专题 5.5 二次函数单元检测卷（学情检测培优卷）- 2025-2026学年苏科版九年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.5 二次函数单元检测卷（学情检测培优卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、最高次为1次，不是二次函数，不符合题意； B、中为分式，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、中为分式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南通·月考）将抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的顶点坐标，熟练掌握该知识点是解题的关键．先求得原函数的顶点坐标，然后将其往右平移2个单位即可得到答案． 【详解】解：的顶点坐标为 所以将抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线的顶点坐标为 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的性质即可求解；直接计算各点纵坐标值并比较大小即可． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 对于，， 对于 ，， 对于，， ∴ ，，， ∴ ， 故答案为：C． 4．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）在同一平面直角坐标系内，函数和的图像大致是（） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是一次函数与二次函数图象的综合，熟悉这两种函数的图象与性质是关键．根据二次函数开口方向、一次函数的升降，分别讨论和的情况下的函数图像，即可判断出正确答案． 【详解】解：若，则开口向上，斜率为负，B选项符合； 若，开口向下，斜率为正，没有符合的选项； 综上所述，只有B选项符合其中一种情况， 故选：B． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴为直线，分、和，三种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上， 当时，函数值y的最小值为， ①当时，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ②当，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ③当，则最小值在处， 此时， 解得或（不符合题意，舍去）； ∴ 常数m的值为2． 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏南通·月考）下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 先由表格中和时值相等，可知对称轴为，结合对称轴公式得出，再结合时，可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式可得其顶点及与轴的交点，从而得到答案． 【详解】解：∵点和关于对称轴对称， ∴对称轴， ∴， ∴， ∴化简为． 根据表中的信息得，当时，，抛物线经过点 得：， ， ∴，， ∴ ∵， ∴二次函数开口向上 当时， 当时，有最小值， 当时，， 当时，， ∵直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：B． 7．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图抛物线，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，通过图象确定不等式的解集是解题的关键． 首先明确不等式的解集代表的是抛物线的图象在x轴下方的部分，再根据图象得到解集即可． 【详解】解：由图可知，不等式的解集是． 故选：C 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）数学老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．同学们发现：洒水少了“发芽率”低，洒水多了要烂根，也会影响“发芽率”．通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：升）近似地满足函数关系（，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳的洒水量为（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将，，代入得： ，解得：， ∴满足函数关系为， ∴当时，取到最大值， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，答案写在答题卡上） 9．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为， 平移后抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·北京·月考）抛物线上三点分别为，则的大小关系为 （用“>”号连接）． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据抛物线解析式，分别将点B、点C和点A的横坐标代入解析式，得出纵坐标的值，比较大小即可． 【详解】解：由抛物线解析式可得， 当时，； 当时，； 当时，． 由于为常数，故，即． 故答案为． 11．（25-26九年级上·北京·期中）已知抛物线经过点，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线的对称轴．抛物线的对称轴为，再根据已知条件，将代入抛物线解析式，即可，据此求解即可． 【详解】解：将代入抛物线解析式可得， ， 移项整理得， 该抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图像时，列了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 根据表格信息回答问题：该二次函数在时， 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次函数的对称性并结合表格，可得对称轴为，进而可得该二次函数在时，或． 【详解】解：观察表格可知，当或时，， 故根据二次函数图像的对称性，，是抛物线上两对称点， 即对称轴为， ∴根据对称性，与时，函数值相等，都是， ∴该二次函数在时，或， 故答案为：或． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若，则a的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，勾股定理，根据题意得到点A、B坐标是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点坐标，利用勾股定理建立方程，先求出点的纵坐标，再代入抛物线方程求解的值． 【详解】令，得， 解得，， 所以点，点． 设点，代入抛物线方程得． 在中，， 由勾股定理得． 计算得， ， ． 所以，即， 解得，， 所以或． 因为，或， 解得或． 14．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，将二次函数位于x轴下方的图像沿x轴翻折，再得到一个新函数的图像当直线与新函数图像有4个公共点时，a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合、折叠的性质等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 由二次函数的性质可得抛物线的顶点为，则新函数的图像与y轴的交点坐标为，然后根据图像确定a的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的顶点为， ∴将二次函数位于x轴下方的图像沿x轴翻折，再得到一个新函数的图像与y轴的交点坐标为， 如图： 由函数图像可得：当新函数的图像当直线与新函数图像有4个公共点时，a的取值范围是． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏南通·月考）已知点，点（其中）都在抛物线（c为常数）上，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的性质，把点A、B的坐标代入，并化简得，然后整体代入，可得出，根据二次函数的对称性得出，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵点，点（其中）都在抛物线（c为常数）上， ∴，对称轴为直线， 整理得，， ∴ ， ∵点，点（其中）都在抛物线（c为常数）上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点．点C的坐标为，动点P在抛物线上运动，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴上时，点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是明确点的横、纵坐标相等． 过点作轴于点，轴于点，可证明，则，将点代入抛物线解析式，即可求得点坐标，进一步求得，即可求得点的坐标． 【详解】解：令，则， 解得或， ，， 过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ，即， 解得或（舍去）， ， ，， 点的坐标为， ， ， ． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；根据函数图象可得时，；由函数的图象可知，，再由可知；求得函数解析式即可解答；由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】解：①由条件可知：对称轴为直线，即，得到，故①正确，符合题意； ②当时，， 由图象可得，故②正确，符合题意； ③抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ，，， 故，③错误，不符合题意； ④根据题意可设二次函数解析式为， 把代入可得， 解得， ， 当时，， 即抛物线顶点，故④错误，不符合题意； ⑤根据，可设函数解析式为， 将点代入， 可得 ， ， 如图，过点作轴交于点， 设直线，过点，， 则 解得：， 直线 ， 直线． 由条件可知：， ， ， 当时，的面积最大， 故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②⑤． 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（每题 4 分，共 8 分）（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数 (1)若，，当时，求y的取值范围； (2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键 （1）先把解析式进行配方，再求顶点，然后根据函数的性质求解； （2）根据函数的图象和系数的关系，推出对称轴在轴的右侧，根据增减性和顶点的纵坐标为3，进行求解即可． 【详解】（1）解：，时， ， 抛物线的开口向下，顶点坐标为 ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 中含有顶点， 当时，y有最大值7， 当时，y有最小值为6， 当时， （2）解：时，y的最大值为2；时，y的最大值为3， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， 抛物线开口向下，时，y的最大值为2， ， 又时，y的最大值为3， ， ， ， 二次函数的表达式为 20．（6分）（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知：关于x的方程，其中k是常数． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别是某矩形的两条邻边的长，试求这个矩形面积的最大值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，二次函数的性质； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，结合矩形面积公式列式二次函数，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程有两个实数根，， ∴， 又∵方程的两个实数根分别是某矩形的两条邻边的长， ∴， ∵， ∴当，矩形面积有最大值，最大值为． 21.（6分）（24-25九年级下·江苏南京·期末）二次函数的图象经过点，顶点坐标为 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围； (3)直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 【答案】(1) (2) (3)3或4 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式． （1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为． （2）∵二次函数的表达式为． ∴当时，， 当时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； （3）解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点即， 当时，， ∴与y轴有一个交点即，符合题意； 当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 22．（6分）（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一个矩形窗框的示意图，它由两个小矩形组成，现工人计划用长为的铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为，窗户的透光面积为（铝合金框条的宽度不计）． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当，时，窗户的透光面积达到最大，最大面积是 【分析】（1）根据矩形的面积公式可求得函数解析式，根据长宽均大于求得取值范围； （2）将（1）中解析式配成顶点式，即可求最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 关于的函数表达式为． ，， 自变量的取值范围为． （2）解：由（1），得． ，， 当时，有最大值，最大值为． 此时，，即． 故当，时， 窗户的透光面积达到最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题关键． 23．（8分）（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】(1)， (2)每件T恤衫应降价15元 (3)每件应降价10元 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程或函数表达式是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． （3）设利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可多售出件； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． （3）解：设利润为元，由题意得，， ∵， ∴当时，使每天获得的利润最大， ∴每件应降价10元． 24．（10分）（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． (1)求点和点的坐标； (2)当时，抛物线的取值范围是_______； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)， (2) (3)存在；， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数与方程的关系、几何中角度相等的条件转化，涉及全等三角形和两直线平行和内错角相等；解题的关键是将角度相等的几何条件转化为代数关系． （1）联立抛物线方程与直线方程解出点坐标；将抛物线化为顶点式或利用顶点公式求出点坐标； （2）确定抛物线在的递增或递减情况，计算端点及顶点的函数值，比较得出范围； （3）当在直线上方时，构造，利用两直线平行，内错角相等，计算点坐标；当在直线下方，构造全等三角形，，计算点坐标． 【详解】（1）解：求点和点的坐标 联立：解得或 故点． 抛物线化为顶点式：， 故点． （2）抛物线开口向上，对称轴为， 当 取值范围内时，时，（最小值）； 当时，随增大而减小，时，； 当时，随增大而增大，时， 比较得：最小值为，最大值为， 故的取值范围为 ． （3）解：分两种情况讨论： ①当在直线上方时， 过点作， 设，， 解得，则 令，，点 ∵，直线与轴交于点，直线与轴交于点 ∴可将直线是直线沿方向平移（即向左平移个单位） 则 联立：解得或（舍） 故点． ②当在直线下方， ， 过点作轴于点，延长与交于 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ 又∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点 设，，则 联立：，解得或（舍） 故点． 综上所述，，． 25．（10分）（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，已知二次函数的图像与直线相交于两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1) ， 的面积 ； (2)在二次函数 的图像上存在点，使得的面积等于的面积，请求出所有符合题意的点的坐标． (3)若是该二次函数 上两点，为线段的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，且，设两点的横坐标分别为 ．在点运动过程中，的值是否为定值，如果是，请求出来，如果不是，请说明理由．【注：两点、的中点公式为 【答案】(1)， (2)或 (3)是定值，定值为 【分析】（）利用待定系数法可求出的值，再联立函数解析式求出点的坐标，进而根据求出的面积即可； （）设，由题意可得，解方程即可求解； （）由题意可得，，即得，，即得到，得到，即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入二次函数，得， ∴， ∴二次函数， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：设， 由题意得，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解：的值是定值，定值为，理由如下： 由题意可得，，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 的值是定值，定值为． 26．（12分）（24-25九年级下·江苏扬州·月考）【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： (1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； (2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值． ②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①最大值为；②G点坐标为或或或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，由图可知抛物线经过原点，即，求出a的值即可求函数的解析式； （2）①由题可知是等腰直角三角形，则，设，则，，当时，的最大值为，即可得出问题答案； ②由①可得，然后根据题意可分当时，当时，然后根据正方形的性质可分类进行求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 当时，的最大值为， ∴的最大值为； ②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由①可得， ∴当时，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴H点的纵坐标为5， ∴， 解得或， ∵G点在直线上， ∴或； 当时， ∵， ∴， 设，，如图，连接，交于点M， ∴， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述：G点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.5 二次函数单元检测卷（学情检测培优卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·月考）将抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）在同一平面直角坐标系内，函数和的图像大致是（） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏南通·月考）下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值， 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图抛物线，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D．或 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）数学老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．同学们发现：洒水少了“发芽率”低，洒水多了要烂根，也会影响“发芽率”．通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：升）近似地满足函数关系（，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳的洒水量为（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，答案写在答题卡上） 9．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为 ． 10．（25-26九年级上·北京·月考）抛物线上三点分别为，则的大小关系为 （用“>”号连接）． 11．（25-26九年级上·北京·期中）已知抛物线经过点，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图像时，列了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 根据表格信息回答问题：该二次函数在时， 13．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若，则a的值是 ． 14．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为 ． 15．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，将二次函数位于x轴下方的图像沿x轴翻折，再得到一个新函数的图像当直线与新函数图像有4个公共点时，a的取值范围是 ． 16．（25-26九年级上·江苏南通·月考）已知点，点（其中）都在抛物线（c为常数）上，则代数式的值为 ． 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点．点C的坐标为，动点P在抛物线上运动，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴上时，点D的坐标为 ． 18．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有 ．（只填序号） 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（每题 4 分，共 8 分）（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数 (1)若，，当时，求y的取值范围； (2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 20．（6分）（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知：关于x的方程，其中k是常数． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别是某矩形的两条邻边的长，试求这个矩形面积的最大值． 21.（6分）（24-25九年级下·江苏南京·期末）二次函数的图象经过点，顶点坐标为 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围； (3)直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 22．（6分）（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一个矩形窗框的示意图，它由两个小矩形组成，现工人计划用长为的铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为，窗户的透光面积为（铝合金框条的宽度不计）． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少？ 23．（8分）（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 24．（10分）（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． (1)求点和点的坐标； (2)当时，抛物线的取值范围是_______； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； 25．（10分）（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，已知二次函数的图像与直线相交于两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1) ， 的面积 ； (2)在二次函数 的图像上存在点，使得的面积等于的面积，请求出所有符合题意的点的坐标． (3)若是该二次函数 上两点，为线段的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，且，设两点的横坐标分别为 ．在点运动过程中，的值是否为定值，如果是，请求出来，如果不是，请说明理由．【注：两点、的中点公式为 26．（12分）（24-25九年级下·江苏扬州·月考）【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： (1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； (2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值． ②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $