1.1.1 两角和与差的余弦公式（第 1 课时） 教学设计-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版基础拓展模块一

1.1.1 两角和与差的余弦公式（第 1 课时） 【学情分析】 学生在前面的课程中，学习了三角函数，知道了特殊角的三角函数值、三角函数基本关系式、诱导公式，为本节课的学习打下一定的基础. 从学科核心素养来看，学生具备一定的逻辑推理和数学抽象素养，具备一定的推理能力和运算能力. 学生在三角函数的推理和运算方面能力比较薄弱，教学时需注意低起点、慢慢来、多示范、多练习，逐步提升学生的推理和运算能力．本节课先从两角和的余弦公式入手，便于学生理解，为后续的差、倍、半角公式的学习打好基础． 【教学目标】 （1） 会推导两角和的余弦公式，初步理解公式的结构并能简单应用. （2） 通过公式的推导及应用，培养学生类比推理的能力，理解化归思想在三角变换中的应用．能用余弦的和角公式进行简单的三角函数式的化简、求值．通过公式的推导，在培养学生三大能力的基础上，着重培养学生获得数学知识的能力和数学交流的能力. （3） 通过观察、对比，引导学生体会公式的对称美，体验成功的喜悦. 通过教师的启发引导，培养学生不怕困难、勇于探索、勇于创新的求知精神． 【教学重点和难点】 本节课的教学重点和难点是两角和的余弦公式的推导及应用． 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 导入 本章导语中，要求同学们学完本章的内容之后，精确地算出 cos 75°的值. 事实上，我们已经知道了 30°，45°的正弦、余弦值，请同学们思考，能否根据这些值来求 cos 75°的值. 启发学生思考得到 cos75°= co（s 45°+30°），引出本节课的学习任 务． 【问题】 一般地，怎样根据α和β的三角函数值求出 cos（α+β）的值？ 我们首先研究角α和β均为锐角的情况．如上图所示，以坐标原点为中心作单位圆，并设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A（1， 0），以 Ox 为始边作角α，α＋β，－β，设它们的终边分别与单位圆相交于点 P，Q，B. 则点 P，Q，B 的坐标可分别表示为 P（cosα，sin α）， Q（cos（α＋β），sin（α＋β））， B（cos（－β），sin（－β））. 容易证得△QOA≌△POB，则 |QA| ＝ |PB| ，即 两边平方，得 2－2cos（α＋β） ＝2－2cos αcos β＋2sin αsin β， 化简，得 cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Ｃα＋β）例 1 求 cos105°的精确值． 解 cos 105°＝cos(60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝1 × 2 − 3 × 2 2 2 2 2 练习 1 求下列各式的精确值： 通过单位 圆， 将圆上 点的坐标用 α，α＋β，－ β 的三角函 数值表示， 为推导两角 和的余弦公 式提供形象 直 观 的 辅 助． 通过构造 相 似 三 角 形， 利用平 面内两点间 的距离公式 推导出两角 新课 和的余弦公 式， 数形结 合有助于学 生理解并更 好地掌握公 式的推导方 法． 通过例题 让学生熟悉 公式． （1）cos 75°； （2）cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°； （3）cos 22.5°cos 22.5°－sin 22.5°sin 22.5°； （4）cos215°－sin215°． 例 2 已知 cos α=−4，且π<α<π，求 cos(π+α)的值． 5 2 6 解 因为 cos α=−4，且π<α<π，所以 5 2 练习 2 已知 sin α=2，α∈(π，π)，求 cos(π+α)的值． 3 2 3 练习 3 利用公式cos（α＋β）证明： （1） cos（α＋π）＝－sin α； 2 （2） cos（α＋π）＝－cos α． 巩固练习． 结合三角 函数基本关 系式、诱导 公式， 帮助 学生掌握两 角和的余弦 公 式 的 应 用， 提高学 生解决相关 数学问题的 能力． 巩固练习． 小结 引导学生小结． 两角和的余弦公式： cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． 回顾学习的过程， 总结本节课的 收获． 学科网（北京）股份有限公司 $