湖南省跨地区中等专业学校“百校联考”2025—2026学年高二上学期期末数学试题

机密★启用前 湖南省2025一2026年跨地区中等专业学校“百校联考” 科目：数学（高二） (试题卷) 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡 和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准 考证号和科目。 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷 和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按如下要求答题： (1)选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用 橡皮擦干净，不留痕迹； (2)非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书 写，否则作答无效 (3)请勿折叠答题卡。保持字体工整、笔迹清晰、卡面 清洁。 3.本试题卷共4页。如缺页，考生须及时报告监考老师， 否则后果自负。 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 姓 名 准考证号 祝你考试倾利！ 湖南省2025一2026年跨地区中等专业学校“百校联考” 数学（高二） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页.时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.“x=-3”是“x2-3=0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“a≤2”是“a≤2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知向量AB=(2,4),AC=(一1，k),若AB∥AC,则的值为 A.-2 B.2 C.-1 D.- 1 4.已知向量a=(2,-1),b=(-3,4),则2a+b的值是 A.1 B.2 C.√5 D.5 5.在平行四边形ABCD中，若AC与BC交于点M,设向量AB=a,AD=b,则向量MA= A 2a+ 一b B.- 2a-2b C.za+b D.24-2b 、y2 6.已知椭圆1-m十m一3 1的焦点在x轴上，且焦距为4，则m等于 A.5 B.6 C.9 D.10 7.已知双曲线C:2x2一y2=1,若双曲线C,和双曲线C有相同的焦点，且双曲线C1经过点 (1,2),则双曲线C1的标准方程为 A1 B-=1 C. 2x2-1 D.y2-2 数学（高二）第1页（共4页） 8.已知复数之在复平面内对应的点在第四象限，虚部为一√5，模为2，则复数之为 A.2-√3i B.-1-√3i或1-√3i C.-1-5i D.1-5i 9.设m,n表示两条直线，a,3,y表示三个平面，则下列四个命题正确的是 a∥ ⊥B ① →3∥y: ② →m⊥3； a∥y m∥a ma m /n →a⊥3； ④ →m∥a. m∥B) n三a A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 10.已知直线1过抛物线y2=一2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点，若线段 AB的长是6，AB的中点到y轴的距离是1，则此抛物线方程是 A.y2=-2a B.y2=-4x C.y2=-6x D.y2=-8.x 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.化简：4(a+b)-3(a-b)-a= 12.若方程 3y2 m一3十m十21表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围为 (用 区间表示). 13.如图1所示，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,则平面 PBC与平面ABC所成的二面角的大小是 (用弧度表示). B 图1 14.已知一2一i是实系数一元二次方程x2十px十5=0的一个根，则p= 15.已知复数z满足(1一i)z=4十3i,则复数之= 数学（高二）第2页（共4页） 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(本小题满分10分) 已知平面向量a,b的夹角为3，且a·(a-b)=2,a=2.求： (1)b的值； (2)(a一b)2的值. 17.(本小题满分10分) 已知双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为(4,0)，且过点（一2,0）.求： (1)双曲线的标准方程； (2)双曲线的虚轴长、离心率和渐近线方程. 18.(本小题满分10分) 如图2所示，已知正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为3cm. D B 图2 (1)求证：AC∥平面A1B1C1D1; (2)求直线AC1与平面A,B,C1D1所成角的余弦值. 19.(本小题满分10分) 如图3所示，在三棱锥S-ABC中，已知SA⊥平面ABC,∠CAB=60°，且SA=AB= AC=3,D是BC的中点. S B D 图3 (1)求证：SD⊥BC: (2)求三棱锥S-ABC的体积. 数学（高二）第3页（共4页） 20.(本小题满分10分) 已知抛物线C:y2=2p,x(p>0)的准线为x=一1，过点P(4,0)的直线L与抛物线C交 于A,B两点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)设O为坐标原点，判断直线OA与OB是否垂直，并说明理由. 21.(本小题满分10分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为6，离心率为号 (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线1与椭圆交于A,B两点，且点P(2,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程 数学（高二）第4页（共4页） 湖南省2025—2026年跨地区中等专业学校“百校联考” 数学（高二）参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. A【解析】解方程得，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A. 2. B【解析】解得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B . 3. A【解析】由已知得，，.故选A. 4. C【解析】，.故选C. 5. B【解析】在平行四边形中，.故选B. 6. A【解析】由已知得，解得.故选A. 7. C 【解析】设双曲线，代入点（1,2）得，则双曲线的方程为，即.故选C. 8. D【解析】设复数的实部为，则，解得，又复数在复平面内对应的点在第四象限，，.故选D. 9. C【解析】根据平行平面的传递性可知命题①正确；命题②由已知可得，故命题②错误；命题③由，得平面内存在直线，使得，又，，，故命题③正确；命题④由已知可得，故命题④错误.故选C. 10. D【解析】设抛物线的焦点，已知弦长，中点到y轴的距离是1，即中点的横坐标为-1，，由弦长公式，，故抛物线方程是.故选D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 【解析】. 12. 【解析】由题意可得，解得，则的取值范围为. 13.【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AB⊥BC，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，又BC⊥AB，∴∠PBA为二面角P-BC-A的平面角，又∵PA⊥AB，PA=AB，∴∠PBA= .∴二面角P-BC-A的平面角为. 14. 4 【解析】由已知得一元二次方程的另一个根为，. 15.【解析】，， ． 三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．解：（1）(2分) 解得. (3分) （2） (2分) =4 . (3分) 17.解：（1）由焦点得，且焦点在轴上， (1分) 又双曲线过点， (1分) ，(1分) 所以双曲线的标准方程为. (2分) （2）由（1）得，(1分) 所以双曲线的虚轴长为，(1分) 离心率为，(1分) 渐近线方程为. (2分) 18.（1）证明：连接，在正方体中， ,为平行四边形，. (3分) 又，，. (2分) （2）解：在正方体中，平面， 为在平面的射影， 为与平面所成的角. (2分) 由已知得cm,, , (2分) ,即所求角的余弦值为.(1分) 19.（1）证明：连接，(1分) 又是的中点，.(1分) 又,且AD,SA平面SAD，. (1分) . (2分) （2）解：(1分) (2分) (2分) 20.解：（1）由准线方程得(2分) 抛物线C的标准方程为.(2分) （2）直线与垂直，理由如下： 设则设则. (1分) 当直线的斜率存在时，设直线(1分) 由消元得 (1分) 故直线与垂直. (1分) 当直线的斜率不存在时，直线，此时两个交点分别为 故直线与垂直. 综上所述，直线与垂直. (2分) 21.解：（1）由已知得，(2分) 椭圆的标准方程为(2分) （2）设点为线段的中点， 则.(1分) 将代入椭圆方程并相减得： (1分) (2分) 故直线的方程为 (2分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $