1.2.2 等差数列的前 n 项和教学设计-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

1.2.2等差数列的前n项和 一、教学目标 1．掌握等差数列前项和公式的推导方法（倒序相加法），理解推导逻辑与本质. 2．熟练掌握等差数列前项和的两个核心公式，并能根据已知条件灵活选择公式解决相关计算问题. 3．能够运用等差数列前n项和公式解决实际应用问题，提升数学建模与运算求解能力. 二、教学重难点 教学重点：等差数列前n项和公式的推导过程（倒序相加法的理解与应用）. 教学难点：用数列的前n项和与通项的关系求通项公式. 三、本节内容和内容解析 本节内容是在学生掌握等差数列概念、通项公式的基础上，进一步学习等差数列的核心性质——前n项和.通过高斯求和的经典案例引入，借助倒序相加法推导前n项和公式，建立起前n项和与首项、末项、公差、项数之间的关联.等差数列前项和公式是数列知识体系的重要组成部分，不仅是解决等差数列求和问题的工具，也是后续学习等比数列求和及数列综合应用的基础. 四、学情分析 本节课的授课对象为高中二年级学生，已掌握等差数列的概念、通项公式，理解公差的几何意义.具备基本的代数运算、归纳推理能力，能进行简单的方程求解.对高斯求和的故事有初步了解，为倒序相加法的引入奠定了认知基础.但学生存在以下认知难点：对＂倒序相加法＂这种特殊求和方法的思路不够熟悉，需要通过具体实例引导逐步理解.面对多个量交织的问题时，难以快速确定选择哪个求和公式，缺乏对公式适用条件的清晰认知.将实际问题转化为等差数列模型的能力有待提升，需要强化情境分析与建模训练. 五、教学准备 教师准备：准备好课件，利用课件动态展示教学内容． 学生准备：提前预习教材15-17页内容. 六、教学过程设计 (一)知识拓展，情境引入: 教师活动：讲述高斯求和的经典故事：10岁的高斯在课堂上快速算出的结果，引导学生思考高斯的计算思路.提问：你能重现高斯的计算过程吗？这个问题本质上是求什么数列的和？今天我们就来探究等差数列的前项和，学习如何用科学的方法计算等差数列的前项和. 学生活动：倾听故事，回忆高斯求和的方法（首尾配对相加）.尝试计算的结果，交流分享自己的思路.明确本节课的学习主题，激发探究兴趣. (二)新课讲授 1．提出问题，探究思路 教师活动：设等差数列的首项为，公差为，求其前n项和. 提问：类比高斯求和的思路，如何计算这个一般等差数列的前n项和？ 引导学生观察等差数列的特点：（可通过通项公式验证： 学生活动：小组讨论，尝试将高斯的＂首尾配对＂思路推广到一般等差数列.验证的结论，理解等差数列的对称性.推导公式，突破难点 教师活动：采用倒序相加法推导公式： 将＋得：. 由于共有n对相等的和，因此： 再结合等差数列通项公式，将其代入上式，得到第二个求和公式： 强调两个公式的特点：第一个公式需已知首项和末项；第二个公式需已知首项和公差，引导学生根据已知条件选择合适公式. 学生活动：跟随教师的推导步骤，理解倒序相加法的核心思想——利用等差数列的对称性将分散的项配对求和.记录两个前n项和公式，明确公式中各量的含义及适用条件.尝试自主推导第二个公式，加深对公式的理解. 例题讲评： 例6求从1开始的连续个正奇数的和． 解：因为正奇数数列是首项为1、公差为2的等差数列．由等差数列前项和公式，得 故从1开始的连续个正奇数的和为． 例7在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问： （1）第9圈共有多少块石板？ （2）前9圈一共有多少块石板？ 解：（1）设从第1圈到第9圈的石板数所成数列为，由题意可知数列是等差数列，其中首项，公差，项数．由等差数列的通项公式，得 （2）由等差数列的前项和公式，得 因此，第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板． 例8在数列中，，求这个数列从第100项到第200项的和的值． 解：因为，所以数列是公差为2的等差数列，此数列从第100项到第200项仍是等差数列．共有101项，所求和为 因此，这个数列从第100项到第200项的和的值为30603． 例9在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗．一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A处，这名工人共走了多少路程？ 解：这名工人每栽一棵树苗并返回A处所要走的路程（单位：m）组成了一个数列， 这是首项，公差，项数的等差数列，其和 因此，这名工人共走了3800m的路程． 例10某抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达．为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24h后方可筑成第二道防线．但目前只有一辆车投入施工，其余的需从高速公路沿线抽调，每隔20min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内能否构筑成第二道防线？ 解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：）依次设为这是一个等差数列，其中首项，公差．25辆车可以完成 需要完成的工作量为．因此，在24h内能构筑成第二道防线． (三)课堂练习 1.中国古代数学中有一个问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百七岁期（注：二百七岁期为二百零七岁），借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为() A.11 B.13 C.14 D.16 2.已知一个有限项的等差数列，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为() A.12 B.14 C.16 D.18 3.已知数列为等差数列，且前5项和，，则___________. (四)课堂小结 1．核心公式： · 等差数列前n项和公式1：（已知）. · 等差数列前n项和公式2：（已知）. 2． 推导方法：倒序相加法，核心思想是利用等差数列的对称性配对求和. (五)布置作业 教材第17页，练习1-3. 教材第19页，练习1-4. 学科网（北京）股份有限公司 $