2025-2026学年高三上学期新高考第一次模拟考试数学自编卷02

2025-2026学年高三上学期新高考第一次模拟考试数学自编卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2.若集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是( ) A． B． C．， D． 3.已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4.甲、乙、丙三名同学报名参加数学、物理、化学、生物兴趣小组.已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有（　 　） A.45种 B.81种 C.90种 D.162种 5. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数关于直线对称，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 7 8. 在三棱锥中，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知向量，，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. C. D. 10. 已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 11. 曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（ ） A. 当在第一象限时， B. 当在第四象限时， C. 直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6 D. 直线与曲线恰有4个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第13题第一空3分，第二空2分. 12. 设正整数数列满足，，则________. 13. 已知函数的图象经过，两点，若在区间上单调递减，则______；______． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （13分）为了了解某地岁居民的工资情况，研究人员随机抽取了部分居民进行调查，所得数据统计如下表所示： 工资超过3500 工资不超过3500 合计 男性居民 200 180 女性居民 280 240 合计 （1）完善上述表格并依据小概率值的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性？ （2）以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3人，求至少2人工资超过3500的概率. 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. （15分）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 17.（15分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，且点F满足DF∥CE，且DF＝3CE. （1）求直线CF与平面ADE所成角的正切值； （2）求几何体ADE-BFC的体积. 18. （17分）记的内角的对边分别为.已知，.外一点满足，且的角平分线交于点. （1）求； （2）证明：； （3）若，求. 19. （17分）已知双曲线，点在上，过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为和，记线段的中点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过的直线与有且只有一个公共点，且与交于两点． 证明：（ⅰ）； （ⅱ）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期新高考第一次模拟考试数学自编卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则，所以，. 故选：D 2.若集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是( ) A． B． C．， D． 【答案】A  【详解】由题意可得，解得<m≤. 故选A. 3.已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C  【详解】解：因为为非常数数列， 若为等比数列，则为常数， 所以为非零常数，所以数列为等差数列，充分性成立 若为等差数列，则为常数， 所以为常数，所以为等比数列，必要性成立 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件． 故选C． 4.甲、乙、丙三名同学报名参加数学、物理、化学、生物兴趣小组.已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有（　 　） A.45种 B.81种 C.90种 D.162种 【答案】C  【详解】（1）依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，所以不同放法的种数为＋＝6.故选B. （2）从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，剩余的2人，2部影片进行全排列，故共×3×2＝36种情况.故选B. （3）根据题意，4个兴趣小组中必有两个有2人选择，两个有1人选择，根据有2人选择的小组是同样的两个人还是3人分两种情况：当有2人选择的小组是同样的两个人时，有＝6×3＝18种选法；当有2人选择的小组是由3人构成时，有×××＝72种选法；所以不同的报名参加方式有18＋72＝90种选法. 故选C. 5. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球， 由题意可知，，， 所以， 故选：B 6. 若函数关于直线对称，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【详解】由题意函数关于直线对称， 故，即， 即， 即, 故需满足且，即， 则， 故选：B 7. 设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 7 【答案】C 【详解】，因为，垂足为， 所以点的轨迹是以FA为直径的圆（不包括F，A两点）， 半径，圆心为，又因为在拋场线上， 其准线为直线，过点作准线的垂线，垂足为， 则， 当四点共钱且在点下方时取等号， . 故选：C. 8. 在三棱锥中，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】如图，将三棱锥放于平行六面体中， 则，又，， 则，.又四边形，四边形为平行四边形， 则四边形，四边形为菱形. 则. 注意到， 又， 则，设PH与底面HBGC夹角为， 则 ，当且仅当时取等号，则. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知向量，，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. C. D. 【答案】ABD  【详解】解：选项A：若，则， 此时，， 因为，故，故A正确； 选项B：因为， 所以，， 因此，故，故B正确； 选项C：因为，， 取特殊值，， 则，，显然，故C错误； 选项D：，故D正确． 故选：． 10. 已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 【答案】BCD 【详解】A选项，令，则，满足为偶函数，但的图象如下，不关于直线对称，A错误； BD选项，为偶函数，故为奇函数， 即，即， 故，故点为曲线的对称中心， 故，则，故B，D正确； C选项，由题意得，令，则， 由于曲线的对称中心为，结合三次函数的图象特征可知， ，则，又，故，故C正确. 故选：BCD. 11. 曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（ ） A. 当在第一象限时， B. 当在第四象限时， C. 直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6 D. 直线与曲线恰有4个公共点 【答案】BC 【详解】当时，可化为，为椭圆的两个焦点，则，A错误. 当时，可化为，为双曲线的两个焦点，则，B正确. 当时，可化为，所以点不可能在第三象限. 当时，可化为，所以曲线由三段曲线组成，其图形如图所示， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以直线与曲线无公共点. 将代入，得， 由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为. 将代入，得，由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为，所以直线+4与曲线的所有交点的横坐标之和为，C正确. 结合双曲线与的渐近线的斜率， 由图可知直线与曲线有2个公共点， 与曲线只有1个公共点， 与曲线没有公共点， 所以直线与曲线恰有3个公共点，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第13题第一空3分，第二空2分. 12. 设正整数数列满足，，则________. 【答案】1或2 【详解】因为正整数数列满足①，，则， 则，所以，或， 由题意可得②，由①②可得， 所以，数列是周期为的周期数列， 因为，故或. 故答案：1或2. 13. 已知函数的图象经过，两点，若在区间上单调递减，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【详解】依题意，，所以， 即，解得，所以， 因，所以， 故答案为：，. 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】因为，则， 又因为，即，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得， 又为偶函数，则，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （13分）为了了解某地岁居民的工资情况，研究人员随机抽取了部分居民进行调查，所得数据统计如下表所示： 工资超过3500 工资不超过3500 合计 男性居民 200 180 女性居民 280 240 合计 （1）完善上述表格并依据小概率值的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性？ （2）以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3人，求至少2人工资超过3500的概率. 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析，不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性 （2）. 【详解】解：（1）完善表格如下表所示： 工资超过3500 工资不超过3500 合计 男性居民 200 180 380 女性居民 280 240 520 合计 480 420 900 零假设：依据小概率值的独立性检验，不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性， 则， 故依据小概率值的独立性检验，假设成立， 即不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性. （2）由题意知：工资超过3500的概率为. 记至少2人工资超过3500为事件， 所以. 16. （15分）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 【答案】（1） （2）证明见解析 【详解】解：（1）因为，所以，得， 由，得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简得. （2）若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 所以“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 17.（15分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，且点F满足DF∥CE，且DF＝3CE. （1）求直线CF与平面ADE所成角的正切值； （2）求几何体ADE-BFC的体积. 【答案】（1） （2）所求几何体的体积为2. 【详解】解：（1）取AE中点O，AB中点G，连接DO，OG， 由题易得AD＝DE＝， ∴DO⊥AE，DO＝AO＝1， ∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，DO⊂平面ADE， ∴DO⊥平面ABCE， 又G为AB中点，则在矩形ABCD中，四边形AGED为正方形，∴GO⊥AE， ∴OA，OG，OD两两垂直，且OA＝OG＝OD＝1. 以OA，OG，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（1，0，0），E（－1，0，0），D（0，0，1），G（0，1，0），B（－1，2，0）， C（－2，1，0），F（－3，3，1）. ∴＝（－1，2，1），平面ADE的一个法向量为＝（0，1，0）. ∴·＝2，｜｜＝，｜｜＝1. 设直线CF与平面ADE所成角为θ， ∴sin θ＝｜cos ＜，＞｜＝＝＝， 则cos θ＝＝， ∴tan θ＝，则直线CF与平面ADE所成角的正切值为. （2）=+,= ＝×（AB＋CE）·BC·DO＝×3××1＝1. ==AEDO==1. ∴=+=2. ∴所求几何体的体积为2. 18. （17分）记的内角的对边分别为.已知，.外一点满足，且的角平分线交于点. （1）求； （2）证明：； （3）若，求. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或. 【详解】（1）由正弦定理有， 则， 因， 代入化简得：， 因为，故，又， 即得，则. 故，解得. （2）如图，假设不垂直于，过点作，垂足为. 由（1）可得，则， 由角平分线定理有，故重合，即. （3）由（2）知，设. 在中，由余弦定理有， 同理，故，解得. 注意到，故，且. 故或（如图1，图2），由余弦定理有 ， 当时，，解得； 当时，，解得. 故或. 19. （17分）已知双曲线，点在上，过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为和，记线段的中点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过的直线与有且只有一个公共点，且与交于两点． 证明：（ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）设，则． 又线段的中点为，所以即① 将①代入，得． 所以的方程为． （2）①当的斜率不存在时，直线为轴，显然；同时由双曲线的对称性，也易得． ②（ⅰ）当的斜率存在时，设的方程为，则． 由消去，可得， 所以，化简，得． 将代入，得，， 又， 所以，解得． 又，所以，故． （ⅱ）设． 由消去，可得， 当时， 由韦达定理，得， 即． 所以点为的中点，即． 综合①②，；． 学科网（北京）股份有限公司 $