专题 5.4 二次函数单元检测卷（学情检测基础卷）- 2025-2026学年苏科版九年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.4 二次函数单元检测卷（学情检测基础卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知二次函数的图象经过点和点，则该抛物线对称轴为（    ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）把二次函数配方，可得（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津南开·月考）由二次函数可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 5．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数（）的图像的交点坐标为，，则不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 8．（23-24九年级上·湖北宜昌·月考）如图，抛物线与轴相交于两点，在保持抛物线的形状与大小不变的前提下，顶点在线段上移动，点的坐标分别为和．当顶点移动到点时，点恰好与原点重合．在整个移动过程中，点移动的距离为(   ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，答案写在答题卡上） 9．如果函数是二次函数，那么k的值一定是 ． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）请写出一个二次函数表达式，使其图象开口向下，且与y轴交于负半轴： ． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点为 ． 12．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线的解析式为 ． 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）若二次函数经过点，，则的值是 ． 14．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知某二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线相同，且其顶点坐标是，则该二次函数的表达式是 ． 15．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ． 16．（25-26九年级上·江苏南通·月考）若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是 ．（用“”号连接） 17．（24-25九年级上·河南信阳·月考）定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是 ． 18．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（ 8 分）（24-25九年级上·江苏扬州·月考）已知 是二次函数． (1)当时，随的增大而减小，求的值． (2)若有最大值，求该函数的表达式． 20．（6分）（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知函数（m是常数）． (1)当时，该函数的图象与直线有几个公共点？说明理由； (2)若该函数的图象与x轴只有一个公共点，求m的值． 21.（6分）（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 22．（8分）（25-26九年级上·江苏徐州·月考）商场销售某种商品，平均每天可售出4件，每件盈利10元；为了尽快减少库存，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，该商品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． (1)如果商场通过销售商品盈利64元，那么该商品的单价应降多少元？ (2)该商品的单价降了多少元时，商场通过销售该商品每天盈利最多？最多盈利多少元？ 23．（8分）（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（10分）（2015·广东东莞·一模）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 25．（10分）（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 26．（12分）（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.4 二次函数单元检测卷（学情检测基础卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中）进行判断． 【详解】解：二次函数需满足：整式函数，且最高次项为二次． A：，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； B：，含有分式，不是整式，不符合二次函数的定义； C：，符合二次函数的定义； D：，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知二次函数的图象经过点和点，则该抛物线对称轴为（    ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，熟练掌握二次函数图象上纵坐标相同的两点关于对称轴对称是解答本题的关键． 二次函数图象上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标均为2， ∴对称轴为直线． ∴该抛物线对称轴为直线． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）把二次函数配方，可得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，把一般式化为顶点式，使用配方法将二次函数化为顶点形式，再结合选项进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·天津南开·月考）由二次函数可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得出图象的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，且 ∴图象的开口向上， 故A选项不符合题意； 由得对称轴为直线，顶点坐标为， 故B选项符合题意，C选项不符合题意； ∵图象的开口向上，直线， ∴当时，随的增大而增大， 故D选项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质．由于二次函数图象经过点和，可设交点式，再代入点表达a的值，然后计算各选项中a的值并比较大小，即可作答． 【详解】解：∵图象经过和， ∴设二次函数为 ， ∵图象经过点， ∴， ∴， 当，则， 当，， 当，， 当，， ∵， 故a的值最大为， 故选：B． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数（）的图像的交点坐标为，，则不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，掌握相关知识是解题的关键；根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线平行于轴， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为且， 即， 即不等式的解集为二次函数（）的图像在直线上方时对应的的取值范围， ∴或， 故选：C． 8．（23-24九年级上·湖北宜昌·月考）如图，抛物线与轴相交于两点，在保持抛物线的形状与大小不变的前提下，顶点在线段上移动，点的坐标分别为和．当顶点移动到点时，点恰好与原点重合．在整个移动过程中，点移动的距离为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意当抛物线的顶点在点时，可得抛物线的解析式为，由此可求出的坐标，当抛物线的顶点为时，抛物线的解析式为，可求出此时的的坐标，由此即可求解． 【详解】解：顶点在线段上移动，点的坐标分别为和， 当抛物线的顶点在点时，设抛物线的解析式为，此时，点， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为， 令，则，解得，，， ∴， ∵保持抛物线的形状与大小不变， ∴不变， 当抛物线的顶点为时，抛物线的解析式为， 令，则，解得，，， ∴此时的点，， ∴整个移动过程中，点移动的距离为， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握待定系数法求二次函数解析式，图象平移的规律，两点之间距离的计算方法是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，答案写在答题卡上） 9．如果函数是二次函数，那么k的值一定是 ． 【答案】0 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得； 故答案为：0． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）请写出一个二次函数表达式，使其图象开口向下，且与y轴交于负半轴： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设二次函数的解析式为，由题意可得出，，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， ∵二次函数图象开口向下，且与y轴交于负半轴， ∴，， ∴二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称性， 先求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出答案即可. 【详解】解：二次函数的对称轴是， 设另一个交点坐标为，根据题意，得 ， 解得， 所以另一个交点的坐标为. 故答案为：. 12．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到抛物线的解析式为，即． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）若二次函数经过点，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；根据二次函数与x轴的交点对应一元二次方程根的关系，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：二次函数经过点和，则方程的两个根为和； 由根与系数的关系，得，， 所以； 故答案为． 14．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知某二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线相同，且其顶点坐标是，则该二次函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由于二次函数的图象形状和开口方向相同，则二次项系数相等；已知顶点坐标，可直接用顶点式表示函数表达式． 【详解】解：二次函数的图象形状、开口方向与抛物线 相同， 二次项系数． 又顶点坐标为， 设二次函数表达式为顶点式， 代入，，，得 故答案为． 15．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键． 结合图象，当一次函数在二次函数上方，此时二次函数值小于一次函数值，即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵， 即二次函数值小于一次函数值， 抛物线与直线交点为，， 当时，一次函数在二次函数上方，此时二次函数值小于一次函数值， 即的解集为， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏南通·月考）若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可推出离对称轴越远，函数值越大，求出三个点到对称轴的距离，并比较大小即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵为二次函数的图象上的三点，且， ∴， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·河南信阳·月考）定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过，则得②的判断；根据图象经过可得到之间的关系，从而对②作判断；利用，可判断③；从图象与y轴的交点B在和之间可以判断c的大小可判断④，由此即可得出结论． 【详解】①由抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线， ∴，， 又∵， ∴，故①是正确的； ②二次函数的图象与x轴交于点， ∴二次函数的图象与x轴另一交点为， ∴当时，，故②是错误的； ③∵二次函数的图象与y轴的交点在的下方， ∴最小值为， ∵， ∴，故③正确； ④∵图象与y轴的交点B在和之间， ∴， ，， 且二次函数的图象与x轴交于点， ∴当时，， 即， ∴， ∴．故④错误； 故答案为：①③． 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（ 8 分）（24-25九年级上·江苏扬州·月考）已知 是二次函数． (1)当时，随的增大而减小，求的值． (2)若有最大值，求该函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的定义和性质，根据二次函数的定义和性质求出的值是解题的关键． （1）根据二次函数的定义得到，，解得或，进而得到； （2）根据二次函数的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： 是二次函数， ，， 或， 当时，随的增大而减小， 函数图象开口向上， ， ； （2）解：有最大值， 函数图象开口向下， ， ， 该函数的表达式为． 20．（6分）（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知函数（m是常数）． (1)当时，该函数的图象与直线有几个公共点？说明理由； (2)若该函数的图象与x轴只有一个公共点，求m的值． 【答案】(1)有1个公共点，理由见解析 (2)m的值为0或 【分析】此题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点及根的判别式，解题关键在于要注意分类讨论，不要漏解． （1）转化为求方程组的解，即可判断； （2）分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用判别式，转化为方程即可解决问题； 【详解】（1）解：当时，函数解析式为， 联立得：， 解得， ∴该函数的图象与直线有1个公共点． （2）解：①当时，该函数解析式为，此时函数图象与x轴只有一个交点； ②当时，若函数的图象与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 综上，若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或． 21.（6分）（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】(1) (2)当为米，围成的菜地面积最大． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答． （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 22．（8分）（25-26九年级上·江苏徐州·月考）商场销售某种商品，平均每天可售出4件，每件盈利10元；为了尽快减少库存，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，该商品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． (1)如果商场通过销售商品盈利64元，那么该商品的单价应降多少元？ (2)该商品的单价降了多少元时，商场通过销售该商品每天盈利最多？最多盈利多少元？ 【答案】(1)该商品的单价应降6元； (2)该商品的单价降了4元时，商场通过销售该商品每天盈利最多，最多盈利72元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的销售盈利问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设商品的单价应降元，根据平均每天可售出4件，每件盈利10元，该商品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，进行列式计算，即可作答． （2）根据利润等于单件利润乘数量，进行列式计算，再结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设商品的单价应降元， 根据题意得：， 解得：或， 商场为了尽快减少库存， ， 答：该商品的单价应降6元； （2）解：设商场的总利润为， 则 ， ∵， ∴开口方向向下，在对称轴处取得最大值， 当时，， 答：该商品的单价降了4元时，商场通过销售该商品每天盈利最多，最多盈利72元． 23．（8分）（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 24．（10分）（2015·广东东莞·一模）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，(4，2) 【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据二次函数解析式，利用二次函数的性质即可得出二次函数图象的顶点坐标，再代入即可得出点D的坐标； （3）根据两点之间线段最短，找出使得的周长最小的点C的位置，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再代入即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得解得， ∴二次函数的解析式为 （2）由，得二次函数图象的顶点坐标为． 令，得，解得，， ∴D点的坐标为； （3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小． 连接，如图， ∵点C在二次函数的对称轴上， ，，的周长，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，最小， 此时，由于是定值，因此的周长最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得’解得 ∴直线的解析式为．当时，， ∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；（3）利用两点之间线段最短确定点C的位置． 25．（10分）（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ． (1)求k的值； (2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值； (3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围． 【答案】(1)k的值为 (2)h的最大值为 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图形上点坐标的特征，解题的关键是用含m的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入得，解得k的值为． （2）根据题意，轴且在抛物线上，设，则，求出，根据二次函数性质可得答案． （3）求出，，把M向上平移个单位得到点，由线段与二次函数的图象有公共点，知，即可解得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴k的值为． （2）根据题意，轴且在抛物线上，如图： 由（1）知直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，h取最大值， ∴h的最大值为． （3）由得或， ∴，， 同（2）当M的横坐标为m时，， ∵把M向上平移个单位得到点， ∴， ∵线段与二次函数的图象有公共点， ∴， ∴， 解得或， ∵点M在线段上，， ∴或． 26．（12分）（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)有最大值，此时； (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解； （）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设解析式为且过，， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴， ∴设，则， ∴， ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由， 如图， ∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴或； 当时， ∴， 解得， ∴； 综上：点的坐标为或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $