1.1.1 两角和与差的余弦公式（第2课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期中职数学人教版基础拓展模块

1.1.1 两角和与差的余弦公式（第 2 课时） 【学情分析】 学生在前面的课程中，学习了三角函数，知道了特殊角的三角函数值、三角函数基本关系式、诱导公式、两角和的余弦公式，为本节课的学习打下一定的基础. 从学科核心素养来看，学生具备一定的逻辑推理、数学抽象素养，具备一定的推理能力和运算能力. 学生在三角函数的推理和运算方面能力比较薄弱，教学时需注意低起点、慢慢来、多示范、多练习，逐步提高学生的推理和运算能力． 【教学目标】 （1） 会推导两角差的余弦公式，初步理解公式的结构并能简单应用. （2） 通过公式的推导及应用，培养学生类比推理的能力，理解化归思想在三角变换中的应用．能用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值．通过公式的推导，在培养学生三大能力的基础上，着重培养学生获得数学知识的能力和数学交流的能力. （3） 通过观察、对比，引导学生体会公式的对称美，体验成功的喜悦. 通过教师的启发引导，培养学生不怕困难、勇于探索、勇于创新的求知精神． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点和难点是两角差的余弦公式的推导及应用． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 复习 两角和的余弦公式： cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Ｃα＋β） 复习旧知． 【问题】 思考：如何得到两角差的余弦公式？ cos（α－β）＝？因为α－β＝α＋（－β）， 所以 cos（α－β）＝cos［α＋（－β）］ ＝cos αcos（－β）－sin αsin（－β） ＝cos αcos β＋sin αsin β． 若把锐角α，β推广到任意角，此公式仍然成立． 于是，对于任意角α，β，我们可以得到如下公式： cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β． （Ｃα－β）例 1 求 cos 15°的精确值． 解 cos 15°＝cos(60°－45°) ＝cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45° ＝1 × 2 + 3 × 2 2 2 2 2 练习 1 求下列各式的精确值： （1）cos（-15°）； （2）cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°； 例 2 已知 cosα=−4，且π<α<π，求 cos(π −α)的值． 5 2 6 解 因为 cosα=−4，且π<α<π，所以 5 2 sin = 1 − − 4 2 = 3， 5 5 练习 2 已知 sin α=2，α∈(π，π)，求 cos(π-α)的值． 3 2 3 练习 3 利用公式Ｃα＋β，Ｃα－β证明： 启发学生思 考，如何根据 两角和的余弦 公式推导出两 角差的余弦公 式． 借助两角和 的余弦公式和 诱导公式进行 推导，这种在 原有认知基础 上的推导，学 生 更 容 易 理 解． 通过例题让 学 生 熟 悉 公 式． 新课 巩固练习． 结合三角函 数 基 本 关 系 式、诱导公式， 帮助学生初步 掌握两角差的 余弦公式的运 用，锻炼学生 解决相关数学 问题的能力． 巩固练习． （1） cos（－α＋π）＝sin α； 2 （2） cos（－α＋π）＝－cos α． 练习 4 已知 sin α= 15，cos β= − 5 ，α∈(π，π)，β∈(π， 17 13 2 2 π)，求 cos(α＋β)，cos(α－β)的值． 小结 引导学生小结． 两角差的余弦公式： cos（α-β）＝cos αcos β+sin αsin β． （Ｃα-β） 回顾学习的过程，总结本节课的收获． 作业 教材第 10 页，习题第 2（3）（4）题． 巩固知识． 学科网（北京）股份有限公司 $