A、B两点分别以初速度v1、v2水平抛出完全相同的两小球，同时击中O点，不计空气阻力，则两球(　　) A．初速度v1与v2相等 B．必须同时抛出 C．击中O点时速度相同 D．击中O点时重力的瞬时功率相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 8．(2025·浙江省衢州、丽水、湖州三市高三下教学质量检测)篮球投出后在空中的运动轨迹如图所示，A、B和C分别为抛出点、最高点和入篮筐点。已知抛射角α，B点与C点的竖直距离h，重力加速度g，忽略空气阻力，则(　　) A．可以求出篮球入筐时的速度 B．可以求出AB连线与水平方向的夹角 C．A到B的时间可能与B到C的时间相等 D．篮球入筐时的速度与水平方向的夹角可能为α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 名师点拨　只要物体受到恒力作用且初速度方向与合力方向不共线，物体都做类抛体运动，可以用抛体运动的思路方法分析。比如本题小球做类斜上抛运动，根据斜抛运动的特点类比可知，当速度方向与合力方向垂直时速度最小。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 10．(2025·河南省豫东名校高三下三模)如图，直角坐标系xOy位于竖直面内，将小球从y轴上的A点水平抛出，小球落在x轴上的A′点，若将小球从y轴上的B点斜向上抛出，小球落在x轴上的B′点，两次的运动轨迹相交于P点，P是轨迹BB′上的最高点，P′点是P在x轴上的投影。已知OP′＝P′A′＝A′B′，不考虑空气阻力，则A、B两点的纵坐标之比为(　　) A．4∶3 B．16∶9 C．32∶27 D．64∶27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 名师点拨　本题为三维空间内的平抛运动，在水平面内弹珠的运动模型为“小船渡河”模型，x相当于“渡河位移”，y取决于运动时间，而运动时间相当于“渡河时间”。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 专题作业 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R 例1　(2025·河南省郑州市外国语学校高三下 调研考试八)一质点在直角坐标系xOy所在平面内 由O点开始运动，其沿两个坐标轴方向的分速度随 时间变化如图所示。则(　　) A．3 s末质点速度的大小为7 m/s B．前3 s质点做匀变速直线运动，加速度大小为1 m/s2 C．3～4 s内质点做匀变速曲线运动，加速度大小为5 m/s2 D．3～4 s内质点的位移大小为7.5 m 解析　3 s末质点沿x轴方向和y轴方向的分速度分别为vx＝3 m/s和vy＝4 m/s，根据矢量的合成法则可知，3 s末质点速度的大小为v＝2,x)eq \r(v＋veq \o\al(2,y)) ＝5 m/s，故A错误；0～3 s内质点的初速度沿y轴方向，加速度沿x轴方向，二者不共线，则质点做曲线运动，加速度大小为a＝eq \f(3 m/s,3 s)＝1 m/s2，故B错误；3～4 s内质点沿x轴方向和y轴方向的加速度分别为ax＝eq \f(Δvx,Δt)＝eq \f(6－3,4－3) m/s2＝3 m/s2，ay＝eq \f(Δvy,Δt)＝eq \f(8－4,4－3) m/s2＝4 m/s2，合加速度大小为a′＝2,x)eq \r(a＋aeq \o\al(2,y)) ＝5 m/s2，与x轴方向的夹角θ满足tanθ＝eq \f(ay,ax)＝eq \f(4,3)，质点在3 s末的速度与x轴方向的夹角α满足tanα＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(4,3)，可知α＝θ，则3～4 s内质点做匀变速直线运动，加速度大小为5 m/s2，位移为x＝vt＋eq \f(1,2)a′t2＝7.5 m，故C错误，D正确。 例3　(2025·辽宁省辽阳市高三下二模)运动员从P点以一定的速度水平飞出后做平抛运动，在空中飞行3 s后，落在斜坡上的Q点，简化示意图如图所示。已知斜坡的倾角为30°，取重力加速度大小g＝10 m/s2，运动员经过P点时的速度大小为(　　) A．10 m/s B．15eq \r(2) m/s C．15eq \r(3) m/s D．30 m/s 解析　设运动员经过P点时的速度大小为v0，在空中运动的时间为t。 解法一(基本公式法)：运动员在空中做平抛运动，水平方向的位移为x＝v0t，竖直方向的位移为y＝eq \f(1,2)gt2，由题意可知tan30°＝eq \f(y,x)，解得v0＝15eq \r(3) m/s，故选C。 解法二(推论法)：运动员在空中做平抛运动，落在Q点时竖直方向的分速度为vy＝gt＝30 m/s，水平方向的分速度为vx＝v0，由平抛运动的推论可知eq \f(vy,vx)＝2tan30°，解得v0＝15eq \r(3) m/s，故选C。 解析：鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有h＝eq \f(1,2)gt2，由于hM<hN，则tM<tN，可知在N点接到的鸟食先抛出，故A、B错误；根据h＝eq \f(1,2)gt2，两颗鸟食下落到相同高度处时，下落时间相同，由图知，在M点接到的鸟食的水平位移较大，结合x＝v0t知，在M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确。 例4　(2024·山东卷，12)(多选)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．运动时间为2eq \r(3) s B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10 m D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m 解析　将初速度v0分解为沿PQ方向的分速度v1和垂 直PQ方向的分速度v2，则有v1＝v0cos60°＝10 m/s，v2＝ v0sin60°＝10eq \r(3) m/s，将重力加速度g分解为沿PQ方向的 分加速度a1和垂直PQ方向的分加速度a2，则有a1＝gsin30° ＝5 m/s2，a2＝gcos30°＝5eq \r(3) m/s2，垂直PQ方向，根据对称性可得，重物运动的时间为t＝2eq \f(v2,a2)＝4 s，重物离PQ连线的最远距离为dmax＝2,2)eq \f(v,2a2) ＝10eq \r(3) m，故A、C错误；重物落地时竖直分速度大小为vy＝－v0sin30°＋gt＝30 m/s，则落地速度与水平方向夹角θ的正切值为tanθ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(vy,v0cos30°)＝eq \r(3)，可得θ＝60°，故B正确；从抛出到最高点所用时间为t1＝eq \f(v0sin30°,g)＝1 s，则从最高点到落点所用时间为t2＝t－t1＝3 s，且重物从最高点到落点做平抛运动，则轨迹最高点与落点的高度差为h＝eq \f(1,2)gteq \o\al(2,2)＝45 m，故D正确。 解析：设黄豆从射出到相遇的运动时间为t，甲黄豆做平抛 运动，初速度大小为v0，乙黄豆做斜上抛运动，初速度沿水平方 向的分速度大小为vx，沿竖直方向的分速度大小为vy，在水平方 向上有v0t＝vxt，解得v0＝vx，又乙黄豆在最高点的速度为vx，故 A错误；N点乙的速度与水平方向夹角的正切值tanα＝eq \f(v乙y,vx)＝eq \f(g×\f(t,2),vx)＝eq \f(gt,2v0)，N点甲的速度与水平方向夹角的正切值tanθ＝eq \f(v甲y,v0)＝eq \f(gt,v0)＝2tanα，故B正确；在N点，乙的速度大小v乙＝eq \f(vx,cosα)＝eq \f(v0,cosα)，甲的速度大小v甲＝eq \f(v0,cosθ)≠2v乙，故C错误；乙做斜上抛运动，乙相对M点上升的最大高度h＝eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t)) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,8)gt2，甲做平抛运动，则PM＝eq \f(1,2)gt2＝4h，故D错误。 解析：杂质与子实从同一位置P静止释放， 因为受力恒定，所以杂质与子实在空中做初速度 为零的匀变速直线运动，故A错误；杂质与子实 在竖直方向的加速度均为g，设P点的高度为h， 由h＝eq \f(1,2)gt2可知杂质与子实在空中运动的时间相等，落地时竖直方向的分速度vy＝gt相等，重力的瞬时功率P＝mgvy，由于m1＜m2，则杂质落地时重力的瞬时功率小于子实落地时重力的瞬时功率，故B正确，C错误；沿水平方向，由牛顿第二定律可知F＝ma，由于杂质与子实受到的风力大小F相等，m1＜m2，因此杂质的水平加速度较大，由x＝eq \f(1,2)at2可知，杂质落地点与P点的水平距离大于子实落地点与P点的水平距离，故D错误。 2．(2025·湖北卷，6)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为eq \f(L,2)、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,6) 解析：两次击球后网球均做斜抛运动，设初速度大小为v0，球网的高度为H，两次从击球到掠过球网用时分别为t1、t2，则从击球点到掠过球网的过程，对于第一次有L＝v0cosθ·t1　①，eq \f(L,2)－H＝－v0sinθ·t1＋eq \f(1,2)gteq \o\al(2,1)　②，对于第二次有L＝v0cosθ·t2　③，L－H＝v0sinθ·t2＋eq \f(1,2)gteq \o\al(2,2)　④，由①③式得t1＝t2　⑤，由②④⑤式得eq \f(L,2)＝2v0sinθ·t1　⑥，由①⑥式得tanθ＝eq \f(1,4)，故C正确。 解析：小球做平抛运动，设斜面倾角为θ，小球在空中运动的时间为t，在水平方向上有x＝v0t，在竖直方向上有y＝eq \f(1,2)gt2，小球落在斜面上时，有tanθ＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)，解得t＝eq \f(2v0tanθ,g)，小球抛出点与落点间的距离l＝eq \f(x,cosθ)＝2,0)eq \f(2vtanθ,gcosθ) ∝veq \o\al(2,0)；小球落在水平面上时，小球的运动时间相等，有x＝v0t∝v0。可知小球出发点与斜面上1、2、3相邻落点间距逐渐增大，水平面上3、4、5相邻落点间距相等，故选A。 解析：设MN的倾角为θ，从M到N过程中，运动员加速度大小为a＝eq \f(mgsinθ,m)＝gsinθ，速度大小与时间的关系为v＝at＝gtsinθ，根据速度的分解有vx＝vcosθ＝gtsinθcosθ，vy＝vsinθ＝gtsin2θ，则该段时间内a­t图像为平行于t轴的直线，vx­t、vy­t和v­t图像均为过原点的倾斜直线；不计运动员经过N点的动能损失，则运动员在N点处v不变，vx突变为v，vy突变为0，运动员在NP段做匀速直线运动，设速度大小为v0，则运动员在NP段有vx＝v＝v0，vy＝0，a＝0，vx­t图线突然增大后与t轴平行，vy­t图线和a­t图线与t轴重合，v­t图线不突变且与t轴平行；运动员经过P点后做平抛运动，加速度a＝g，且vx­t图线依旧与t轴平行，vy­t图线为倾斜直线且斜率比从M到N过程的大，v­t图线为曲线，a­t图线平行于t轴且比从M到N过程离t轴远，故A、B、C错误，D正确。 2．(2025·安徽省蚌埠市高三下第二次教学质量检查)排球比赛时，运动员进行跳发球，排球被水平击出后，刚好擦着球网的上沿落入对方的场地，球通过球网上沿时，速度与水平方向的夹角为30°，球落地时速度与水平方向的夹角为60°，球网高为h，重力加速度为g，不计空气阻力，不计球的大小，则球被运动员击出后的初速度v0大小为(　　) A．eq \f(1,2) eq \r(2gh) B．eq \f(1,2) eq \r(3gh) C．eq \f(1,3) eq \r(2gh) D．eq \f(1,3) eq \r(3gh) 解析：球被击出后做平抛运动，水平方向的分速度恒为v0，由题意可知球刚过网时竖直方向的分速度大小为v1＝v0tan30°，落地时竖直方向的分速度大小为v2＝v0tan60°，在竖直方向，根据运动学公式有veq \o\al(2,2)－veq \o\al(2,1)＝2gh，解得v0＝eq \f(1,2) eq \r(3gh)，故选B。 3．(2025·江苏省南通市高三下统考)(多选)如图，相距l的两小球A、B位于同一高度h(l、h均为定值)，将A向B水平抛出，同时让B自由下落，A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则(　　) A．A、B一定能相碰 B．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度大小 C．A、B在第一次落地前若不碰，以后就不会相碰 D．A、B要在最高点相碰，A球第一次落地的水平位移一定为eq \f(l,2) 解析：两小球A、B在竖直方向上的运动情况完全相同， 始终处于同一高度，且A有向右的分速度，因此A、B一定 能相碰，故A正确，C错误。由h＝eq \f(1,2)gt2可知，A、B第一次 落地的时间为t＝eq \r(\f(2h,g))，是定值，若A的初速度v＞eq \f(l,t)＝leq \r(\f(g,2h))， A、B在第一次落地前能相碰；若v≤leq \r(\f(g,2h))，A、B在第一次落地前不相碰，故B正确。A、B第n次到达最高点的时间为tn＝2nt(n＝1，2，3，…)，A、B要在最高点相碰，则v＝eq \f(l,tn)＝eq \f(l,2nt)(n＝1，2，3，…)，A球第一次落地的水平位移为x1＝vt＝eq \f(l,2n)(n＝1，2，3，…)，故D错误。 解析：篮球出手后做斜上抛运动，水平方向的速度大小恒为vx＝v0cos53°＝6 m/s，竖直方向的初速度大小为vy＝v0sin53°＝8 m/s，篮球与篮板碰撞前后竖直方向的速度不变，水平方向的速度大小不变、方向反向，设篮球落地前在空中运动的时间为t，在竖直方向上有vyt－eq \f(1,2)gt2＝－h，解得t＝1.8 s，篮球在水平方向上运动的总路程为s＝vxt＝10.8 m，篮球的落地点与出手点的水平距离为x＝s－2x0＝4.8 m，故选B。 5．(2025·山东省烟台、德州、东营三市高三下诊断性测试)如图所示，倾角为θ＝37°的足够长斜面固定在水平地面上，将一小球(可视为质点)从斜面底端O点以初速度v0斜向上抛出，经过一段时间，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P点。已知重力加速度为g，sin37°＝0.6，不计空气阻力。则O、P两点之间的距离为(　　) A．2,0)eq \f(15v,26g) B．2,0)eq \f(15v,8g) C．2,0)eq \f(7v,15g) D．2,0)eq \f(8v,15g) 解析：设v0与斜面的夹角为α，则小球沿斜面方向 的初速度大小为v0x＝v0cosα，加速度大小为ax＝gsinθ， 小球垂直斜面方向的初速度大小为v0y＝v0sinα，加速度 大小为ay＝gcosθ，设小球在空中运动的时间为t，由题 意可知，小球以垂直于斜面方向的速度撞击在斜面上的P点，表明此时沿斜面方向的分速度恰好减为0，根据运动的对称性，小球打在P点时垂直于斜面方向的分速度与抛出时垂直于斜面方向的分速度等大反向，在沿斜面方向上有0＝v0x－axt，在垂直于斜面方向上有－v0y＝v0y－ayt，Q、P两点之间的距离为LOP＝v0xt－eq \f(1,2)axt2，联立解得LOP＝2,0)eq \f(15v,26g) ，故选A。 答案：eq \r(3ag)　tanα＝eq \r(5) 解析：分析可知，当足球被踢出时的速度最小时，足球恰好不与建筑物的左、右顶端处相碰。设此时足球在建筑物左边顶端处的速度大小为v1，方向与水平方向的夹角为θ，从左边顶端到最高点所用时间为t1，由对称性可知最高点到左、右顶端的水平距离均为eq \f(a,2)， 在水平方向上有eq \f(a,2)＝v1cosθ·t1 在竖直方向上有0＝v1sinθ－gt1 联立解得veq \o\al(2,1)＝eq \f(ag,sin2θ) 当θ＝θ1＝45°时，v1有最小值，为v1min＝eq \r(ag) 由机械能守恒定律可知，当v1最小时，足球从地面上被踢出时的速度v2也最小，设v2的最小值为v2min，v2min与水平方向的夹角为α，从地面到建筑物左边顶端， 在水平方向上有v2mincosα＝v1mincosθ1 在竖直方向上有－2ga＝(v1minsinθ1)2－(v2minsinα)2 解得v2min＝eq \r(3ag)，tanα＝eq \r(5)。 解析：已知O为抛物线OM的顶点，则以O为原点建立 xOy直角坐标系，如图所示，设OM为y＝ax2。两平抛运动在 竖直方向为自由落体运动，有y1＝axeq \o\al(2,1)＝eq \f(1,2)gteq \o\al(2,1)，y2＝axeq \o\al(2,2)＝eq \f(1,2)gteq \o\al(2,2)， 在水平方向为匀速直线运动，有x1＝v1t1，x2＝v2t2，联立可得 v1＝v2，eq \f(t1,t2)＝eq \f(x1,x2)，故A正确，B错误；两小球击中O点时水平方向分速度相同，竖直方向分速度vy＝gt不同，根据v＝2,x)eq \r(v＋veq \o\al(2,y)) ，可知击中O点时的速度不同，根据PG＝mgvy，可知击中O点时重力的瞬时功率不相等，故C、D错误。 解析：根据题意可知，篮球做斜上抛运动，从B到C 过程，篮球做平抛运动，由于水平方向的分速度vx未知， 则不可以求出篮球入筐时的速度，A错误；从A到B的运 动过程可看作逆向的平抛运动，由平抛运动的推论可知，A B连线与水平方向的夹角θ的正切值tanθ＝eq \f(tanα,2)，由于α已知，则θ可求，故B正确；由于hAB>h，在竖直方向上，由h＝eq \f(1,2)gt2可知篮球从A到B的时间tAB大于从B到C的时间tBC，故C错误；篮球在C点处的竖直速度为vCy＝gtAC，在A点处的竖直速度为vAy＝gtAB，由于水平方向上的分速度相同，vAy＞vCy，则篮球入筐时的速度与水平方向的夹角不可能为α，故D错误。 9．(2025·山东省济南市高三下二模)风洞是进行空气动力学研究最有效的工具之一，我国最新的JF22风洞创造了全球最快30马赫风速的奇迹。如图所示，风洞能对进入其中的物体始终施加一个水平恒力。一小球从地面的a点以大小为v0的初速度竖直向上抛出，在b点落回地面，小球离开地面的最大高度等于ab间的距离，则小球在运动过程中的最小速度为(　　) A．eq \f(1,2)v0 B．eq \f(\r(5),5)v0 C．eq \f(1,4)v0 D．eq \f(\r(17),17)v0 解析：小球在竖直方向上仅受重力作用，加速度大小为g， 设小球离开地面到最高点所用的时间为t，根据对称性可知，小 球在空中运动的时间为2t，小球离开地面的最大高度为h＝eq \f(1,2)gt2， 设小球水平方向的加速度大小为a，则ab间的距离xab＝eq \f(1,2)a(2t)2 ＝h，可得a＝eq \f(1,4)g，由牛顿第二定律可知小球受到的水平恒力为F＝ma＝eq \f(1,4)mg，如图所示，水平恒力与重力的合力F合与竖直方向的夹角θ满足tanθ＝eq \f(F,mg)＝eq \f(1,4)，将小球的初速度v0分解为平行F合方向和垂直F合方向的两个分速度，当平行F合方向的分速度减为0时，小球的速度最小，为vmin＝v0sinθ＝eq \f(\r(17),17)v0，故选D。 解析：设A点的纵坐标为yA，对于抛物线AA′，由于P′是OA′的中点，因此小球从A到P与从P到A′的时间相等，设为t1，在竖直方向上有yA＝eq \f(1,2)g(2t1)2，yA－PP′＝eq \f(1,2)gteq \o\al(2,1)，解得yA＝eq \f(4,3)PP′；设B点的纵坐标为yB，小球从B运动到P的时间为t2，由于OP′＝P′A′＝A′B′，有P′B′＝2OP′，则小球从P运动到B′的时间为2t2，把从B到P的运动看成逆向的平抛运动，在竖直方向上有PP′＝eq \f(1,2)g(2t2)2，PP′－yB＝eq \f(1,2)gteq \o\al(2,2)，解得yB＝eq \f(3,4)PP′，则eq \f(yA,yB)＝eq \f(16,9)，故选B。 11．(多选)如图所示，一宽阔的斜面体，倾角θ＝30°，高为h，上表面ADBC为光滑正方形。现有一小球甲在斜面顶端A处沿斜面以水平速度v1射出，从斜面B处离开。另有一小球乙从A点以水平速度v2射出(图中未画出)，从空中恰好击中B处，途中未与斜面接触。不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．甲、乙两小球初速度大小之比v1∶v2＝1∶2 B．甲、乙两小球初速度大小之比v1∶v2＝1∶eq \r(7) C．两小球初速度之间的夹角的正弦值为eq \f(\r(2),2) D．两小球初速度之间的夹角的正弦值为eq \f(\r(21),7) 解析：甲球射出后做类平抛运动，所受合力等于重力沿 斜面向下的分力，根据牛顿第二定律得mgsinθ＝ma，解得 甲球的加速度大小a＝gsinθ，设甲球从A到B的运动时间为 t1，根据类平抛运动规律可知，甲球到达B点时，沿斜面向下 的位移y1＝eq \f(h,sinθ)＝eq \f(1,2)gsinθ·teq \o\al(2,1)，沿初速度方向的位移x1＝v1t1，且x1＝y1，乙球射出后做平抛运动，设乙球从A到B的运动时间为t2，对乙球，竖直方向的位移y2＝h＝eq \f(1,2)gteq \o\al(2,2)，水平方向的位移x2＝v2t2，又根据几何关系有xeq \o\al(2,2)＝xeq \o\al(2,1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,tanθ))) eq \s\up12(2)，联立解得v1∶v2＝1∶eq \r(7)，A错误，B正确；根据几何关系可知，甲、乙两小球初速度之间的夹角α的正弦值为sinα＝eq \f(\f(h,tanθ),x2)，联立解得sinα＝eq \f(\r(21),7)，C错误，D正确。 12．(2025·山东省济南市高三下一模)如图所示，弹珠发射器(可视为质点)固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2(v2>v1)的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．x的最小值为eq \f(v1,v2)L B．x的最小值为eq \f(v2,v1)L C．y的最小值为2,2)eq \f(gL2,2v) D．y的最小值为2,2)eq \f(gL2,2（v－veq \o\al(2,1)）) 解析：弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当v2垂直竖直墙壁时，弹珠在空中运动的时间最短，为tmin＝eq \f(L,v2)，y的值最小，为ymin＝eq \f(1,2)gteq \o\al(2,min)＝2,2)eq \f(gL2,2v) ，故C正确，D错误；由于v2>v1，则弹珠水平方向的合速度可以沿垂直竖直墙壁方向，合速度大小为v＝2,2)eq \r(v－veq \o\al(2,1)) ，此时x的值最小，为L，故A、B错误。 $