专题1.2 解直角三角形中考常考点题型分类专题（3大考点8类题型）- 2025-2026学年浙教版九年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题1.2 解直角三角形中考常考点题型分类专题（3大考点8类题型） 目录 【考点一】三角函数定义 1 【题型1】求锐角三角函数值 1 【题型2】利用锐角三角函数定义求值 10 【考点二】特殊角三角函数值 17 【题型3】利用特殊角三角函数值进行运算 17 【题型4】几何中特殊角三角函数与几何综合 21 【考点三】解直角三角形基本类型 28 【题型5】利用三角形边角关系解直角三角形 28 【题型6】利用仰角、俯角解直角三角形 36 【题型7】利用坡角、坡度、坡比解直角三角形 41 【题型8】利用方位角解直角三角形 49 【考点一】三角函数定义 【题型1】求锐角三角函数值 1．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 过点作，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 5．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可． 【详解】解：∵折叠， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 6．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 7．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． （1）直接根据矩形的判定证明即可； （2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得，．进而可得，再根据等腰三角形的判定得到，过点O作于点F，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得，，，然后利用正切定义求解即可． 【详解】（1）证明：因为四边形是平行四边形，且， 所以四边形是矩形． 所以； （2）解：在中，，， 所以， 因为四边形是矩形， 所以，． 因为，所以． 过点O作于点F，则， 所以， 在中，， 所以． 8．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【解题思路】解题时先利用矩形、圆、折叠等图形的性质，结合勾股定理或相似三角形的判定条件，求出相关线段的长度，再确定所求锐角所在的直角三角形，最后根据三角函数的定义（正弦、余弦、正切）计算出对应的值。 【题型2】利用锐角三角函数定义求值 1．（2024·四川·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（    ）    A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD． 【详解】解：在中，，， ∴ ∴ 由勾股定理得, 过点D作于点E，如图，    ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 在中, ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键． 2．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    【答案】5 【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据折叠可知，可知，， 则，在中，，则， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， 即：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键． 4．（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    【答案】 【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果． 【详解】解：过点A作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键． 5．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知正方形和正方形，点G在上，与交于点H，，正方形的边长为8，则的长为 ．    【答案】10 【分析】根据正切的概念和正方形的性质，求得的长度，再根据勾股定理求得的长度，证明，求得，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：正方形和正方形， ，， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， 在中，， 在中，， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，正切的概念，熟知正切的概念再进行角度转换是解题的关键． 6．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    【答案】 【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴, ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【解题思路】先根据已知的三角函数值，结合直角三角形的边角关系，求出部分线段的长度，必要时通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理或相似三角形的性质，推导计算出目标线段的长度。 【考点二】特殊角三角函数值 【题型3】利用特殊角三角函数值进行运算 1．（2024·甘肃甘南·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【分析】本题考查了含特殊角三角函数值的混合运算，求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， 数轴表示为： 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先把原式括号里的式子通分，然后根据约分的方法和分式的性质进行化简，最后代入计算． 【详解】解： 原式. 3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）（）计算：； （）已知，求代数式的值． 【答案】（）；（）． 【分析】（）利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解； （）由得，化简代数式可得，代入计算即可求解； 本题考查了实数的混合运算，代数式化简求值，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ， ； （）∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 4．（2024·四川凉山·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解： ． 5．（2024·云南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简是解题的关键．根据相关运算法则分别进行计算，再进行加减运算，即可解题． 【详解】解：， ， ． 6．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，求不等式组的解集，掌握实数的运算法则，不等式的性质是关键 （1）先计算负整数指数幂，求一个数的立方根，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算有理数的乘方运算，最后再进行加减运算即可． （2）根据不等式的性质分别求出解集，表示在数轴上，根据公共部分即为不等式组解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示为： 【解题思路】先牢记 30°、45°、60° 的三角函数值，再按照实数混合运算的顺序，依次处理零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简等内容，最后代入特殊角的三角函数值进行加减乘除运算，得出结果。 【题型4】几何中特殊角三角函数与几何综合 1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：如图所示，过点B作轴，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴，B，D三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将其代入得：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 2．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，由可得，可得，而，可得为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，    ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， ∴多边形的边数为：， 故选B 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 3．（2023·四川成都·中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73）    【答案】184 【分析】过点O作的垂线段，交于点，根据直角三角形的边长关系求出的角度，阴影面积即为扇形的面积减去三角形的面积，随机可以求出容纳观众的数量． 【详解】解：如图，过点O作的垂线段，交于点，      圆心O到栏杆的距离是5米， 米， ， ，米， ， ， ， 可容纳的观众 阴影部分面积（人）， 最多可容纳184名观众同时观看演出， 故答案为：184． 【点睛】本题考查了弓形的面积，根据特殊角三角函数值求角的度数，熟知扇形面积公式是解题的关键． 4．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 6．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； （2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 根据题意，四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵宽度相等，即，且， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点作于点， 根据题意，， ∵， ∴， 由（1）可得四边形是菱形， ∴， 在中，， 即， ∴． 【解题思路】先结合图形的对称性、全等或相似关系，确定图形中含有的特殊角，再利用特殊角的三角函数值，结合勾股定理、扇形面积公式等知识，建立线段或角度之间的关系，进而求解目标量。 【考点三】解直角三角形基本类型 【题型5】利用三角形边角关系解直角三角形 1．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 3．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 4．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 5．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解； （2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到线段的距离为． 6．（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 【解题思路】先分析直角三角形的已知条件，若已知一边一角，直接用三角函数定义求其他边；若已知两边，用勾股定理求第三边，再用三角函数求角；遇到折叠、平移等变换时，先根据变换性质得到相等的线段或角，再构造直角三角形求解。 【题型6】利用仰角、俯角解直角三角形 1．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 2．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可． 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是 m．（取） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点左于点，由题意得，，，，先解，再解，最后由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，） 【答案】74 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 根据题意可得，则，再通过解直角三角形求得和，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题知, ∴, 在， ∴, ∴, 在中，, ∴, ∴． 故答案为：74． 5．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 6．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 【解题思路】先根据仰角、俯角的定义，结合题意画出几何图形，通过作垂线构造直角三角形，将实际问题中的距离、高度转化为直角三角形的边长，再利用三角函数的定义列出关系式，代入已知数据计算出目标量。 【题型7】利用坡角、坡度、坡比解直角三角形 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，过C作于F，于G，则四边形是矩形．解，得（米），设米，解，得出米．再解，根据，求出，即可求解． 【详解】解：过C作于F，于G，如图所示： 则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度，米， ∴（米），（米）， 设米． 在中，， ∴米． 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 故选：D． 3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米． 【答案】/ 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形． 如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点， 则， 在中，， 设米，米， ， ， 米，米， ， （米）， （米）， 答：大树的高度为米． 故答案为：． 4．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，小明在大楼米高即米的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度即为，点，，，，在同一个平面上，点、、在同一条直线上，且丄则山坡坡角即的度数等于 度；、两点间的距离等于 结果精确到米，参考数据：． 【答案】 米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、坡度，根据山坡的坡度，利用正切即可求出的度数；根据俯角的度数可以求出，从而可知是等腰直角三角形，即，在直角三角形中求出的长度，即为、两点间的距离． 【详解】解：山坡的坡度即为， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作， 由题意可知，，， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 米， 米． 故答案为：米． 5．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 【解题思路】先明确坡度（坡比）是铅直高度与水平宽度的比值，且等于坡角的正切值，再根据题意构造直角三角形，将斜坡长度、高度、水平宽度转化为直角三角形的边，利用三角函数或勾股定理建立等式，求解未知量。 【题型8】利用方位角解直角三角形 1．（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可． 【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 即点到的距离约为， 故选：C． 2．（2025·湖南·模拟预测）小颖在国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为（   ）（参考数据：）． A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点P作，垂足为C， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴点P到赛道的距离约为86.6米， 故选：B． 3．（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过Q作于B，在和中，根据正切的定义可得出，，结合，可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 【答案】75 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解； （2）在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【解题思路】先根据方位角的描述，准确画出图形，确定观测点与目标点的位置关系，通过作垂线构造一个或多个直角三角形，再结合已知的边长或角度，利用三角函数的定义，逐步推导计算出目标线段的长度或角度。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 解直角三角形中考常考点题型分类专题（3大考点8类题型） 目录 【考点一】三角函数定义 1 【题型1】求锐角三角函数值 1 【题型2】利用锐角三角函数定义求值 10 【考点二】特殊角三角函数值 18 【题型3】利用特殊角三角函数值进行运算 18 【题型4】几何中特殊角三角函数与几何综合 21 【考点三】解直角三角形基本类型 28 【题型5】利用三角形边角关系解直角三角形 28 【题型6】利用仰角、俯角解直角三角形 36 【题型7】利用坡角、坡度、坡比解直角三角形 42 【题型8】利用方位角解直角三角形 49 【考点一】三角函数定义 【题型1】求锐角三角函数值 1．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 过点作，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 5．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可． 【详解】解：∵折叠， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 6．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 7．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． （1）直接根据矩形的判定证明即可； （2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得，．进而可得，再根据等腰三角形的判定得到，过点O作于点F，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得，，，然后利用正切定义求解即可． 【详解】（1）证明：因为四边形是平行四边形，且， 所以四边形是矩形． 所以； （2）解：在中，，， 所以， 因为四边形是矩形， 所以，． 因为，所以． 过点O作于点F，则， 所以， 在中，， 所以． 8．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【解题思路】解题时先利用矩形、圆、折叠等图形的性质，结合勾股定理或相似三角形的判定条件，求出相关线段的长度，再确定所求锐角所在的直角三角形，最后根据三角函数的定义（正弦、余弦、正切）计算出对应的值。 【题型2】利用锐角三角函数定义求值 1．（2024·四川·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（    ）    A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD． 【详解】解：在中，，， ∴ ∴ 由勾股定理得, 过点D作于点E，如图，    ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 在中, ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键． 2．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    【答案】5 【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据折叠可知，可知，， 则，在中，，则， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， 即：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键． 4．（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    【答案】 【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果． 【详解】解：过点A作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键． 5．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知正方形和正方形，点G在上，与交于点H，，正方形的边长为8，则的长为 ．    【答案】10 【分析】根据正切的概念和正方形的性质，求得的长度，再根据勾股定理求得的长度，证明，求得，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：正方形和正方形， ，， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， 在中，， 在中，， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，正切的概念，熟知正切的概念再进行角度转换是解题的关键． 6．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    【答案】 【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴, ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【解题思路】先根据已知的三角函数值，结合直角三角形的边角关系，求出部分线段的长度，必要时通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理或相似三角形的性质，推导计算出目标线段的长度。 【考点二】特殊角三角函数值 【题型3】利用特殊角三角函数值进行运算 1．（2024·甘肃甘南·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【分析】本题考查了含特殊角三角函数值的混合运算，求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， 数轴表示为： 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先把原式括号里的式子通分，然后根据约分的方法和分式的性质进行化简，最后代入计算． 【详解】解： 原式. 3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）（）计算：； （）已知，求代数式的值． 【答案】（）；（）． 【分析】（）利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解； （）由得，化简代数式可得，代入计算即可求解； 本题考查了实数的混合运算，代数式化简求值，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ， ； （）∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 4．（2024·四川凉山·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解： ． 5．（2024·云南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简是解题的关键．根据相关运算法则分别进行计算，再进行加减运算，即可解题． 【详解】解：， ， ． 6．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，求不等式组的解集，掌握实数的运算法则，不等式的性质是关键 （1）先计算负整数指数幂，求一个数的立方根，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算有理数的乘方运算，最后再进行加减运算即可． （2）根据不等式的性质分别求出解集，表示在数轴上，根据公共部分即为不等式组解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示为： 【解题思路】先牢记 30°、45°、60° 的三角函数值，再按照实数混合运算的顺序，依次处理零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简等内容，最后代入特殊角的三角函数值进行加减乘除运算，得出结果。 【题型4】几何中特殊角三角函数与几何综合 1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：如图所示，过点B作轴，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴，B，D三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将其代入得：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 2．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，由可得，可得，而，可得为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，    ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， ∴多边形的边数为：， 故选B 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 3．（2023·四川成都·中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73）    【答案】184 【分析】过点O作的垂线段，交于点，根据直角三角形的边长关系求出的角度，阴影面积即为扇形的面积减去三角形的面积，随机可以求出容纳观众的数量． 【详解】解：如图，过点O作的垂线段，交于点，      圆心O到栏杆的距离是5米， 米， ， ，米， ， ， ， 可容纳的观众 阴影部分面积（人）， 最多可容纳184名观众同时观看演出， 故答案为：184． 【点睛】本题考查了弓形的面积，根据特殊角三角函数值求角的度数，熟知扇形面积公式是解题的关键． 4．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 6．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； （2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 根据题意，四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵宽度相等，即，且， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点作于点， 根据题意，， ∵， ∴， 由（1）可得四边形是菱形， ∴， 在中，， 即， ∴． 【解题思路】先结合图形的对称性、全等或相似关系，确定图形中含有的特殊角，再利用特殊角的三角函数值，结合勾股定理、扇形面积公式等知识，建立线段或角度之间的关系，进而求解目标量。 【考点三】解直角三角形基本类型 【题型5】利用三角形边角关系解直角三角形 1．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 3．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 4．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 5．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解； （2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到线段的距离为． 6．（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 【解题思路】先分析直角三角形的已知条件，若已知一边一角，直接用三角函数定义求其他边；若已知两边，用勾股定理求第三边，再用三角函数求角；遇到折叠、平移等变换时，先根据变换性质得到相等的线段或角，再构造直角三角形求解。 【题型6】利用仰角、俯角解直角三角形 1．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 2．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可． 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是 m．（取） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点左于点，由题意得，，，，先解，再解，最后由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，） 【答案】74 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 根据题意可得，则，再通过解直角三角形求得和，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题知, ∴, 在， ∴, ∴, 在中，, ∴, ∴． 故答案为：74． 5．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 6．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 【解题思路】先根据仰角、俯角的定义，结合题意画出几何图形，通过作垂线构造直角三角形，将实际问题中的距离、高度转化为直角三角形的边长，再利用三角函数的定义列出关系式，代入已知数据计算出目标量。 【题型7】利用坡角、坡度、坡比解直角三角形 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，过C作于F，于G，则四边形是矩形．解，得（米），设米，解，得出米．再解，根据，求出，即可求解． 【详解】解：过C作于F，于G，如图所示： 则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度，米， ∴（米），（米）， 设米． 在中，， ∴米． 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 故选：D． 3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米． 【答案】/ 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形． 如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点， 则， 在中，， 设米，米， ， ， 米，米， ， （米）， （米）， 答：大树的高度为米． 故答案为：． 4．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，小明在大楼米高即米的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度即为，点，，，，在同一个平面上，点、、在同一条直线上，且丄则山坡坡角即的度数等于 度；、两点间的距离等于 结果精确到米，参考数据：． 【答案】 米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、坡度，根据山坡的坡度，利用正切即可求出的度数；根据俯角的度数可以求出，从而可知是等腰直角三角形，即，在直角三角形中求出的长度，即为、两点间的距离． 【详解】解：山坡的坡度即为， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作， 由题意可知，，， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 米， 米． 故答案为：米． 5．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 【解题思路】先明确坡度（坡比）是铅直高度与水平宽度的比值，且等于坡角的正切值，再根据题意构造直角三角形，将斜坡长度、高度、水平宽度转化为直角三角形的边，利用三角函数或勾股定理建立等式，求解未知量。 【题型8】利用方位角解直角三角形 1．（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可． 【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 即点到的距离约为， 故选：C． 2．（2025·湖南·模拟预测）小颖在国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为（   ）（参考数据：）． A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点P作，垂足为C， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴点P到赛道的距离约为86.6米， 故选：B． 3．（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过Q作于B，在和中，根据正切的定义可得出，，结合，可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 【答案】75 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解； （2）在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【解题思路】先根据方位角的描述，准确画出图形，确定观测点与目标点的位置关系，通过作垂线构造一个或多个直角三角形，再结合已知的边长或角度，利用三角函数的定义，逐步推导计算出目标线段的长度或角度。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $