题型11 带电粒子在组合场中的运动（题型专练）（黑吉辽蒙专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

题型11 带电粒子在组合场中的运动 ( 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 总 方法透视 典例引领 变式演练 考向01 粒子在电场和磁场中的往复运动 考向02 粒子在交变电场中的运动 考向03 带电粒子在组合场含动量问题 考向04 粒子磁场进电场或电场进磁场综合问题 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 ) 组合场核心是电场、磁场、重力场（依题意取舍）的分区域叠加，粒子在各区域做单一规律运动，边界处的速度大小/方向是衔接各段运动的关键，解题核心为“分区域建模+找边界衔接条件+几何关系破题”。核心题型分类（按场的组合形式）题型1：电场+磁场（最常考，无重力/有重力）电场段：匀变速直线/类平抛（偏转），用运动学公式+牛顿第二定律，或动能定理（优先，无需分析过程）求末速度（大小+方向）。磁场段：匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，核心公式qvB=mv2/r}、T=2πm/qB，重点画轨迹圆，用几何关系求半径、圆心角、偏转位移。关键衔接：电场出射速度 = 磁场入射速度，速度方向决定磁场中轨迹的入射切线方向。题型2：磁场+磁场（不同区域、不同磁感应强度/方向）各区域均为匀速圆周运动，B不同则半径r不同，B方向不同则偏转方向不同。关键衔接：区域边界处速度大小不变，方向由前一段轨迹的切线方向决定；画轨迹时用“圆心定轨法”（过入射点作速度垂线，结合洛伦兹力方向找圆心）。题型3：重力场+电场+磁场（复合场+单一磁场/电场，叠加考）先判断复合场中粒子的平衡/匀变速状态（如电场力+重力平衡，粒子做匀速直线，直接进入磁场做圆周运动）。若复合场中不平衡，先求合加速度，用运动学求末速度，再进入下一个场分析。 通用解题步骤（按步拆解，不丢分） 1. 定场型，舍重力：先看题意（“不计重力”/“考虑重力”），电场看是匀强/点电荷（高中多匀强），磁场均为匀强。 2. 分区域，析运动：逐段判断粒子运动类型，标注各段的受力、运动公式。 3. 找边界，建衔接：明确各场的边界位置，写出边界处的速度（大小、方向）、位置坐标，这是连接各段的唯一桥梁。 4. 画轨迹，找几何：磁场段必须画轨迹圆，标注入射点、出射点、圆心、半径、圆心角，用勾股定理、三角函数、圆的切线/弦长公式求几何量。 5. 列方程，求未知：结合运动公式+几何关系列方程，联立求解（如半径、偏转角度、运动时间、出场位置）。 6. 验结果，看临界：若为临界问题，需找“刚好相切、刚好出界、刚好相遇”的临界条件，转化为几何边界。 带电粒子在组合场中运动分析思路 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 2．“电偏转”与“磁偏转”的比较 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 先电场后磁场问题 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 考向01 粒子在电场和磁场中的往复运动 【例1-1】（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，第Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅲ、Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一质量为m，带电量为q的粒子由第Ⅱ象限中的点，以速度平行于x轴正方向射出，恰好由坐标原点O射入磁场。若不计粒子重力，求： (1)电场强度E的大小； (2)若粒子经过磁场偏转后，回到电场中又恰好能经过P点，求磁感应强度的大小； (3)粒子从P点出发回到P所用时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上有 竖直方向上有， 联立解得 （2）根据题意，设粒子进入磁场时速度与轴夹角为，则有 解得 则粒子进入磁场时的速度为 根据粒子在磁场中的运动规律及对称性，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由几何关系有 解得 又有 联立解得 （3）根据上述分析可知，粒子在电场中的运动时间为 粒子在磁场中的运动时间为 则粒子从P点出发回到P所用时间 【例1-2】（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图所示，在直角坐标系Oxy的坐标平面内，边长为L的正方形AOCD 区域内有沿y轴负方向的匀强电场，A 点在y轴正半轴上，C点在x轴正半轴上，区域外有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，在坐标为（0，）的P 点以大小为v0的速度沿x轴正向射出一个质量为m、带正电荷量为q的粒子。粒子第一次经电场偏转从OC的中点射出电场，此后粒子恰好从O点第二次进入电场，不计粒子的重力，求： （1）匀强电场的电场强度大小； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）粒子第三次离开电场的位置坐标。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则， 根据牛顿第二定律 解得 （2）设粒子第一次出电场时速度大小为，根据动能定理 解得 设粒子出电场时速度与x轴正向的夹角为θ，则 解得θ=60° 由对称性可知粒子第二次进电场时速度与x轴夹角60°斜向右上，则粒子在磁场中做圆周运动的半径 根据牛顿第二定律 解得 （3）粒子第二次进电场后，做类斜上抛运动，设粒子仍从OC边射出电场，则粒子第二次在电场中运动时间 粒子在电场中沿x轴正向运动的距离 即粒子刚好从C点离开电场，根据对称性可知，粒子第三次进电场的位置在OC中点，即粒子第三次出电场的位置坐标。 【变式1-1】（2025·辽宁·三模）如图所示，一虚线将坐标系分为上下两部分，虚线交y轴于P点、交x轴于Q点，。虚线上方区域为垂直指向左下方的匀强电场，电场强度大小为E；下方区域为垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度未知。一带电荷量为、质量为m的粒子从P点以沿x轴正方向抛出，不计重力，此后运动过程中其轨迹与虚线边界的第一个交点为M、第二个交点为N（M、N两点未画出）。 （1）求从P点运动至M点的过程中，粒子离虚线边界的最远距离； （2）若，求磁感应强度的大小； （3）若且，求粒子被抛出后到达x轴所用的时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）将在沿电场强度方向和垂直电场强度方向分解，当沿电场强度方向速度减至0时，粒子离虚线边界最远，沿电场强度方向有， 最远距离 （2）粒子轨迹如图所示 粒子从在垂直电场强度方向上做匀速直线运动，则 粒子从做匀速圆周运动，由 整理得 由几何关系知 结合 解得 （3）粒子从的时间由于 可知对应的 由几何关系可知，粒子从的圆心角 则 由题意知，粒子的运动具有重复性，结合几何关系有 故粒子从抛出至到达x轴的时间 解得 【变式1-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，足够大的匀强磁场I存在水平上边界，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为（未知），足够大的匀强磁场II存在水平下边界，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。MN、PQ间距为d，两边界之间存在匀强电场，电场强度大小始终为，当粒子通过MN进入电场中运动时，电场方向水平向右；当粒子通过PQ进入电场中运动时，电场方向水平向左。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子以初速度v0从A点垂直MN射入电场，一段时间后进入磁场II，之后又分别通过匀强电场和磁场I，以速度v0回到A点，不计粒子重力。求： (1)粒子第一次经过电场区域的位移大小； (2)磁场I的磁感应强度大小B1； (3)若电场方向始终保持水平向右，求该粒子从A点出发后，第二次到达MN边界时与A点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中运动时，竖直方向 水平方向做加速运动 则水平方向位移 则位移为 （2）粒子在磁场中的运动轨迹如图 设粒子在磁场Ⅰ、Ⅱ中的运动半径分别为,则 经磁场Ⅱ返回PQ边界时水平方向侧移 其中， 再次进入电场，电场反向，经分析水平位移为d且垂直MN进入磁场速度为v0，进入磁场Ⅰ后 若以原速度返回A点则需满足 则 （3）第二次进入电场，轨迹如图 竖直方向匀速水平方向继续加速，到达MN边界时水平方向侧移 因为 经磁场Ⅰ偏转，水平侧移 其中, 第二次到达MN边界与A点距离为 解得 考向02 粒子在交变电场中的运动 【例2-1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图甲所示，真空中平面直角坐标系的第一、四象限内存在垂直纸面且变化周期为的磁场（图甲中未画出）和沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。将一质量为、电荷量为的带正电小球（可视为质点）从第二象限内的点沿轴正方向水平拋出，小球第一次经过轴时恰好经过点，此时速度大小为，方向与轴正方向的夹角为45°，设此时为时刻，此后磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示（规定磁场方向垂直纸面向里为正方向），（不是已知量）。重力加速度大小为。求： （1）小球抛出点的位置坐标； （2）时刻小球的位置坐标； （3）①定性画出小球第一次经过轴（即坐标原点）到第三次经过轴的轨迹（用尺规作图并标明圆心）； ②若在第一、四象限内垂直于轴放置一个足够大的挡板，粒子运动过程中恰好能够垂直打在挡板上并被吸收，求挡板坐标的所有可能值。 【答案】（1）；（2）；（3）①见解析；②（n=0，1，2，3…） 【详解】（1）小球开始做平抛运动，由于经过点时速度方向与轴正方向的夹角为，小球到达点时，沿轴方向与沿轴方向的分速度大小 竖直方向上有， 水平方向上有 解得， 所以点的坐标为。 （2）由于电场力和重力等大反向，小球在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 根据图乙可知，磁感应强度大小 解得 小球做匀速圆周运动的周期 解得 可知在第一个时间内逆时针转过半个圆周，在第二个时间内 根据图乙可知，磁感应强度大小 解得 结合左手定则可知小球在第二个时间内顺时针转过圆周，由几何关系得时刻小球的位置坐标 ， 综上可得时刻小球的位置坐标为。 （3）结合上述可知 可知在时间内，小球刚好转过。之后磁场强弱和方向都变了，则偏转方向变了，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 根据图乙可知解得 由于 解得 在时间内，小球转过，同理得，小球在时间内与时间内的运动轨迹大小一样，只是偏转方向不一样，时间内与时间内的运动轨迹大小一样，只是偏转方向不一样。综上所述，得到小球一个周期的轨迹图如图所示 由几何关系得 由图可知，若挡板竖直放在中点，或者中点，粒子都可以垂直打在挡板上。考虑到周期性，可得 解得（n=0，1，2，3…） 【例2-2】（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在x≥0，y≥0区域内存在磁感应强度大小为B0、方向垂直于xOy平面的匀强磁场，该磁场做周期性变化（不考虑磁场变化瞬间对粒子运动的影响），变化规律如图乙所示，规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正。在y轴左侧有一对竖直放置的平行金属板M、N，两板间的电势差为U0.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（重力和空气阻力均忽略不计），从贴近M板的位置由静止开始运动，通过N板小孔后在t=0时刻从坐标原点O沿x轴正方向垂直射入磁场中。（可能用到的数据：） （1）求粒子进入磁场做匀速圆周运动时的动量大小p； （2）若磁场的变化周期，求时刻粒子的位置坐标； （3）若且在范围内大小可以任意调节，且粒子出磁场后不再返回磁场，求 （a）粒子在y轴上可能击中的范围； （b）若时刻粒子仍在第一象限，试判断可能的横坐标（x坐标）的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3）（a）；（b） 【详解】（1）对带电粒子列动能定理 动量为 得 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，由 得 周期为 由 得圆周运动的圆心角为 ， 则粒子在0~T0内的轨迹如图所示 由几何关系得， 粒子的位置坐标为 （3）如图所示 （a）当时，粒子会击中的位置；当时，时，粒子会击中的位置。所以y轴有粒子击中的范围为 又有当时，粒子轨迹如图 击中y轴位置为 当时，粒子轨迹如图，击中y轴位置为 所以y轴有粒子击中的范围为 综上两个范围为粒子击中y轴的全部可能值。 （b）当时 当时 所以时刻仍在第一象限中的粒子位置的横坐标取值范围为 【变式2-1】（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，在第一、四象限的和区域内存在磁感应强度大小可调、方向相反的匀强磁场；在第二、三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场。带电粒子以速度v0从点P（-4d，1.5d）沿x轴正方向射出，恰好从O点离开电场。已知带电粒子的质量为m、电荷量为q（q>0），不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小E； (2)若磁感应强度大小均为B1时，粒子在磁场中的运动轨迹恰好与直线y=-1.5d相切，且第一次离开第四象限时经过x轴上的S点（图中未画出）求B1； (3)若磁感应强度大小均为B2时，粒子离开O点后，经n（n>1）次磁偏转仍过第(2)问中的S点。求B2与B1的比值，并确定n的所有可能值。 【答案】(1)；(2)；(3)(其中n取2、3、4、5) 【详解】(1)粒子在电场中做类平抛运动，则有， 联立解得 (2)粒子在电场中做类平抛运动，水平、竖直位移分别满足， 联立可得 射出磁场的速度与水平方向的夹角有 则，粒子从O点出电场时的速度为 粒子在磁场中轨迹如图所示 洛伦兹力提供向心力可得 由几何关系有 联立解得 (3)在(2)中S点离O点距离 粒子在磁场中的偏转半径设为，由几何关系可知每偏转一次，过x轴的点的横坐标增大 经n(n>1)次磁场偏转仍过第(2)问中的S点，则有(其中n>1且为正整数) 解得(其中n>1且为正整数) 由于，则n可取值2、3、4、5，在磁场中洛伦兹力提供向心力，可得 则 联立可得(其中n取2、3、4、5) 【变式2-2】（2025·辽宁·一模）如图a所示。水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过后，电荷以的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图b所示规律周期性变化（图b中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为t=0时刻），计算结果可用π表示。 (1)求正电荷在正向磁场和负向磁场中运动的半径及周期； (2)如果在O点右方47.5cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板所需的时间。 【答案】(1)5cm，；3cm，；(2) 【详解】(1)当磁场垂直纸面向外时，设电荷运动的半径为 由 得 当磁场垂直纸面向里时，设电荷运动的半径为 由圆周运动规律得 当磁场垂直纸面向外时，周期 当磁场垂直纸面向里时，周期 (2)故电荷从时刻开始做周期性运动，结合磁场的周期性可知运动轨迹如图所示 电荷第一次通过MN开始。其运动的周期 此时粒子距离点的水平距离为 即每经过一个周期，粒子在水平方向向右前进，根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为10个，即 则最后7.5cm的距离如图所示 有 解得 则 故电荷运动的总时间 考向03 带电粒子在组合场含动量问题 【例3-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图甲所示，在空间水平放置有两足够长的平行金属板MN，MN之间距离为L，近似真空，M板上方存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场I，N板下方部分区域存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，足够长的倾斜边界OC与N板夹角为。N板上的O点有一粒子源，可以向MN内发射质量为m，电荷量为q的正电粒子。所有粒子都可以经MN板的缝隙进入到磁场I、Ⅱ区域内，忽略粒子间的相互作用及粒子的重力，则： (1)若从O点垂直N板向上发射速度大小为的该粒子，求粒子从第一次进入磁场I到第一次离开磁场Ⅰ的过程中，粒子运动的轨道半径以及运动时间； (2)若在MN板间区域加上某一垂直纸面向外的匀强磁场，粒子仍从O点与竖直轴线成的竖直平面范围内以大小的速度均匀发散射出，如图乙所示。若恰有75%的粒子能从该区域进入上方磁场I，求该区域磁感应强度的大小； (3)若在MN板间加上交变电压如图丙所示，N板带正电时MN板间所加电压为正向电压，正向电压大小，反向电压大小，电场的交变周期。时刻一个粒子从O点由静止释放，忽略粒子在电场中的运动时间、电场变化产生的磁场以及金属板的电场边缘效应，为保证该粒子不从磁场II的边界OC射出，求出OC与N板的夹角的范围。 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）在磁场中，洛伦兹力提供圆周运动的向心力则有 解得出 由周期公式 解得 粒子单次在磁场Ⅰ内运动轨迹为半圆，因此时间 （2）发射角度越靠近的粒子，越不可能从该区域进入磁场I，恰有75%的粒子能从该区域进入上方磁场I，说明发射角度临界状态为与竖直轴线成，如图所示 根据几何关系有 洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 解得 （3）粒子第一次进入磁场I，根据动能定理 由于粒子进入磁场Ⅰ的速度 圆周运动规律则有 解得粒子进入磁场Ⅰ的轨迹半径 粒子第一次进入磁场II，动能定理可得 解得粒子进入磁场II的速度 同理则有 解得粒子进入磁场II的轨迹半径 粒子第二次进入磁场I，同理可得 解得粒子进入磁场Ⅰ的速度 根据圆周运动规律则有 解得粒子进入磁场Ⅰ的轨迹半径 粒子第二次进入磁场II，以此类推 粒子进入磁场II的速度 根据 粒子进入磁场II的轨迹半径 粒子第n次进入磁场Ⅰ之后，根据： 解得 根据 解得出轨迹半径 粒子第n次进入磁场II之后，根据 解得出 根据 解得出轨迹半径 若粒子经n次进入磁场I、II后，恰好与OC边界相切，则有 计算可知 综上为满足条件 【例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，空间直角坐标系中有一与面平行的界面将空间分为、两个区域，界面与轴交点的坐标为（0，L，0）且界面上有一足够大的接收屏。在点存在一粒子发射源，仅在面内向各个方向均匀发射速度大小为、电荷量为、质量为的带正电粒子。区域存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子在区域做匀速圆周运动的半径和周期； (2)若在区域再加一个沿轴正方向电场强度大小为的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上坐标最大值点和坐标最小值点的空间坐标； (3)若点发射源只向轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面上点（未画出）进入区域II，区域II存在沿轴负方向、磁感应强度大小也为的匀强磁场，且粒子在区域运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为（为常量）。粒子进入区域II后速度方向第一次沿轴正方向时达到点（未画出），点的坐标为，求点的坐标、坐标和粒子在点的速度大小。 【答案】(1)， (2)（，L， ），（0，L, ） (3)，， 【详解】（1）洛伦兹力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得   由题可知 联立解得 故粒子圆周运动的周期 （2）粒子沿z轴方向做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，由牛顿第二定律   由题可知 联立解得   粒子在垂直z轴的平面上做半径为L的匀速圆周运动如图所示 初速度方向沿y轴负方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最长   对应z坐标有最大值 由几何知识可得该点x坐标为,其对应的坐标为（，L， ）   初速度沿y轴正方向偏向x轴负方向30°角方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最短 由几何知识可得该点x坐标为0，对应z坐标有最小值   其对应的坐标为（0，L, ） （3）粒子从c点至d点过程，沿y轴方向由动量定理有， 其中 解得   所以d点坐标为   粒子从c点至d点过程，沿z轴方向由动量定理有， 解得 【变式3-1】（2025·黑龙江·二模）如图，是交替出现的宽为的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为，2、4区域为磁场，场强均为，方向如图所示。质量为，带电量为的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为 B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为 C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足 【答案】A 【详解】A．由于洛伦兹力总是不做功，粒子从静止释放到从4区下边界穿出，根据动能定理可得 可知粒子从4区下边界穿出后的动能一定为，粒子从4区下边界穿出后的速度大小为 故A正确； BCD．由于电场力处于竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4区下边界穿出，水平方向根据动量定理可得 其中 联立可得粒子从4区下边界穿出后的水平速度为 则粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 若粒子恰未从第4场区射出，粒子达到4区下边界的竖直分速度刚好为0，则有 解得 故BCD错误。 故选A。 【变式3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图所示，间距为的两平行板之间有方向水平向右的匀强电场，电场强度为，与右侧板相切的圆筒内（俯视图）有垂直于纸面向里的匀强磁场，两平行板中点M、N与切点处有小孔。现电荷量与质量均相同的两个带正电的粒子与在孔处先后由静止释放，粒子经电场加速后从点沿半径进入匀强磁场中运动，当粒子与筒壁碰3次刚好回到时与后释放的粒子恰好相碰，以后粒子与粒子均在点相碰，所有碰撞均为弹性碰撞，不计重力，不计碰撞时间。求： (1)圆筒的半径； (2)粒子与在孔处先后由静止释放，若仅调整匀强电场的电场强度和极板间距，使粒子在磁场内与筒壁碰5次后与粒子在点相碰且二者以后每次仍在点相碰，则场强和极板间距应改为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）两粒子发生弹性碰撞，则有， 解得， 可知，撞后二者交换速度，设粒子在点速率均为，两粒子每次都在点相碰，则粒子在电场中， 在磁场中，作出粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子的轨迹圆半径等于磁场圆半径 在磁场中运动时间 两粒子每次都在点相碰，则有 解得 （2）若粒子与圆筒碰5次，其轨迹如图所示 根据几何关系有 则粒子圆周运动的轨道半径 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 解得， 结合上述有， 粒子在磁场中圆周运动的周期 结合上述解得 根据粒子运动轨迹对应圆心角可知， 粒子在电场中运动过程，根据动量定理有， 解得 粒子在电场中运动过程，根据动能定理有， 解得 考向04 粒子磁场进电场或电场进磁场综合问题 【例4-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）空间直角坐标系如图所示，在，z>0的空间内存在沿y轴正方向的匀强磁场（图中未画出）；在，z>0的空间内存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，由空间中A点处以大小为的初速度射出，速度方向平行于平面、与y轴正方向的夹角。时刻，粒子恰好从P点穿过平面射入电场区域，经过P点时沿z轴方向的速度分量为0，时粒子再次穿过平面，不计粒子重力。求： (1)粒子由A运动至P所用的时间； (2)匀强磁场磁感应强度的大小； (3)电场强度的大小及时粒子的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子沿y轴正方向做匀速直线运动，速度大小为 沿y轴正方向有 解得 （2）粒子在平行于的平面内做匀速圆周运动，线速度大小为 运动的轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）设粒子在电场中的加速度大小为a，则有 粒子在P点的速度可分解为沿y轴正方向的速度，和沿x轴负方向的速度，沿x轴方向，根据速度公式有 解得 时，粒子在y轴上的坐标为 解得 粒子在x轴上的坐标为 解得 粒子在z轴上的坐标为 故时，粒子的位置坐标为 【例4-2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图甲所示，平面直角坐标系中，在的区域中存在垂直于平面向里的匀强磁场，在的区域中存在沿x轴正方向的匀强电场，电场中有一点Q，Q点位置坐标为。原点O处有一粒子源，可在平面内向Ⅰ、Ⅱ象限各个方向连续发射大量质量为m，电荷量为q（）的粒子，速度大小在之间。在x轴上垂直于平面放置着一块足够长的薄板，打在薄板上的粒子会立刻被吸收，粒子在薄板上轰击的区域长度为。若在薄板上处开一个小孔，粒子源发射的部分粒子会穿过小孔进入的区域。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力，则（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．穿过小孔的粒子在的磁场区域中运动的最长时间为 C．若以最小速率穿过小孔的粒子在匀强电场中能过Q点，则电场强度大小为 D．若仅将区域的电场换成沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度的大小与的区域相同，在处放置一垂直于平面的足够大的荧光屏，如图乙所示。则所有穿过小孔的粒子打到荧光屏上所用的时间均为 【答案】ACD 【详解】A．如图所示，当粒子速率最大且向轴正方向时，打在最远处，根据几何关系 根据洛伦兹力提供向心力 联立解得磁感应强度大小为，故A正确；     B．如图所示，越小，粒子运动时间越长，根据几何关系 当半径最大时，运动时间最长，即，此时，根据周期公式 粒子在的磁场区域中运动的最长时间，故B错误； C．以最小速率穿过小孔的粒子的轨迹如图所示，半径为 即满足 粒子进入电场后做类平抛运动，水平方向 竖直方向 联立解得电场强度大小为，故C正确； D．如图所示，根据几何关系 粒子进入区域的磁场后竖直方向做匀速直线运动，速率为 粒子打到荧光屏上所用的时间 联立解得，故D正确。 故选ACD。 【变式4-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图甲所示，有一半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。磁场区域左倒有一长为2R的竖直放置的线状发射器，发射器各处均匀持续地水平向右发射相同速度的同种粒子，粒子质量m，带电量为+q，发射速度为，已知发射器每秒钟发射n个粒子。磁场区下方水平正对放置两平行收集板M和N，磁场下边缘与M板中点相切，切点处开有一小孔C，两板长均为πR，板间距离为。到达收集板的粒子被悉数收并立即移走，粒子不计重力。 (1)若在M、N两板间加一电压UMN，求所有粒子均能打到N板时的电压UMN； (2)若两收集板不加电压，求每秒钟到达收集板N的粒子数； (3)若在M板下方加入垂直纸面向外的匀强磁场磁感应强度为B，把软性N板卷成一单层圆筒，如图乙，圆心O2在C的正下方，且，求此圆筒的收集率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得 解得粒子的运动轨迹半径为 根据磁汇聚模型可知，所有粒子均从小孔C射入电场；对于水平方向进入电场的粒子，恰能打到N板边缘时，有，， 联立解得 则所有粒子均能打到N板时的电压应满足。 （2）若两收集板不加电压，粒子在板间做匀速直线运动，对N板左侧边缘的粒子，有 可得 由几何关系可得，该粒子来自于发射器中点P点上方 同理：打在N板右侧边缘的粒子来自于发射器中点P点下方处。故收集率为 则每秒钟到达收集板粒子数为，则有 （3）粒子在下方磁场中轨迹半径为R，圆筒半径为0.5R。对于和圆筒左侧相切的粒子，如图 设，根据几何关系可得 圆心O3和M板的距离为 即M板上方处发射的粒子刚好和圆筒相切。 对于在C处水平向右射入的粒子，恰好和圆筒底部顶点相切，此粒子来自于发射板最底点，此圆收集的粒子区域来源于发射器下方区域，故收集率为 【变式4-2】（2025·黑龙江·一模）如图所示，在y轴左侧半径为R的圆形区域（以x轴上的P点为圆心）内，有磁感应强度大小为B1（未知）、方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场；紧靠着y轴右侧宽度为2R的区域内，有电场强度大小分别为和，方向分别沿着y轴正（y>0区域）、负方向（区域）的匀强电场；电场右边界线a与x轴垂直相交于Q点，边界线a右侧有方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场。现有两个质量均为m、电荷量分别为、（q>0）的带电粒子，分别从M、N两点以大小均为v0、方向平行于y轴的速度同时射入圆形磁场中，并从同一点离开此圆形磁场，其中从M点射入的粒子恰好能经右侧磁场到达Q点，已知MP与x铀垂直，NP与x轴负方向的夹角为45°，圆形磁场边界与y轴相切于O点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。 (1)求圆形区域内磁场的磁感应强度大小； (2)求从N点射入的粒子从右侧磁场返回电场经过边界线a时的位置与Q点的距离； (3)若从N点射入的粒子进入右侧磁场后，受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，该粒子的运动轨迹呈螺旋状，并恰好能与该磁场左边界相切。求该粒子从射入该磁场到第一次到达切点所用的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意根据磁聚焦原理，对从M点入射的粒子，由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 （2）由M点入射的粒子，运动轨迹如图甲所示 粒子在电场中做类平抛运动，根据运动的合成与分解有，，， 根据牛顿第二定律 联立解得， 粒子在右侧磁场中做圆周运动，根据几何关系有 由洛伦兹力提供向心力可得 其中 联立解得 由N点入射的粒子，运动轨迹如图乙所示 在左侧磁场中，根据几何关系可知其过O点时，速度与轴正方向的夹角为，在电场中做类斜抛运动，逆向思考，根据运动的合成与分解有，， 根据牛顿第二定律 联立解得 粒子在右侧磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力 联立解得 由几何关系可得 （3）粒子在右侧磁场中做螺旋线运动，与速度垂直方向上有 解得 即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为，则有 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）在高能粒子物理实验室中，科学家正在进行一项名为“磁场制导”的关键实验。实验目标是通过精确调控磁场，使电子经加速后从枪口射出，沿预设路径击中远端的靶点。如图所示，电子在电子枪内经电压从静止加速后从枪口沿直线方向射出，立即进入垂直纸面向里的匀强磁场中，然后精准打击距枪口距离为的靶点，与之间夹角为（弧度制）。已知电子电荷量为，质量为，重力可忽略不计，电子在枪内运动不受磁场影响。求： (1)电子离开枪口时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)电子从离开枪口第一次到靶点所经历的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在电子枪中被加速 解得电子离开枪口时的速度大小 （2）电子进入垂直纸面向里的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力 由几何关系 解得磁感应强度 （3）设电子从离开枪口第一次到靶点所需的时间为，对应的圆心角为 对应的时间 电子做匀速圆周运动的周期 联立解得 2．（2025·黑龙江·模拟预测）如图所示，真空中足够长的铝板M和金属板N平行竖直放置，N板中心有一小孔。N板右侧有一相切于点的半径为的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁场上方有一水平放置的荧光屏。已知铝的逸出功为，普朗克常量为，电子的电量为，质量为。用某单色光照射铝板，当M、N间电压为时，刚好没有电子能从孔飞出。保持M、N间电压大小为，若仅将M、N间电场改为反向，从点垂直N板射入磁场且动能最大的电子，经过磁场后刚好可以垂直打到荧光屏上。不计电子间的相互作用。求： (1)入射光的频率； (2)匀强磁场的磁感应强度； (3)电子能够打到荧光屏上的位置距板的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据光电效应方程有 根据动能定理有 可得入射光频率 （2）电场反向后，根据动能定理得 洛伦兹力提供向心力，则有 根据几何关系有 可解得 （3）进入磁场中动能最大的电子速度大小相同，由圆形磁场磁扩散的特点可知，都可以垂直打到荧光屏上从M板射出的电子中，方向平行M板向下且初动能最大的电子，经过电场偏转后若恰能从点射出，其进入磁场时的速度也最大，且与N板间夹角最小，经磁场偏转后能垂直打到荧光屏上，该电子打到荧光屏上的位置距N板距离最远，如图所示 设电子从板射出的最大初速度大小为，由已知条件有 设电子从孔射出的最大速率为，根据动能定理有 可得 设粒子进入磁场时速度与板间的最小夹角为，则有 可得 则打到荧光屏上粒子到板的最远距离 解得 3．（2025·辽宁鞍山·三模）碳-14是碳-12的一种同位素。如图甲是一个粒子检测装置的示意图，图乙为其俯视图，粒子源释放出经电离后的碳-14与碳-12原子核（初速度不计），经直线加速器加速后由通道入口的中缝MN进入通道，该通道的上下表面是内半径为R、外半径为3R的半圆环，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于半圆环，正对着通道出口处放置一张照相底片，能记录粒子从出口射出时的位置。当直线加速器的加速电压为U0时，碳-12原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，则下列说法正确的是（　　） A．在图乙中，磁场的方向是垂直于纸面向外 B．碳-14原子核和碳-12原子核均击中照相底片，碳-14原子核在磁场中的运动时间一定比在磁场中的运动时间小 C．加速电压为U0时，碳-14原子核所击中的位置比碳-12原子核更靠近圆心 D．当加速电压在范围内，碳-12原子核全部打在内圆环上 【答案】AD 【详解】A．由图可知，碳原子核受到向右的洛伦兹力，根据左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向外，故A正确； B．碳原子核在磁场中运动的时间为 由于碳-14原子核的质量数大于碳-12原子核的质量数，所以碳-14原子核在磁场中的运动时间一定比在磁场中的运动时间大，故B错误； C．由题意知，加速电压为U0时，有 所以 原子核进入磁场中有 所以 由此可知，碳-12原子核所击中的位置比碳-14原子核更靠近圆心，故C错误； D．若碳-12原子核全部打在内圆环上，则最小圆周运动半径为， 最大圆周运动半径为， 解得， 当加速电压在范围内，碳-12原子核全部打在内圆环上，故D正确。 故选AD。 4．（2025·辽宁·三模）在现代科学研究的微观粒子探测实验中，常常需要精确控制带电粒子的运动轨迹以实现对其各种物理性质的研究。在这个特定的实验装置里，有一套用于控制电子运动的系统。如图所示，宽度为的虚线框内有垂直纸面方向的匀强磁场，匀强磁场左右边界竖直。电子枪发出的电子（初速度可以忽略）经M、N之间的加速电场加速后以一定的速度水平射出并进入偏转磁场。速度方向改变角后从右边界离开磁场最终打在荧光屏上，已知加速电压为，电子的比荷、电子重力不计 (1)求偏转磁场的磁感应强度B； (2)若撤去磁场，在虚线框中加一沿竖直方向的匀强偏转电场，从右边界离开电场也可使电子偏转角最终打在荧光屏上，求所加电场的电场强度大小E 【答案】(1)，垂直纸面向外 (2) 【详解】（1）电子带负电，根据左手定则可知磁感应强度B方向垂直纸面向外，电子在磁场中的轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力 由几何关系可得 电子经过电场加速过程，根据动能定理可得 联立解得 带入数据解得 （2）电子在电场中做类平抛运动，假设在电场中的时间为t，则有 离开电场时，假设沿电场方向的分速度为v，则有 又 联立可得 5．（2025·辽宁丹东·一模）如图所示，空间电、磁场分界线与电场方向成角，分界面一侧为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，另一侧为平行纸面的匀强电场。一带电荷量为、质量为的粒子从场中某一点以的速度沿垂直电场和磁场的方向射入磁场，一段时间后，粒子恰好从点第二次离开电场。若场区足够大且不计粒子重力，则下列说法中正确的是（　　） A．匀强电场中，电场强度大小为，方向竖直向下 B．当粒子第二次离开磁场时，速度与分界线所成的锐角为 C．粒子回到点所用的总时间为 D．当粒子第二次进入电场时，到点的距离为 【答案】BD 【详解】根据题意可知，粒子的运动轨迹如图 ABD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据圆周运动的特点可知，粒子第一次到达边界时的偏转角是90°，即速度与分界线所成的锐角为45°，粒子进入电场后先减速到零，再反方向加速到原来的速度第二次进入磁场，所以电场向上，在磁场中做圆周运动，经过后，由S点进入电场，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 由图根据几何关系解得 设电场的电场强度为E，粒子第二次进入电场的方向与电场方向垂直，根据图可知，水平方向 竖直方向 根据牛顿第二定律 联立代入数据解得 故BD正确，A错误； C．粒子回到P点所用的总时间包括在磁场中的运动时间，第一次进入电场时先减速后加速的时间及第二次在电场中偏转的时间，粒子在磁场中运动的时间由几何关系可知 第一次进入电场时先减速后加速的时间 第二次在电场中偏转的时间 粒子回到P点所用的总时间为 故C错误。 故选BD。 6．（2025·辽宁·二模）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。若所有电子均能经过O进入电场。 (1)求磁感应强度B的最小值； (2)取（1）问中最小的磁感应强度B，求出处具有最大初速的电子在筒外区域运动的轨迹方程。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿∞轴的匀速直线和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为，由电子在r轴方向做匀速直线运动得 在平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T， 则有， 由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有 联立得 当n=1时，B有最小值，可得 （2）将电子的速度分解，最大，R最大，此时R=r，又 可得 沿y轴正、负方向射入电场的电子，则 联立解得 7．（2025·辽宁大连·一模）如图，空间直角坐标系Oxyz中有一与xOz面平行的界面M将空间分为I、II两个区域，界面M与y轴交点的坐标为（0，L，0）且界面M上有一足够大的接收屏。在O点存在一粒子发射源，仅在xOy面内向各个方向均匀发射速度大小为v₀、电荷量为q，质量为m的带正电粒子。区域I存在沿z轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子在I区域做匀速圆周运动的半径r和周期T； (2)若在I区域再加一个沿z轴正方向电场强度大小为的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上z坐标最大值点和z坐标最小值点的空间坐标。 (3)若O点发射源只向x轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面M上c点（未画出）进入区域Ⅱ，区域Ⅱ存在沿x轴负方向、磁感应强度大小也为的匀强磁场，且粒子在区域Ⅱ运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k（k为常量）。粒子进入区域Ⅱ后速度方向第一次沿z轴正方向时达到d点（未画出），d点的z坐标为，求d点的空间坐标和粒子在d点的速度大小vd。 【答案】(1)r=L； (2)（-L，L,）和（0，L，） (3)坐标为（，，）；速度大小为 【详解】（1）由牛顿第二定律 可得 解得r=L 解得 （2）粒子沿z轴方向做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，由牛顿第二定律，qE=ma， 解得 粒子在垂直z轴的平面上做半径为L的匀速圆周运动，如图初速度方向沿y轴负方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最长， 对应z坐标有最大值 由几何知识可得该点x坐标为-L，其对应的坐标为（-L，L，） 初速度沿y轴正方向偏向x轴负方向30°角方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最短 由几何知识可得该点x坐标为0，对应z坐标有最小值 其对应的坐标为（0，L，） （3）粒子从c点至d点过程，沿y轴方向由动量定理有，， 解得 所以d点坐标为（，，） 粒子从c点至d点过程，沿z轴方向由动量定理有， 解得 8．（2025·辽宁辽阳·二模）如图所示，一质量为、电荷量为的带电粒子在水平向右、宽度为的匀强电场（图中未画出）中由静止释放，随后进入宽度为、磁感应强度大小为的匀强磁场中，射出磁场时的速度与进入磁场时的速度偏角，不计带电粒子受到的重力。求： (1)粒子在磁场中运动的半径； (2)匀强电场的电场强度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子在磁场中做圆周运动，作出运动轨迹，如图所示 根据几何关系有 解得粒子在磁场中运动的半径为 （2）带电粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有 在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 9．（2025·辽宁锦州·一模）在太空探索任务中，以探测器的坐标原点建立直角坐标系xOy。坐标系内存在两个关键区域：I区域宽度为2L，存在垂直于探测器平面向里、磁感应强度大小为B（未知）的匀强磁场；II区域宽度为1.5L，紧挨着I区域右侧，存在沿y轴正方向、场强的匀强电场。一质量为m、带电量为+q的宇宙射线粒子，从P（0，-L）点以速度v0沿x轴正方向射入I区域，后经Q（2L，0）点射入II区域。已知sin37°=0.6，sin53°=0.8，不计粒子重力。求：    (1)磁感应强度B的大小； (2)粒子射出II区域时的速度。 【答案】(1) (2)，x轴正方向的夹角 【详解】（1）宇宙射线粒子在区域I中做匀速圆周运动，由几何关系可知 解得轨迹半径 由洛伦兹力提供向心力 解得磁感应强度的大小 （2）设宇宙射线粒子在Q点的速度方向与x轴正方向夹角为，则， 进入区域II电场之后，在x轴方向做匀速直线运动 在电场中运动的时间 在y轴方向做匀加速直线运动，有， 粒子在y方向的末速度大小 粒子射出II区域时的速度大小 设速度v与x轴正方向的夹角为，则， 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，有一平行于轴长为的线状粒子发射器，其中心位于轴负半轴某处，在间均匀发射沿平行轴方向速度均相同的同种粒子，粒子的电荷量为，质量为。其右侧有一沿轴正向的匀强电场，场强为，宽为。有一圆心在半径为的圆形匀强磁场I，其磁感应强度为，方向垂直纸面向外。第四象限下方有垂直向里的匀强磁场II，其磁感应强度为。已知从点射入圆形磁场的粒子，刚好从圆形磁场最下端点沿-轴方向射出，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力。求： (1)粒子的初速度； (2)发射出的粒子经过磁场I的最长时间与最短时间之差； (3)若第四象限的位置有一足够长的荧光屏，所有打在荧光屏上的粒子均被吸收，则线状粒子发射器同一时刻射出的粒子，最终打到荧光屏上的粒子数与总粒子数之比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子以速度经过电场加速后速度为,根据动能定理则有 粒子以速度由O进入磁场刚好从圆形磁场最下端点沿方向射出，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 由几何关系 联立以上各式解得 （2）粒子在磁场中进行磁聚焦，粒子会汇聚在点，从圆形磁场最上端进入磁场和从最下端进入磁场的粒子时间间隔最大，粒子圆周运动的周期 最上端粒子运动时间 最下端粒子运动时间 最大时间间隔 （3）刚好在磁场II射到荧光屏上轨迹恰好与荧光屏相切，由几何关系， 在磁场中 最终打到荧光屏上的粒子数与总粒子数之比 11．（2025·辽宁本溪·二模）如图所示，在坐标系xOy平面的第一、第二象限内有匀强磁场和匀强电场，直线的左侧区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，直线与之间的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从原点O处以大小为的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角，一段时间后垂直边界直线进入电场。已知电场强度。不计粒子重力，求： (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子离开电场的位置坐标。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子磁场中做圆周运动，在电场中做类平抛运动，轨迹如图所示 设其在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 结合牛顿第二定律有 联立上式解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，运动时间 竖直方向位移 其中 联立解得 粒子离开电场的位置其横坐标 纵坐标 即 12．（2025·辽宁·一模）在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。如图所示为一控制粒子运动装置的模型。在平面直角坐标系xOy的第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限内，一半径为r的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场的边界圆刚好与两坐标轴相切于P、Q两点，在第三和第四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅱ中有一垂直于y轴的足够长的接收屏，带电粒子打到屏上立刻被屏吸收。P点处有一粒子源，粒子源在坐标平面内均匀地向第二象限的各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子射出的初速度大小相同。已知沿y轴正向射出的粒子恰好通过Q点，该粒子经电场偏转后以与x轴正方向成45°的方向进入磁场Ⅱ，并恰好能垂直打在接收屏上。磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小均为B，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)求粒子从P点射出的速度大小； (2)求匀强电场的电场强度大小E； (3)将接收屏沿y轴负方向平移，直至仅有三分之一的粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打到屏上，求接收屏沿y轴负方向移动的距离L。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从点沿轴正向射入的粒子恰好通过点，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为，如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）从点沿轴正向射入的粒子在电场中做类平抛运动，设粒子出电场时沿轴负方向的分速度为，如图所示，由题意可知 沿轴方向有 根据牛顿第二定律有 联立解得 （3）由于粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动的半径为，根据磁发散原理，所有粒子均沿轴正方向射出磁场Ⅰ，设某一粒子进入磁场Ⅱ时，与轴正方向夹角为，则该粒子进入磁场Ⅱ时速度为，如图所示 设该粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动，半径为，洛伦兹力提供向心力，有 则轨迹的圆心到轴的距离为，代入第一问结果，得。 由此可见，所有粒子进磁场Ⅱ后做圆周运动的圆心均在离x轴距离为的水平线上，即此时接收屏距离轴的距离为，根据圆的特点，打到屏上的速度垂直于半径，而半径在接收屏所在的平面，因此所有粒子均能垂直打在接收屏上。在点沿与轴负方向成60°向左上方射出的粒子恰好能打在屏上时，该粒子左侧的所有粒子都可以打在屏上，右侧的粒子则不能打在屏上，即有三分之一的粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打在屏上，设这时屏需要移动的距离为，如图所示， 设该粒子在磁场Ⅰ中轨迹如图，出磁场时坐标 进入磁场Ⅱ时的速度大小为，在电场中，根据动能定理有 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 即仅有三分之一的粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打到屏上，接收屏沿轴负方向移动的距离为 13．（2025·黑龙江·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，第四象限内以ON为直径、P为圆心、半径为R的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为的带电粒子，从y轴正半轴上处的M点以大小为的初速度垂直于y轴射入匀强电场中，经x轴上的P点进入匀强磁场，最后以垂直于y轴的方向射出匀强磁场。不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子从M点到再次经过y轴的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在电场中做平抛运动的时间为，根据运动学规律有， 由牛顿第二定律得 联立解得 （2）设粒子在P点的竖直分速度大小为，根据运动学规律有 设粒子在P点的速度与水平方向夹角为，根据速度的合成与分解有 解得 故 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律有 根据几何关系可得 联立解得 （3）粒子在磁场中运动的周期 故粒子在磁场中运动的时间 从磁场中出来打到y轴上的时间 粒子从M点到再次经过y轴的时间 14．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，在的区域内存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。某时刻一质量为ma、电荷量为q的带负电粒子a，从坐标为的P点以速率沿x轴正方向运动，其进入磁场时速度方向与y轴正方向的夹角。另一不带电粒子b从y轴上某点进入磁场，其速度方向与粒子a进入磁场的方向相同，两粒子恰好在x轴正半轴上某点发生相向正碰，碰后结合成粒子c，运动方向与粒子b碰前运动方向相同，粒子c在磁场中恰好不再返回电场，不计两粒子的重力，求： (1)匀强电场强度的大小； (2)碰撞前粒子b的动量大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子a在电场中沿x轴方向做匀速直线运动，沿y轴方向做匀加速直线运动，根据类平抛运动规律有 ， ，a粒子在电场中运动过程中，根据动能定理可得 解得 （2）如图是两粒子运动轨迹的示意图。设碰后粒子c的速率为，半径为，根据牛顿第二定律有 由几何关系可得 设粒子碰前速度为，半径为，则， 沿粒子的方向为正，根据动量守恒定律有 根据动量的计算公式及 可知 解得 15．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示，xOy平面内，0≤y≤L区域存在垂直平面向里的匀强磁场，y>L区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。在坐标原点O有一粒子源，分别沿x、y轴正方向以相同速率v0发射带正电粒子a、b，两粒子质量均为m，电荷量均为q。粒子b离开磁场时的速度与x轴负方向的夹角为60°，之后粒子b从（0，）处经过y轴。不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，则（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小 B．匀强电场的场强大小 C．若粒子a、b同时进入电场，a与b发射的时间差为 D．若粒子a、b同时进入电场且开始计时，经过t1时间后粒子相距 【答案】BCD 【详解】A．设b粒子在磁场中运动的半径为R，粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可得 解得 洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 联立解得 A错误； B．粒子b在电场中沿y轴方向做匀速直线运动，沿x轴方向做匀变运动，如图所示 设粒子b在电场中运动时间后到达处，根据运动学规律可知，沿y轴方向则有 解得 沿x方向做匀减速运动，根据牛顿第二定律可得 根据匀变速直线运动规律则有 联立解得 B正确； C．由分析知，粒子 a、b在磁场中运动的半径和周期均相等，设周期为T，则粒子a在磁场中运动的轨迹如图所示 其运动周期 由几何关系得，粒子a在破场中运动的圆心角满足 解得 粒子b在磁场中运动的圆心角 要使两粒子同时离开磁场，粒子 a比粒子b先发射，且发射的时间差 C正确； D．结合上述分析可知，刚进入电场时，粒子a、b之间的距离 两粒子刚进入电场时沿x方向的加速度相同，相对速度 故经过t1时间后粒子相距 D正确。 故选BCD。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型11 带电粒子在组合场中的运动目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 总方法透视 典例引领 变式演练 考向01 粒子在电场和磁场中的往复运动 考向02 粒子在交变电场中的运动 考向03 带电粒子在组合场含动量问题 考向04 粒子磁场进电场或电场进磁场综合问题 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 组合场核心是电场、磁场、重力场（依题意取舍）的分区域叠加，粒子在各区域做单一规律运动，边界处的速度大小/方向是衔接各段运动的关键，解题核心为“分区域建模+找边界衔接条件+几何关系破题”。核心题型分类（按场的组合形式）题型1：电场+磁场（最常考，无重力/有重力）电场段：匀变速直线/类平抛（偏转），用运动学公式+牛顿第二定律，或动能定理（优先，无需分析过程）求末速度（大小+方向）。磁场段：匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，核心公式qvB=mv2/r}、T=2πm/qB，重点画轨迹圆，用几何关系求半径、圆心角、偏转位移。关键衔接：电场出射速度 = 磁场入射速度，速度方向决定磁场中轨迹的入射切线方向。题型2：磁场+磁场（不同区域、不同磁感应强度/方向）各区域均为匀速圆周运动，B不同则半径r不同，B方向不同则偏转方向不同。关键衔接：区域边界处速度大小不变，方向由前一段轨迹的切线方向决定；画轨迹时用“圆心定轨法”（过入射点作速度垂线，结合洛伦兹力方向找圆心）。题型3：重力场+电场+磁场（复合场+单一磁场/电场，叠加考）先判断复合场中粒子的平衡/匀变速状态（如电场力+重力平衡，粒子做匀速直线，直接进入磁场做圆周运动）。若复合场中不平衡，先求合加速度，用运动学求末速度，再进入下一个场分析。 通用解题步骤（按步拆解，不丢分） 1. 定场型，舍重力：先看题意（“不计重力”/“考虑重力”），电场看是匀强/点电荷（高中多匀强），磁场均为匀强。 2. 分区域，析运动：逐段判断粒子运动类型，标注各段的受力、运动公式。 3. 找边界，建衔接：明确各场的边界位置，写出边界处的速度（大小、方向）、位置坐标，这是连接各段的唯一桥梁。 4. 画轨迹，找几何：磁场段必须画轨迹圆，标注入射点、出射点、圆心、半径、圆心角，用勾股定理、三角函数、圆的切线/弦长公式求几何量。 5. 列方程，求未知：结合运动公式+几何关系列方程，联立求解（如半径、偏转角度、运动时间、出场位置）。 6. 验结果，看临界：若为临界问题，需找“刚好相切、刚好出界、刚好相遇”的临界条件，转化为几何边界。 带电粒子在组合场中运动分析思路 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 2．“电偏转”与“磁偏转”的比较 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 先电场后磁场问题 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 考向01 粒子在电场和磁场中的往复运动 【例1-1】（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，第Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅲ、Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一质量为m，带电量为q的粒子由第Ⅱ象限中的点，以速度平行于x轴正方向射出，恰好由坐标原点O射入磁场。若不计粒子重力，求： (1)电场强度E的大小； (2)若粒子经过磁场偏转后，回到电场中又恰好能经过P点，求磁感应强度的大小； (3)粒子从P点出发回到P所用时间。 【例1-2】（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图所示，在直角坐标系Oxy的坐标平面内，边长为L的正方形AOCD 区域内有沿y轴负方向的匀强电场，A 点在y轴正半轴上，C点在x轴正半轴上，区域外有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，在坐标为（0，）的P 点以大小为v0的速度沿x轴正向射出一个质量为m、带正电荷量为q的粒子。粒子第一次经电场偏转从OC的中点射出电场，此后粒子恰好从O点第二次进入电场，不计粒子的重力，求： （1）匀强电场的电场强度大小； （2）匀强磁场的磁感应强度大小； （3）粒子第三次离开电场的位置坐标。 【变式1-1】（2025·辽宁·三模）如图所示，一虚线将坐标系分为上下两部分，虚线交y轴于P点、交x轴于Q点，。虚线上方区域为垂直指向左下方的匀强电场，电场强度大小为E；下方区域为垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度未知。一带电荷量为、质量为m的粒子从P点以沿x轴正方向抛出，不计重力，此后运动过程中其轨迹与虚线边界的第一个交点为M、第二个交点为N（M、N两点未画出）。 （1）求从P点运动至M点的过程中，粒子离虚线边界的最远距离； （2）若，求磁感应强度的大小； （3）若且，求粒子被抛出后到达x轴所用的时间。 【变式1-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，足够大的匀强磁场I存在水平上边界，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为（未知），足够大的匀强磁场II存在水平下边界，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。MN、PQ间距为d，两边界之间存在匀强电场，电场强度大小始终为，当粒子通过MN进入电场中运动时，电场方向水平向右；当粒子通过PQ进入电场中运动时，电场方向水平向左。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子以初速度v0从A点垂直MN射入电场，一段时间后进入磁场II，之后又分别通过匀强电场和磁场I，以速度v0回到A点，不计粒子重力。求： (1)粒子第一次经过电场区域的位移大小； (2)磁场I的磁感应强度大小B1； (3)若电场方向始终保持水平向右，求该粒子从A点出发后，第二次到达MN边界时与A点的距离。 考向02 粒子在交变电场中的运动 【例2-1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图甲所示，真空中平面直角坐标系的第一、四象限内存在垂直纸面且变化周期为的磁场（图甲中未画出）和沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。将一质量为、电荷量为的带正电小球（可视为质点）从第二象限内的点沿轴正方向水平拋出，小球第一次经过轴时恰好经过点，此时速度大小为，方向与轴正方向的夹角为45°，设此时为时刻，此后磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示（规定磁场方向垂直纸面向里为正方向），（不是已知量）。重力加速度大小为。求： （1）小球抛出点的位置坐标； （2）时刻小球的位置坐标； （3）①定性画出小球第一次经过轴（即坐标原点）到第三次经过轴的轨迹（用尺规作图并标明圆心）； ②若在第一、四象限内垂直于轴放置一个足够大的挡板，粒子运动过程中恰好能够垂直打在挡板上并被吸收，求挡板坐标的所有可能值。 【例2-2】（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在x≥0，y≥0区域内存在磁感应强度大小为B0、方向垂直于xOy平面的匀强磁场，该磁场做周期性变化（不考虑磁场变化瞬间对粒子运动的影响），变化规律如图乙所示，规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正。在y轴左侧有一对竖直放置的平行金属板M、N，两板间的电势差为U0.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（重力和空气阻力均忽略不计），从贴近M板的位置由静止开始运动，通过N板小孔后在t=0时刻从坐标原点O沿x轴正方向垂直射入磁场中。（可能用到的数据：） （1）求粒子进入磁场做匀速圆周运动时的动量大小p； （2）若磁场的变化周期，求时刻粒子的位置坐标； （3）若且在范围内大小可以任意调节，且粒子出磁场后不再返回磁场，求 （a）粒子在y轴上可能击中的范围； （b）若时刻粒子仍在第一象限，试判断可能的横坐标（x坐标）的取值范围。 【变式2-1】（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，在第一、四象限的和区域内存在磁感应强度大小可调、方向相反的匀强磁场；在第二、三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场。带电粒子以速度v0从点P（-4d，1.5d）沿x轴正方向射出，恰好从O点离开电场。已知带电粒子的质量为m、电荷量为q（q>0），不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小E； (2)若磁感应强度大小均为B1时，粒子在磁场中的运动轨迹恰好与直线y=-1.5d相切，且第一次离开第四象限时经过x轴上的S点（图中未画出）求B1； (3)若磁感应强度大小均为B2时，粒子离开O点后，经n（n>1）次磁偏转仍过第(2)问中的S点。求B2与B1的比值，并确定n的所有可能值。 【变式2-2】（2025·辽宁·一模）如图a所示。水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过后，电荷以的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图b所示规律周期性变化（图b中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为t=0时刻），计算结果可用π表示。 (1)求正电荷在正向磁场和负向磁场中运动的半径及周期； (2)如果在O点右方47.5cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板所需的时间。 考向03 带电粒子在组合场含动量问题 【例3-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图甲所示，在空间水平放置有两足够长的平行金属板MN，MN之间距离为L，近似真空，M板上方存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场I，N板下方部分区域存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，足够长的倾斜边界OC与N板夹角为。N板上的O点有一粒子源，可以向MN内发射质量为m，电荷量为q的正电粒子。所有粒子都可以经MN板的缝隙进入到磁场I、Ⅱ区域内，忽略粒子间的相互作用及粒子的重力，则： (1)若从O点垂直N板向上发射速度大小为的该粒子，求粒子从第一次进入磁场I到第一次离开磁场Ⅰ的过程中，粒子运动的轨道半径以及运动时间； (2)若在MN板间区域加上某一垂直纸面向外的匀强磁场，粒子仍从O点与竖直轴线成的竖直平面范围内以大小的速度均匀发散射出，如图乙所示。若恰有75%的粒子能从该区域进入上方磁场I，求该区域磁感应强度的大小； (3)若在MN板间加上交变电压如图丙所示，N板带正电时MN板间所加电压为正向电压，正向电压大小，反向电压大小，电场的交变周期。时刻一个粒子从O点由静止释放，忽略粒子在电场中的运动时间、电场变化产生的磁场以及金属板的电场边缘效应，为保证该粒子不从磁场II的边界OC射出，求出OC与N板的夹角的范围。 【例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，空间直角坐标系中有一与面平行的界面将空间分为、两个区域，界面与轴交点的坐标为（0，L，0）且界面上有一足够大的接收屏。在点存在一粒子发射源，仅在面内向各个方向均匀发射速度大小为、电荷量为、质量为的带正电粒子。区域存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子在区域做匀速圆周运动的半径和周期； (2)若在区域再加一个沿轴正方向电场强度大小为的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上坐标最大值点和坐标最小值点的空间坐标； (3)若点发射源只向轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面上点（未画出）进入区域II，区域II存在沿轴负方向、磁感应强度大小也为的匀强磁场，且粒子在区域运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为（为常量）。粒子进入区域II后速度方向第一次沿轴正方向时达到点（未画出），点的坐标为，求点的坐标、坐标和粒子在点的速度大小。 【变式3-1】（2025·黑龙江·二模）如图，是交替出现的宽为的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为，2、4区域为磁场，场强均为，方向如图所示。质量为，带电量为的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为 B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为 C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足 【变式3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图所示，间距为的两平行板之间有方向水平向右的匀强电场，电场强度为，与右侧板相切的圆筒内（俯视图）有垂直于纸面向里的匀强磁场，两平行板中点M、N与切点处有小孔。现电荷量与质量均相同的两个带正电的粒子与在孔处先后由静止释放，粒子经电场加速后从点沿半径进入匀强磁场中运动，当粒子与筒壁碰3次刚好回到时与后释放的粒子恰好相碰，以后粒子与粒子均在点相碰，所有碰撞均为弹性碰撞，不计重力，不计碰撞时间。求： (1)圆筒的半径； (2)粒子与在孔处先后由静止释放，若仅调整匀强电场的电场强度和极板间距，使粒子在磁场内与筒壁碰5次后与粒子在点相碰且二者以后每次仍在点相碰，则场强和极板间距应改为多少？ 考向04 粒子磁场进电场或电场进磁场综合问题 【例4-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）空间直角坐标系如图所示，在，z>0的空间内存在沿y轴正方向的匀强磁场（图中未画出）；在，z>0的空间内存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，由空间中A点处以大小为的初速度射出，速度方向平行于平面、与y轴正方向的夹角。时刻，粒子恰好从P点穿过平面射入电场区域，经过P点时沿z轴方向的速度分量为0，时粒子再次穿过平面，不计粒子重力。求： (1)粒子由A运动至P所用的时间； (2)匀强磁场磁感应强度的大小； (3)电场强度的大小及时粒子的位置坐标。 【例4-2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图甲所示，平面直角坐标系中，在的区域中存在垂直于平面向里的匀强磁场，在的区域中存在沿x轴正方向的匀强电场，电场中有一点Q，Q点位置坐标为。原点O处有一粒子源，可在平面内向Ⅰ、Ⅱ象限各个方向连续发射大量质量为m，电荷量为q（）的粒子，速度大小在之间。在x轴上垂直于平面放置着一块足够长的薄板，打在薄板上的粒子会立刻被吸收，粒子在薄板上轰击的区域长度为。若在薄板上处开一个小孔，粒子源发射的部分粒子会穿过小孔进入的区域。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力，则（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．穿过小孔的粒子在的磁场区域中运动的最长时间为 C．若以最小速率穿过小孔的粒子在匀强电场中能过Q点，则电场强度大小为 D．若仅将区域的电场换成沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度的大小与的区域相同，在处放置一垂直于平面的足够大的荧光屏，如图乙所示。则所有穿过小孔的粒子打到荧光屏上所用的时间均为 【变式4-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图甲所示，有一半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。磁场区域左倒有一长为2R的竖直放置的线状发射器，发射器各处均匀持续地水平向右发射相同速度的同种粒子，粒子质量m，带电量为+q，发射速度为，已知发射器每秒钟发射n个粒子。磁场区下方水平正对放置两平行收集板M和N，磁场下边缘与M板中点相切，切点处开有一小孔C，两板长均为πR，板间距离为。到达收集板的粒子被悉数收并立即移走，粒子不计重力。 (1)若在M、N两板间加一电压UMN，求所有粒子均能打到N板时的电压UMN； (2)若两收集板不加电压，求每秒钟到达收集板N的粒子数； (3)若在M板下方加入垂直纸面向外的匀强磁场磁感应强度为B，把软性N板卷成一单层圆筒，如图乙，圆心O2在C的正下方，且，求此圆筒的收集率。 【变式4-2】（2025·黑龙江·一模）如图所示，在y轴左侧半径为R的圆形区域（以x轴上的P点为圆心）内，有磁感应强度大小为B1（未知）、方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场；紧靠着y轴右侧宽度为2R的区域内，有电场强度大小分别为和，方向分别沿着y轴正（y>0区域）、负方向（区域）的匀强电场；电场右边界线a与x轴垂直相交于Q点，边界线a右侧有方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场。现有两个质量均为m、电荷量分别为、（q>0）的带电粒子，分别从M、N两点以大小均为v0、方向平行于y轴的速度同时射入圆形磁场中，并从同一点离开此圆形磁场，其中从M点射入的粒子恰好能经右侧磁场到达Q点，已知MP与x铀垂直，NP与x轴负方向的夹角为45°，圆形磁场边界与y轴相切于O点，不计粒子重力及粒子间的相互作用。 (1)求圆形区域内磁场的磁感应强度大小； (2)求从N点射入的粒子从右侧磁场返回电场经过边界线a时的位置与Q点的距离； (3)若从N点射入的粒子进入右侧磁场后，受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，该粒子的运动轨迹呈螺旋状，并恰好能与该磁场左边界相切。求该粒子从射入该磁场到第一次到达切点所用的时间。 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）在高能粒子物理实验室中，科学家正在进行一项名为“磁场制导”的关键实验。实验目标是通过精确调控磁场，使电子经加速后从枪口射出，沿预设路径击中远端的靶点。如图所示，电子在电子枪内经电压从静止加速后从枪口沿直线方向射出，立即进入垂直纸面向里的匀强磁场中，然后精准打击距枪口距离为的靶点，与之间夹角为（弧度制）。已知电子电荷量为，质量为，重力可忽略不计，电子在枪内运动不受磁场影响。求： (1)电子离开枪口时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)电子从离开枪口第一次到靶点所经历的时间。 2．（2025·黑龙江·模拟预测）如图所示，真空中足够长的铝板M和金属板N平行竖直放置，N板中心有一小孔。N板右侧有一相切于点的半径为的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁场上方有一水平放置的荧光屏。已知铝的逸出功为，普朗克常量为，电子的电量为，质量为。用某单色光照射铝板，当M、N间电压为时，刚好没有电子能从孔飞出。保持M、N间电压大小为，若仅将M、N间电场改为反向，从点垂直N板射入磁场且动能最大的电子，经过磁场后刚好可以垂直打到荧光屏上。不计电子间的相互作用。求： (1)入射光的频率； (2)匀强磁场的磁感应强度； (3)电子能够打到荧光屏上的位置距板的最远距离。 3．（2025·辽宁鞍山·三模）碳-14是碳-12的一种同位素。如图甲是一个粒子检测装置的示意图，图乙为其俯视图，粒子源释放出经电离后的碳-14与碳-12原子核（初速度不计），经直线加速器加速后由通道入口的中缝MN进入通道，该通道的上下表面是内半径为R、外半径为3R的半圆环，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于半圆环，正对着通道出口处放置一张照相底片，能记录粒子从出口射出时的位置。当直线加速器的加速电压为U0时，碳-12原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，则下列说法正确的是（　　） A．在图乙中，磁场的方向是垂直于纸面向外 B．碳-14原子核和碳-12原子核均击中照相底片，碳-14原子核在磁场中的运动时间一定比在磁场中的运动时间小 C．加速电压为U0时，碳-14原子核所击中的位置比碳-12原子核更靠近圆心 D．当加速电压在范围内，碳-12原子核全部打在内圆环上 4．（2025·辽宁·三模）在现代科学研究的微观粒子探测实验中，常常需要精确控制带电粒子的运动轨迹以实现对其各种物理性质的研究。在这个特定的实验装置里，有一套用于控制电子运动的系统。如图所示，宽度为的虚线框内有垂直纸面方向的匀强磁场，匀强磁场左右边界竖直。电子枪发出的电子（初速度可以忽略）经M、N之间的加速电场加速后以一定的速度水平射出并进入偏转磁场。速度方向改变角后从右边界离开磁场最终打在荧光屏上，已知加速电压为，电子的比荷、电子重力不计 (1)求偏转磁场的磁感应强度B； (2)若撤去磁场，在虚线框中加一沿竖直方向的匀强偏转电场，从右边界离开电场也可使电子偏转角最终打在荧光屏上，求所加电场的电场强度大小E 5．（2025·辽宁丹东·一模）如图所示，空间电、磁场分界线与电场方向成角，分界面一侧为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，另一侧为平行纸面的匀强电场。一带电荷量为、质量为的粒子从场中某一点以的速度沿垂直电场和磁场的方向射入磁场，一段时间后，粒子恰好从点第二次离开电场。若场区足够大且不计粒子重力，则下列说法中正确的是（　　） A．匀强电场中，电场强度大小为，方向竖直向下 B．当粒子第二次离开磁场时，速度与分界线所成的锐角为 C．粒子回到点所用的总时间为 D．当粒子第二次进入电场时，到点的距离为 6．（2025·辽宁·二模）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。若所有电子均能经过O进入电场。 (1)求磁感应强度B的最小值； (2)取（1）问中最小的磁感应强度B，求出处具有最大初速的电子在筒外区域运动的轨迹方程。 7．（2025·辽宁大连·一模）如图，空间直角坐标系Oxyz中有一与xOz面平行的界面M将空间分为I、II两个区域，界面M与y轴交点的坐标为（0，L，0）且界面M上有一足够大的接收屏。在O点存在一粒子发射源，仅在xOy面内向各个方向均匀发射速度大小为v₀、电荷量为q，质量为m的带正电粒子。区域I存在沿z轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子在I区域做匀速圆周运动的半径r和周期T； (2)若在I区域再加一个沿z轴正方向电场强度大小为的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上z坐标最大值点和z坐标最小值点的空间坐标。 (3)若O点发射源只向x轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面M上c点（未画出）进入区域Ⅱ，区域Ⅱ存在沿x轴负方向、磁感应强度大小也为的匀强磁场，且粒子在区域Ⅱ运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k（k为常量）。粒子进入区域Ⅱ后速度方向第一次沿z轴正方向时达到d点（未画出），d点的z坐标为，求d点的空间坐标和粒子在d点的速度大小vd。 8．（2025·辽宁辽阳·二模）如图所示，一质量为、电荷量为的带电粒子在水平向右、宽度为的匀强电场（图中未画出）中由静止释放，随后进入宽度为、磁感应强度大小为的匀强磁场中，射出磁场时的速度与进入磁场时的速度偏角，不计带电粒子受到的重力。求： (1)粒子在磁场中运动的半径； (2)匀强电场的电场强度大小。 9．（2025·辽宁锦州·一模）在太空探索任务中，以探测器的坐标原点建立直角坐标系xOy。坐标系内存在两个关键区域：I区域宽度为2L，存在垂直于探测器平面向里、磁感应强度大小为B（未知）的匀强磁场；II区域宽度为1.5L，紧挨着I区域右侧，存在沿y轴正方向、场强的匀强电场。一质量为m、带电量为+q的宇宙射线粒子，从P（0，-L）点以速度v0沿x轴正方向射入I区域，后经Q（2L，0）点射入II区域。已知sin37°=0.6，sin53°=0.8，不计粒子重力。求：    (1)磁感应强度B的大小； (2)粒子射出II区域时的速度。 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，有一平行于轴长为的线状粒子发射器，其中心位于轴负半轴某处，在间均匀发射沿平行轴方向速度均相同的同种粒子，粒子的电荷量为，质量为。其右侧有一沿轴正向的匀强电场，场强为，宽为。有一圆心在半径为的圆形匀强磁场I，其磁感应强度为，方向垂直纸面向外。第四象限下方有垂直向里的匀强磁场II，其磁感应强度为。已知从点射入圆形磁场的粒子，刚好从圆形磁场最下端点沿-轴方向射出，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力。求： (1)粒子的初速度； (2)发射出的粒子经过磁场I的最长时间与最短时间之差； (3)若第四象限的位置有一足够长的荧光屏，所有打在荧光屏上的粒子均被吸收，则线状粒子发射器同一时刻射出的粒子，最终打到荧光屏上的粒子数与总粒子数之比。 11．（2025·辽宁本溪·二模）如图所示，在坐标系xOy平面的第一、第二象限内有匀强磁场和匀强电场，直线的左侧区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，直线与之间的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从原点O处以大小为的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角，一段时间后垂直边界直线进入电场。已知电场强度。不计粒子重力，求： (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子离开电场的位置坐标。 12．（2025·辽宁·一模）在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。如图所示为一控制粒子运动装置的模型。在平面直角坐标系xOy的第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限内，一半径为r的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场的边界圆刚好与两坐标轴相切于P、Q两点，在第三和第四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅱ中有一垂直于y轴的足够长的接收屏，带电粒子打到屏上立刻被屏吸收。P点处有一粒子源，粒子源在坐标平面内均匀地向第二象限的各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子射出的初速度大小相同。已知沿y轴正向射出的粒子恰好通过Q点，该粒子经电场偏转后以与x轴正方向成45°的方向进入磁场Ⅱ，并恰好能垂直打在接收屏上。磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小均为B，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)求粒子从P点射出的速度大小； (2)求匀强电场的电场强度大小E； (3)将接收屏沿y轴负方向平移，直至仅有三分之一的粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打到屏上，求接收屏沿y轴负方向移动的距离L。 13．（2025·黑龙江·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，第四象限内以ON为直径、P为圆心、半径为R的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为的带电粒子，从y轴正半轴上处的M点以大小为的初速度垂直于y轴射入匀强电场中，经x轴上的P点进入匀强磁场，最后以垂直于y轴的方向射出匀强磁场。不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子从M点到再次经过y轴的时间。 14．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，在的区域内存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。某时刻一质量为ma、电荷量为q的带负电粒子a，从坐标为的P点以速率沿x轴正方向运动，其进入磁场时速度方向与y轴正方向的夹角。另一不带电粒子b从y轴上某点进入磁场，其速度方向与粒子a进入磁场的方向相同，两粒子恰好在x轴正半轴上某点发生相向正碰，碰后结合成粒子c，运动方向与粒子b碰前运动方向相同，粒子c在磁场中恰好不再返回电场，不计两粒子的重力，求： (1)匀强电场强度的大小； (2)碰撞前粒子b的动量大小。 15．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示，xOy平面内，0≤y≤L区域存在垂直平面向里的匀强磁场，y>L区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。在坐标原点O有一粒子源，分别沿x、y轴正方向以相同速率v0发射带正电粒子a、b，两粒子质量均为m，电荷量均为q。粒子b离开磁场时的速度与x轴负方向的夹角为60°，之后粒子b从（0，）处经过y轴。不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，则（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小 B．匀强电场的场强大小 C．若粒子a、b同时进入电场，a与b发射的时间差为 D．若粒子a、b同时进入电场且开始计时，经过t1时间后粒子相距 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型11 带电粒子在组合场中的运动（题型专练） 参考答案 第一部分 考向破译 考向01 粒子在电场和磁场中的往复运动 【例1-1】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上有 竖直方向上有， 联立解得 （2）根据题意，设粒子进入磁场时速度与轴夹角为，则有 解得 则粒子进入磁场时的速度为 根据粒子在磁场中的运动规律及对称性，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由几何关系有 解得 又有 联立解得 （3）根据上述分析可知，粒子在电场中的运动时间为 粒子在磁场中的运动时间为 则粒子从P点出发回到P所用时间 【例1-2】【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则， 根据牛顿第二定律 解得 （2）设粒子第一次出电场时速度大小为，根据动能定理 解得 设粒子出电场时速度与x轴正向的夹角为θ，则 解得θ=60° 由对称性可知粒子第二次进电场时速度与x轴夹角60°斜向右上，则粒子在磁场中做圆周运动的半径 根据牛顿第二定律 解得 （3）粒子第二次进电场后，做类斜上抛运动，设粒子仍从OC边射出电场，则粒子第二次在电场中运动时间 粒子在电场中沿x轴正向运动的距离 即粒子刚好从C点离开电场，根据对称性可知，粒子第三次进电场的位置在OC中点，即粒子第三次出电场的位置坐标。 【变式1-1】【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）将在沿电场强度方向和垂直电场强度方向分解，当沿电场强度方向速度减至0时，粒子离虚线边界最远，沿电场强度方向有， 最远距离 （2）粒子轨迹如图所示 粒子从在垂直电场强度方向上做匀速直线运动，则 粒子从做匀速圆周运动，由 整理得 由几何关系知 结合 解得 （3）粒子从的时间由于 可知对应的 由几何关系可知，粒子从的圆心角 则 由题意知，粒子的运动具有重复性，结合几何关系有 故粒子从抛出至到达x轴的时间 解得 【变式1-2】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中运动时，竖直方向 水平方向做加速运动 则水平方向位移 则位移为 （2）粒子在磁场中的运动轨迹如图 设粒子在磁场Ⅰ、Ⅱ中的运动半径分别为,则 经磁场Ⅱ返回PQ边界时水平方向侧移 其中， 再次进入电场，电场反向，经分析水平位移为d且垂直MN进入磁场速度为v0，进入磁场Ⅰ后 若以原速度返回A点则需满足 则 （3）第二次进入电场，轨迹如图 竖直方向匀速水平方向继续加速，到达MN边界时水平方向侧移 因为 经磁场Ⅰ偏转，水平侧移 其中, 第二次到达MN边界与A点距离为 解得 考向02 粒子在交变电场中的运动 【例2-1】【答案】（1）； （2）； （3）①见解析；②（n=0，1，2，3…） 【详解】（1）小球开始做平抛运动，由于经过点时速度方向与轴正方向的夹角为，小球到达点时，沿轴方向与沿轴方向的分速度大小 竖直方向上有， 水平方向上有 解得， 所以点的坐标为。 （2）由于电场力和重力等大反向，小球在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 根据图乙可知，磁感应强度大小 解得 小球做匀速圆周运动的周期 解得 可知在第一个时间内逆时针转过半个圆周，在第二个时间内 根据图乙可知，磁感应强度大小 解得 结合左手定则可知小球在第二个时间内顺时针转过圆周，由几何关系得时刻小球的位置坐标 ， 综上可得时刻小球的位置坐标为。 （3）结合上述可知 可知在时间内，小球刚好转过。之后磁场强弱和方向都变了，则偏转方向变了，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 根据图乙可知解得 由于 解得 在时间内，小球转过，同理得，小球在时间内与时间内的运动轨迹大小一样，只是偏转方向不一样，时间内与时间内的运动轨迹大小一样，只是偏转方向不一样。综上所述，得到小球一个周期的轨迹图如图所示 由几何关系得 由图可知，若挡板竖直放在中点，或者中点，粒子都可以垂直打在挡板上。考虑到周期性，可得 解得（n=0，1，2，3…） 【例2-2】 【答案】（1）；（2）；（3）（a）；（b） 【详解】（1）对带电粒子列动能定理 动量为 得 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，由 得 周期为 由 得圆周运动的圆心角为 ， 则粒子在0~T0内的轨迹如图所示 由几何关系得， 粒子的位置坐标为 （3）如图所示 （a）当时，粒子会击中的位置；当时，时，粒子会击中的位置。所以y轴有粒子击中的范围为 又有当时，粒子轨迹如图 击中y轴位置为 当时，粒子轨迹如图，击中y轴位置为 所以y轴有粒子击中的范围为 综上两个范围为粒子击中y轴的全部可能值。 （b）当时 当时 所以时刻仍在第一象限中的粒子位置的横坐标取值范围为 【变式2-1】【答案】(1)；(2)；(3)(其中n取2、3、4、5) 【详解】(1)粒子在电场中做类平抛运动，则有， 联立解得 (2)粒子在电场中做类平抛运动，水平、竖直位移分别满足， 联立可得 射出磁场的速度与水平方向的夹角有 则，粒子从O点出电场时的速度为 粒子在磁场中轨迹如图所示 洛伦兹力提供向心力可得 由几何关系有 联立解得 (3)在(2)中S点离O点距离 粒子在磁场中的偏转半径设为，由几何关系可知每偏转一次，过x轴的点的横坐标增大 经n(n>1)次磁场偏转仍过第(2)问中的S点，则有(其中n>1且为正整数) 解得(其中n>1且为正整数) 由于，则n可取值2、3、4、5，在磁场中洛伦兹力提供向心力，可得 则 联立可得(其中n取2、3、4、5) 【变式2-2】【答案】(1)5cm，；3cm，；(2) 【详解】(1)当磁场垂直纸面向外时，设电荷运动的半径为 由 得 当磁场垂直纸面向里时，设电荷运动的半径为 由圆周运动规律得 当磁场垂直纸面向外时，周期 当磁场垂直纸面向里时，周期 (2)故电荷从时刻开始做周期性运动，结合磁场的周期性可知运动轨迹如图所示 电荷第一次通过MN开始。其运动的周期 此时粒子距离点的水平距离为 即每经过一个周期，粒子在水平方向向右前进，根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为10个，即 则最后7.5cm的距离如图所示 有 解得 则 故电荷运动的总时间 考向03 带电粒子在组合场含动量问题 【例3-1】【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）在磁场中，洛伦兹力提供圆周运动的向心力则有 解得出 由周期公式 解得 粒子单次在磁场Ⅰ内运动轨迹为半圆，因此时间 （2）发射角度越靠近的粒子，越不可能从该区域进入磁场I，恰有75%的粒子能从该区域进入上方磁场I，说明发射角度临界状态为与竖直轴线成，如图所示 根据几何关系有 洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 解得 （3）粒子第一次进入磁场I，根据动能定理 由于粒子进入磁场Ⅰ的速度 圆周运动规律则有 解得粒子进入磁场Ⅰ的轨迹半径 粒子第一次进入磁场II，动能定理可得 解得粒子进入磁场II的速度 同理则有 解得粒子进入磁场II的轨迹半径 粒子第二次进入磁场I，同理可得 解得粒子进入磁场Ⅰ的速度 根据圆周运动规律则有 解得粒子进入磁场Ⅰ的轨迹半径 粒子第二次进入磁场II，以此类推 粒子进入磁场II的速度 根据 粒子进入磁场II的轨迹半径 粒子第n次进入磁场Ⅰ之后，根据： 解得 根据 解得出轨迹半径 粒子第n次进入磁场II之后，根据 解得出 根据 解得出轨迹半径 若粒子经n次进入磁场I、II后，恰好与OC边界相切，则有 计算可知 综上为满足条件 【例3-2】【答案】(1)， (2)（，L， ），（0，L, ） (3)，， 【详解】（1）洛伦兹力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得   由题可知 联立解得 故粒子圆周运动的周期 （2）粒子沿z轴方向做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，由牛顿第二定律   由题可知 联立解得   粒子在垂直z轴的平面上做半径为L的匀速圆周运动如图所示 初速度方向沿y轴负方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最长   对应z坐标有最大值 由几何知识可得该点x坐标为,其对应的坐标为（，L， ）   初速度沿y轴正方向偏向x轴负方向30°角方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最短 由几何知识可得该点x坐标为0，对应z坐标有最小值   其对应的坐标为（0，L, ） （3）粒子从c点至d点过程，沿y轴方向由动量定理有， 其中 解得   所以d点坐标为   粒子从c点至d点过程，沿z轴方向由动量定理有， 解得 【变式3-1】【答案】A 【详解】A．由于洛伦兹力总是不做功，粒子从静止释放到从4区下边界穿出，根据动能定理可得 可知粒子从4区下边界穿出后的动能一定为，粒子从4区下边界穿出后的速度大小为 故A正确； BCD．由于电场力处于竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4区下边界穿出，水平方向根据动量定理可得 其中 联立可得粒子从4区下边界穿出后的水平速度为 则粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 若粒子恰未从第4场区射出，粒子达到4区下边界的竖直分速度刚好为0，则有 解得 故BCD错误。 故选A。 【变式3-2】【答案】(1) (2) 【详解】（1）两粒子发生弹性碰撞，则有， 解得， 可知，撞后二者交换速度，设粒子在点速率均为，两粒子每次都在点相碰，则粒子在电场中， 在磁场中，作出粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子的轨迹圆半径等于磁场圆半径 在磁场中运动时间 两粒子每次都在点相碰，则有 解得 （2）若粒子与圆筒碰5次，其轨迹如图所示 根据几何关系有 则粒子圆周运动的轨道半径 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 解得， 结合上述有， 粒子在磁场中圆周运动的周期 结合上述解得 根据粒子运动轨迹对应圆心角可知， 粒子在电场中运动过程，根据动量定理有， 解得 粒子在电场中运动过程，根据动能定理有， 解得 考向04 粒子磁场进电场或电场进磁场综合问题 【例4-1】【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子沿y轴正方向做匀速直线运动，速度大小为 沿y轴正方向有 解得 （2）粒子在平行于的平面内做匀速圆周运动，线速度大小为 运动的轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）设粒子在电场中的加速度大小为a，则有 粒子在P点的速度可分解为沿y轴正方向的速度，和沿x轴负方向的速度，沿x轴方向，根据速度公式有 解得 时，粒子在y轴上的坐标为 解得 粒子在x轴上的坐标为 解得 粒子在z轴上的坐标为 故时，粒子的位置坐标为 【例4-2】【答案】ACD 【详解】A．如图所示，当粒子速率最大且向轴正方向时，打在最远处，根据几何关系 根据洛伦兹力提供向心力 联立解得磁感应强度大小为，故A正确；     B．如图所示，越小，粒子运动时间越长，根据几何关系 当半径最大时，运动时间最长，即，此时，根据周期公式 粒子在的磁场区域中运动的最长时间，故B错误； C．以最小速率穿过小孔的粒子的轨迹如图所示，半径为 即满足 粒子进入电场后做类平抛运动，水平方向 竖直方向 联立解得电场强度大小为，故C正确； D．如图所示，根据几何关系 粒子进入区域的磁场后竖直方向做匀速直线运动，速率为 粒子打到荧光屏上所用的时间 联立解得，故D正确。 故选ACD。 【变式4-1】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得 解得粒子的运动轨迹半径为 根据磁汇聚模型可知，所有粒子均从小孔C射入电场；对于水平方向进入电场的粒子，恰能打到N板边缘时，有，， 联立解得 则所有粒子均能打到N板时的电压应满足。 （2）若两收集板不加电压，粒子在板间做匀速直线运动，对N板左侧边缘的粒子，有 可得 由几何关系可得，该粒子来自于发射器中点P点上方 同理：打在N板右侧边缘的粒子来自于发射器中点P点下方处。故收集率为 则每秒钟到达收集板粒子数为，则有 （3）粒子在下方磁场中轨迹半径为R，圆筒半径为0.5R。对于和圆筒左侧相切的粒子，如图 设，根据几何关系可得 圆心O3和M板的距离为 即M板上方处发射的粒子刚好和圆筒相切。 对于在C处水平向右射入的粒子，恰好和圆筒底部顶点相切，此粒子来自于发射板最底点，此圆收集的粒子区域来源于发射器下方区域，故收集率为 【变式4-2】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意根据磁聚焦原理，对从M点入射的粒子，由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 （2）由M点入射的粒子，运动轨迹如图甲所示 粒子在电场中做类平抛运动，根据运动的合成与分解有，，， 根据牛顿第二定律 联立解得， 粒子在右侧磁场中做圆周运动，根据几何关系有 由洛伦兹力提供向心力可得 其中 联立解得 由N点入射的粒子，运动轨迹如图乙所示 在左侧磁场中，根据几何关系可知其过O点时，速度与轴正方向的夹角为，在电场中做类斜抛运动，逆向思考，根据运动的合成与分解有，， 根据牛顿第二定律 联立解得 粒子在右侧磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力 联立解得 由几何关系可得 （3）粒子在右侧磁场中做螺旋线运动，与速度垂直方向上有 解得 即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为，则有 第二部分 综合巩固 1．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在电子枪中被加速 解得电子离开枪口时的速度大小 （2）电子进入垂直纸面向里的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力 由几何关系 解得磁感应强度 （3）设电子从离开枪口第一次到靶点所需的时间为，对应的圆心角为 对应的时间 电子做匀速圆周运动的周期 联立解得 2．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据光电效应方程有 根据动能定理有 可得入射光频率 （2）电场反向后，根据动能定理得 洛伦兹力提供向心力，则有 根据几何关系有 可解得 （3）进入磁场中动能最大的电子速度大小相同，由圆形磁场磁扩散的特点可知，都可以垂直打到荧光屏上从M板射出的电子中，方向平行M板向下且初动能最大的电子，经过电场偏转后若恰能从点射出，其进入磁场时的速度也最大，且与N板间夹角最小，经磁场偏转后能垂直打到荧光屏上，该电子打到荧光屏上的位置距N板距离最远，如图所示 设电子从板射出的最大初速度大小为，由已知条件有 设电子从孔射出的最大速率为，根据动能定理有 可得 设粒子进入磁场时速度与板间的最小夹角为，则有 可得 则打到荧光屏上粒子到板的最远距离 解得 3．【答案】AD 【详解】A．由图可知，碳原子核受到向右的洛伦兹力，根据左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向外，故A正确； B．碳原子核在磁场中运动的时间为 由于碳-14原子核的质量数大于碳-12原子核的质量数，所以碳-14原子核在磁场中的运动时间一定比在磁场中的运动时间大，故B错误； C．由题意知，加速电压为U0时，有 所以 原子核进入磁场中有 所以 由此可知，碳-12原子核所击中的位置比碳-14原子核更靠近圆心，故C错误； D．若碳-12原子核全部打在内圆环上，则最小圆周运动半径为， 最大圆周运动半径为， 解得， 当加速电压在范围内，碳-12原子核全部打在内圆环上，故D正确。 故选AD。 4．【答案】(1)，垂直纸面向外 (2) 【详解】（1）电子带负电，根据左手定则可知磁感应强度B方向垂直纸面向外，电子在磁场中的轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力 由几何关系可得 电子经过电场加速过程，根据动能定理可得 联立解得 带入数据解得 （2）电子在电场中做类平抛运动，假设在电场中的时间为t，则有 离开电场时，假设沿电场方向的分速度为v，则有 又 联立可得 5．【答案】BD 【详解】根据题意可知，粒子的运动轨迹如图 ABD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据圆周运动的特点可知，粒子第一次到达边界时的偏转角是90°，即速度与分界线所成的锐角为45°，粒子进入电场后先减速到零，再反方向加速到原来的速度第二次进入磁场，所以电场向上，在磁场中做圆周运动，经过后，由S点进入电场，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 由图根据几何关系解得 设电场的电场强度为E，粒子第二次进入电场的方向与电场方向垂直，根据图可知，水平方向 竖直方向 根据牛顿第二定律 联立代入数据解得 故BD正确，A错误； C．粒子回到P点所用的总时间包括在磁场中的运动时间，第一次进入电场时先减速后加速的时间及第二次在电场中偏转的时间，粒子在磁场中运动的时间由几何关系可知 第一次进入电场时先减速后加速的时间 第二次在电场中偏转的时间 粒子回到P点所用的总时间为 故C错误。 故选BD。 6．【答案】(1) (2) 【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿∞轴的匀速直线和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为，由电子在r轴方向做匀速直线运动得 在平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T， 则有， 由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有 联立得 当n=1时，B有最小值，可得 （2）将电子的速度分解，最大，R最大，此时R=r，又 可得 沿y轴正、负方向射入电场的电子，则 联立解得 7．【答案】(1)r=L； (2)（-L，L,）和（0，L，） (3)坐标为（，，）；速度大小为 【详解】（1）由牛顿第二定律 可得 解得r=L 解得 （2）粒子沿z轴方向做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，由牛顿第二定律，qE=ma， 解得 粒子在垂直z轴的平面上做半径为L的匀速圆周运动，如图初速度方向沿y轴负方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最长， 对应z坐标有最大值 由几何知识可得该点x坐标为-L，其对应的坐标为（-L，L，） 初速度沿y轴正方向偏向x轴负方向30°角方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最短 由几何知识可得该点x坐标为0，对应z坐标有最小值 其对应的坐标为（0，L，） （3）粒子从c点至d点过程，沿y轴方向由动量定理有，， 解得 所以d点坐标为（，，） 粒子从c点至d点过程，沿z轴方向由动量定理有， 解得 8．【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子在磁场中做圆周运动，作出运动轨迹，如图所示 根据几何关系有 解得粒子在磁场中运动的半径为 （2）带电粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有 在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 9．【答案】(1) (2)，x轴正方向的夹角 【详解】（1）宇宙射线粒子在区域I中做匀速圆周运动，由几何关系可知 解得轨迹半径 由洛伦兹力提供向心力 解得磁感应强度的大小 （2）设宇宙射线粒子在Q点的速度方向与x轴正方向夹角为，则， 进入区域II电场之后，在x轴方向做匀速直线运动 在电场中运动的时间 在y轴方向做匀加速直线运动，有， 粒子在y方向的末速度大小 粒子射出II区域时的速度大小 设速度v与x轴正方向的夹角为，则， 10．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子以速度经过电场加速后速度为,根据动能定理则有 粒子以速度由O进入磁场刚好从圆形磁场最下端点沿方向射出，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 由几何关系 联立以上各式解得 （2）粒子在磁场中进行磁聚焦，粒子会汇聚在点，从圆形磁场最上端进入磁场和从最下端进入磁场的粒子时间间隔最大，粒子圆周运动的周期 最上端粒子运动时间 最下端粒子运动时间 最大时间间隔 （3）刚好在磁场II射到荧光屏上轨迹恰好与荧光屏相切，由几何关系， 在磁场中 最终打到荧光屏上的粒子数与总粒子数之比 11．【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子磁场中做圆周运动，在电场中做类平抛运动，轨迹如图所示 设其在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 结合牛顿第二定律有 联立上式解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，运动时间 竖直方向位移 其中 联立解得 粒子离开电场的位置其横坐标 纵坐标 即 12．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从点沿轴正向射入的粒子恰好通过点，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为，如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）从点沿轴正向射入的粒子在电场中做类平抛运动，设粒子出电场时沿轴负方向的分速度为，如图所示，由题意可知 沿轴方向有 根据牛顿第二定律有 联立解得 （3）由于粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动的半径为，根据磁发散原理，所有粒子均沿轴正方向射出磁场Ⅰ，设某一粒子进入磁场Ⅱ时，与轴正方向夹角为，则该粒子进入磁场Ⅱ时速度为，如图所示 设该粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动，半径为，洛伦兹力提供向心力，有 则轨迹的圆心到轴的距离为，代入第一问结果，得。 由此可见，所有粒子进磁场Ⅱ后做圆周运动的圆心均在离x轴距离为的水平线上，即此时接收屏距离轴的距离为，根据圆的特点，打到屏上的速度垂直于半径，而半径在接收屏所在的平面，因此所有粒子均能垂直打在接收屏上。在点沿与轴负方向成60°向左上方射出的粒子恰好能打在屏上时，该粒子左侧的所有粒子都可以打在屏上，右侧的粒子则不能打在屏上，即有三分之一的粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打在屏上，设这时屏需要移动的距离为，如图所示， 设该粒子在磁场Ⅰ中轨迹如图，出磁场时坐标 进入磁场Ⅱ时的速度大小为，在电场中，根据动能定理有 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 即仅有三分之一的粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打到屏上，接收屏沿轴负方向移动的距离为 13．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在电场中做平抛运动的时间为，根据运动学规律有， 由牛顿第二定律得 联立解得 （2）设粒子在P点的竖直分速度大小为，根据运动学规律有 设粒子在P点的速度与水平方向夹角为，根据速度的合成与分解有 解得 故 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律有 根据几何关系可得 联立解得 （3）粒子在磁场中运动的周期 故粒子在磁场中运动的时间 从磁场中出来打到y轴上的时间 粒子从M点到再次经过y轴的时间 14．【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子a在电场中沿x轴方向做匀速直线运动，沿y轴方向做匀加速直线运动，根据类平抛运动规律有， ，a粒子在电场中运动过程中，根据动能定理可得 解得 （2）如图是两粒子运动轨迹的示意图。设碰后粒子c的速率为，半径为，根据牛顿第二定律有 由几何关系可得 设粒子碰前速度为，半径为，则， 沿粒子的方向为正，根据动量守恒定律有 根据动量的计算公式及 可知 解得 15．【答案】BCD 【详解】A．设b粒子在磁场中运动的半径为R，粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可得 解得 洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 联立解得 A错误； B．粒子b在电场中沿y轴方向做匀速直线运动，沿x轴方向做匀变运动，如图所示 设粒子b在电场中运动时间后到达处，根据运动学规律可知，沿y轴方向则有 解得 沿x方向做匀减速运动，根据牛顿第二定律可得 根据匀变速直线运动规律则有 联立解得 B正确； C．由分析知，粒子 a、b在磁场中运动的半径和周期均相等，设周期为T，则粒子a在磁场中运动的轨迹如图所示 其运动周期 由几何关系得，粒子a在破场中运动的圆心角满足 解得 粒子b在磁场中运动的圆心角 要使两粒子同时离开磁场，粒子 a比粒子b先发射，且发射的时间差 C正确； D．结合上述分析可知，刚进入电场时，粒子a、b之间的距离 两粒子刚进入电场时沿x方向的加速度相同，相对速度 故经过t1时间后粒子相距 D正确。 故选BCD。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $