【全优进阶·寒假学练手册】2025-2026学年九年级数学寒假作业全书（北师大版）

部分参 数学 第3页：1.C2.AD/∥BC(答案不唯一) 3.证明：(1)AD=BC,AD+CD=BC+CD, .AC=BD.AE=BF,CE=DF,∴.△AEC≌ △BFDSSS),.∴.∠A=B,.AEBF.(2).△AEC≌ △BFD(SSS),∴.∠ECA=∠FDB,∴.EC/DF.EC= DF,.四边形DECF是平行四边形.：DF=FC, .四边形DECF是菱形. 4.【操作发现】两组对边分别平行的四边形是 平行四边形 【探究提升】证明：，四边形纸条ABCD和EFGH 是平行四边形，∴MN∥EF,EN∥FM,.四边形 EFMN是平行四边形，∠B=∠FEH,.AB∥NE. AN∥BE,∴.四边形ABEN是平行四边形，.AB= EN.AB=EF,.EN=EF,口EFMN是菱形. 【结论应用】80解析：平行四边形纸条EFGH 沿BC或CB平移，∴.四边形GFCP是平行四边形， ∴.PG=CF,PG∥CF.DM∥CF,∴.DM∥PG,∴.四 边形PDMG是平行四边形..MD=MG,∴.四边形 PDMG是菱形，.PG=PD,由【探究提升】知 口EFMN是菱形，.FM=EF,∴.EF=CD,∴.CE= CP,.四边形ECPH是菱形.，四边形ECPH的周 长为40，∴.HE=PC=10,∴.FG=HE=10,过点G 作GQLBC于点Q,sim∠ErG=Cg=4, FG-5..cQ= 8,.四边形ECPH的面积为CE·GQ=10×8=80. HGP 第4页：1.C2.2V53.V√224.证明：四 边形ABCD是平行四边形，∴.AB/CD,AB=CD, ∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE.·E为BC的中点， .EB=EC,.△ABE≌△FCE(AAS),.AB=CF AB/CF,.四边形ABFC是平行四边形.BC= 九年级理科综合 考答案 AF,∴.四边形ABFC是矩形.5.解：，当点H在线 段AE上时把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F 处，折痕为DE,点E在AB边上，四边形ADFE 是正方形，.AD=AE.:AH=AE-EH=AD-1, 把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕 为DG,点G在BC边上，.DC=DH=AB=AD+2, 在Rt△ADH中，AD2+A=D,.AD2+(AD- 1)2=(AD+2)2,解得AD=3+2V万，AD=3-2V3 (舍去)，AD=3+2V3,当点H在线段BE上时，则 AH=AE-EH=AD+1,在Rt△ADH中，AD2+ AP=D,AD2+(AD+1)2=(AD+2)2,解得 AD=3,AD=-1(舍去)，.AD的长为3+2V3或3. 第5页：1.B2.八3.154.解：如图，连接 BB',交EF于点G,过点F作FH⊥AD, A. H :1.2☑ :正方形ABCD的边长为1，四边形ABFE与四 3 边形EFCD的面积比为3：5，·S网边形E=g×1= 令设CF=,则Dn=,F=1-,Ssc= ×aB+BA×AB=景即2aB+1-×1=是 3 解得4B=-子六DE=1-AB=-,B班 5 BD-D--=-2x,由折叠的性质可得 5 BB⊥EF,∴.∠1+∠2=∠BGF=90°.∠2+∠3= 90°，∴.∠1=∠3.又FH=BC=1,∠EHF=∠C, △BF兰△BrCB(ASA),BC=EH=-2x 在Rt△B'FC中，B'F2=B'C+CF2,∴.(1-x)2= 107 到。 +仔-2，解得：=则线段cP的长为 5.解：如图所示 图1的周长为1+2+3+2V2=6+2V2;图2 的周长为1+4+1+4=10；图3的周长为3+5+ V2+V2=8+2V2.则四边形MWPQ的周长是6+ 2V2或10或8+2W2 图1 图2 图3 第6页：1.C2.243.(15,3)4.解：连接 AP,如图所示. BI--- 四边形ABCD为正方形，∴.AB=BC=AD=6, ∠B=∠C=∠D=90°，点E是BC的中点，BE= CB=B=3,由折可知A=AB,BP=BE=3, ∠AFE=∠B=90°，.AD=AF,∠AFP=∠D=90° 在△4P有△AP中，A△4P Rt△ADP(HL),.PF=PD.设PF=PD=x, 则CP=CD-PD=6-x,EP=EF+FP=3+x,在 Rt△PEC中，根据勾股定理得EP2=EC+CP,.(3 +x)2=32+(6-x)2,解得x=2,则DP的长度为2. 5.(1)解：四边形ABCD是垂美四边形.理由： :AB=AD,点A在线段BD的垂直平分线上 CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上.∴直 线AC是线段BD的垂直平分线，∴，AC⊥BD,即四边形 ABCD是垂美四边形.(2)垂美四边形的两组对边 的平方和相等如图2，已知四边形ABCD中，ACL BD,垂足为E,求证：AD2+BC=AB+CD2.证明： .AC⊥BD,∴.∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC=AE+DE+BE2+CE2, 108 AB2 CD2=AE2 BE2 CE2 DE2,..AD2+BC2= AB2+CD2.(3)解：如图3，连接CG,BE,∠CAG= ∠BAE=90°，∴.∠GAB=∠CAE,.△GAB≌△CAE, .∠ABG=∠AEC.又.∠AEC+∠AME=90°，.∴.∠ABG+ LAME=90°，即CE⊥BG,∴.四边形CGEB是垂美四 边形，由(2)得，CGC+BE=CB2+GE.:AC= 4,AB=5,∴.BC=3,CG=4V2,BE=5V2, ∴.GE=CG2+BE2-CB2=73,∴.GE=V73. D 图2 图3 第7页：1.D2.523.证明：(1)在△A0B与 LAB0=∠DC0=90°， △D0C中， 3OB=OC, .△AOB≌ ∠AOB=∠DOC, △DOC(ASA),∴.OA=OD.又，E,F分别是AO,D0 的中点，∴.OE=OF.(2)0B=OC,OF=OE, ∴.四边形BECF是平行四边形，BC=2OB,EF= 20E.:E为A0的中点，∠AB0=90°，∴.EB=E0= EA.∠A=30°，.∠B0E=60°，.△B0E是等边 三角形，∴.OB=OE,.BC=EF,.四边形BECF 是矩形 4.(1)证明：DE=DG,EF=DE,∴.DG= EF.DG∥EF,.四边形DEFG 是平行四边形.DG=DE,四 边形DEFG是菱形.(2)解： A E F 如图1，当四边形DEFG是正方 图1 形时，设正方形的边长为x.在Rt△ABC中，： ∠C=90°，AC=3,BC=4,.AB=V32+42=5,则 5 35 CD=亏，AD=4.AD+CD=AC,亏x+ 60 3，x=37)CD=5x= 3之=36，观察图象可知： 0≤CD<37 36 时，菱形的个数为0.如图2，当四边 形DAEG是菱形时，设菱形 的边长为m.DG/AB, 5’ A(E)E(F)F 图2 CD=3-159 解得m=15 88 如图3，当四边 形DEBG是菱形时，设菱形 的边长为n.DG/AB, CG DG 4-nn ‘E BE) CB AB' 4 5’ 图3 n 9, ·CG=4- 20 2016 9 9’ .CD= 、《份-(-震察图象可知，当0≤60< 36 9 2或4<CD≤时，菱形的个数为0，当CD 8 36 9 或8<CD≤4时，菱形的个数为1，当翁< 3 .9 CD≤。时，菱形的个数为2. 第8页：1.C2.83.(1)证明：在矩形 ABCD中，AB=4,BC=2,∴.CD=AB=4,AD= BD=2.CD/AB,LD=LB=90.BE=DF-7 六CF=AE=4-3-5 --a=E=2+ 之A=GP=C6=AE=多四边形BCF是菱 5 形.(2)解：如图，过点F作FH⊥AB于点H,则四 3 边形AHFD是矩形，AH=DF=2FH=AD=2,六 哑名-31，EP=VFm+E=V2+P=3 E 4.解：(1)67.5°V2(2)四边形EMGF是 矩形.理由：四边形ABCD是正方形，∠B= LBCD=∠D=90°，由折叠的性质得∠BCE= ∠ECA=∠ACF=∠FCD,CM=CG,∠BEC=∠NWEC= ∠NFC=∠DFC,.∴.∠BCE=∠ECA=∠ACF=∠FCD= 4=22.5°，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC= 90 67.5°，由折叠可知，MH,GH分别垂直平分EC, 九年级理科综合 FC,.MC=ME=CG=GF,∴.∠MEC=∠BCE= 22.5°，∠GFC=∠FCD=22.5°，∴.∠MEF=90°， ∠GFE=90°.：∠MCG=90°，CM=CG,∴.∠CMG= 45°.：∠BME=∠BCE+∠MEC=22.5°+22.5°=45°， ∴.∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，∴.四边形 EMGF是矩形.(3)EMCH或FGCH解析：连接 EH,FH,如图所示.：由折叠可知，MH,GH分别垂 直平分EC,FC,同时EC,FC也分别垂直平分MH, GH,∴.四边形EMCH与四边形FGCH是菱形. D 第9页：1.C2.43.(1)解：四边形 ABCD是菱形，.∴AC⊥BD且AO=CO,B0=DO.: ∠ABC=60°，∴.∠AB0=30°，∠AOB=90°.：AB= 10,.A0=5,B0=5V3.AC=2A0=10,BD= B0=10V3,菱形ABCD的面积=)AC×BD=x 2 10×10V3=50V3.(2)证明：如图，连接EC. 0 设∠BAE的度数为x,四边形ABCD为菱形， .BD是AC的垂直平分线，.AE=CE,∠AED= LCED,∠EAC=∠ECA=60°-x.∠ABD=30°， ∴∠AED=LCED=30°+x,∠DEF=∠AEF-∠AED= 120-(30+)=90-xB0C=A0C=30, ..∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC)=180°-(90°-x+ 30)=x+60°.∠CED=30°+x,∴.∠ECD=180° -(∠CED+∠BDC)=180°-(30°+x+30°)=120°- 1093 A N JI x,∴.∠ECF=180°-∠ECD=180°-(120°-x)=x+ 60°，.LEFC=LECF,∴.EF=EC.AE=CE. ∴.AE=EF 4.解：(1)上述结论①②仍然成立.理由： 四边形ABCD为正方形，.AD=DC,∠BCD= ∠ADC=90°，∴.△ADF≌△DCE(SAS),∴.AF=DE, ∠DAF=LCDE.:LADG+LEDC=90°，.∠ADG+ ∠DAF=90°，∠AGD=90°，即AF⊥DE.(2)上述 结论①②仍然成立，理由：：四边 形ABCD为正方形，·.AD=DC, ∠ADC=∠BCD=90°，.△ADF≌ △DCE(SAS).∴AF=DE,LF=LE.EL .∠ADG+∠EDC=90°，.∠ADG+ ∠DAF=90°，.∠AGD=90°，即AF⊥DE.(3)四 边形MWPQ是正方形.理由：如图，设MQ,DE分别 交AF于点G,O,PQ交DE于点H,点M,N,P, Q分别为AE,EF,FD,AD的中点，.MQ=PN= DE,PQ=MN=,M0DB,P0/a,∴四边 形0HQG是平行四边形.AF=DE,∴MQ=PQ= PN=MN,.四边形MNPQ是菱形.AF⊥DE, ∠A0D=90°，HQG=∠A0D=90°，.四边形 MNPQ是正方形. 第10页：1.D2.60°3.3V24.证明：：四 边形ABCD是菱形，∴OA=OC,OB=OD且AC⊥ BD.又BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE= OF.0E=OA,∴OA=OC=0E=OF,且AC=EF. 又：ACLEF,:.四边形AECF是正方形 5.解：(1)猜想：∠MBW=30°.证明：如图1， 连接AN,直线EF是AB的垂直平分线，.NA=NB, 由折叠可知，BN=AB,.AB=BN=AN,.△ABN是 等边三角形，.∠ABN=60°，∴∠NBM=∠ABM= 8N=30.2)结论：MW=折纸方案： 如图2，折叠△BMN,使得点N落在BM上点O处，折痕 为MP,连接OP.理由：由折叠可知△MOP≌△MNP, MN=OM,∠0MP=∠MP=0MN=30e ∠B,∠MOP=∠MNP=90°..∠B0P=∠MOP= 90°.OP=OP,∴.△MOP≌△BOP,∴.MO=B0= 110 2BM,..MN=2BM. 2 M D Er …F 0 P 图1 图2 第11页：1.D2.20203.04.解：(1)由 关于x的方程(k+1)x+1+(k-3)x-1=0是一元 一次方程，得货0安作1，k上320解得 k=-1或k=0.当k=-1或k=0时，关于x的方程 (k+1)x+1+(k-3)x-1=0是一元一次方程. (2)由关于x的方程(k+1)x+1+(k-3)x-1=0 是一元=次方装，得化0餐得=1当=1 时，关于x的方程(k+1)x+1+(k-3)x-1=0是 一元二次方程.5.解：(1)设矩形ABCD的边AB= xm,则边BC=70-2x+2=（72-2x)m.根据题意， 得x(72-2x)=640,化简，得x2-36x+320=0, 解得x1=16,x2=20,当x=16时，72-2x=72- 32=40;当x=20时，72-2x=72-40=32.答：当 羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m 时，能围成一个面积为640m2的羊圈.(2)不能. 理由：由题意，得x(72-2x)=650,化简，得x2- 36x+325=0,4=(-36)2-4×325=-4<0, 一元二次方程没有实数根.·.羊圈的面积不能达 到650m2. 第12页：1.D2.0(答案不唯一)3.(x-1). (x-2)=184.解：a2-6a+b2-10b+c2-8c+ 50=0,∴.a2-6a+9+b2-10b+25+c2-8c+16= 0,即(a-3)2+(b-5)2+(c-4)2=0,.a=3, b=5,c=4,∴.△ABC的周长=3+4+5=12.5.解： (1)换元(2)设m2+n2=y,则原方程变形为 (y-2)y=8,整理，得(y-4)(y+2)=0,解得 y=4或y=-2（舍去)，即m2+n2=4. 第13页：1.A2.-63.m<14.解：(1)设 这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,由 题意，得1.6(1+x)2=2.5,解得x=0.25=25%(负 值已舍掉).答：这两个月中该景区游客人数的月平 均增长率为25%.(2)设5月后10天日均接待游 客人数是y万人，由题意，得2.125+y≤2.5(1+ 25%),解得y≤1..5月后10天日均接待游客人数 最多是1万人.5.解：(1)712(2)-1(3)根 据题意可得x2-10x+30=(x2-10x+25)+5=(x -5)2+5.:(x-5)2是非负数，.代数式x2-10x+ 30的最小值是5，此时x=5.(4)设长方形花圃 平行于墙的一边长为xm,则与其相邻的另一边长为 224-)m由题意，得围成的长方形花周的面积为 324-=-言+12=号-12+7n当x- 1 12时，长方形花圃的面积有最大值，是72m2,.花 圃的最大面积是72m2. 第14页：1.D2.a>93.204.解：(1) 名=-V2,=-2w2.(2)-9+7 9-V17 4 (3)x=,=2.(④)=2+V2. 41 y2=2-V2.5.解：(1)m+2(2)≥(3)10m2+ 4n2+4=12mn+4m,已知等式整理得9m2-12mn+ 4n2+m2-4m+4=0,.(3m-2n)2+(m-2)2=0, .3m-2n=0,m-2=0,解得m=2,n=3.m, n是△ABC两条边的长，k是第三边长，∴.3-2<k< 3+2,即1<k<5.第三边长k是奇数，∴k=3. 第15页：1.A2.33.1501(1+x)2=1815 4.解：设道路的宽应为xm,由题意得(50-2x)× (38-2x)=1260,解得x1=4,x2=40（不符合题 意，舍去).答：道路的宽应为4m.5.解：设AB 为xm,则BC为(50-2x)m.根据题意得方程 x(50-2x)=300,整理得2x2-50x+300=0,解得 x1=10,x2=15.当x=10时，50-2x=30>25(不 合题意，舍去)；当x=15时，50-2x=20<25(符 合题意).答：当砌墙宽为15m,长为20m时，花园 的面积为300m2. 第16页：1.A2.x=-23.2V74.解：(1)x1= 0,x=-16.(2)4=26=4 (3)1=3, x2=1.(4)x1=-3,x2=1.5.解：(1)设3月再 ● 九年级理科综合 生纸产量为xt,则4月的再生纸产量为(2x-100)t, 由题意得，x+(2x-100)=800,解得x=300, .2x-100=500.答：4月再生纸的产量为500t (2)由题意，得500(1+m%)×1000×1+”%= 2 660000,解得m%=20%或m%=-3.2(不符合题 意，舍去)，.m=20,即m的值为20. (3)设4一6月每吨再生纸利润的月平均增长率 为y,5月再生纸的产量为at,1200(1+y)2·a(1+ y)=(1+25%)×1200(1+y)a,∴.1200(1+y)2= 1500.答：6月每吨再生纸的利润是1500元. 第17页：1.A2.21和233.200或1604. 解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可 售出[300+5(200-x)]个，依题意，得(x-100): [300+5(200-x)]=32000,整理，得x2-360x+ 32400=0,解得x1=x2=180.180<200,符合题 意.答：这种电子产品降价后的销售单价为180 元时，公司每天可获利3200元.5.解：(1)2 3 1 （2)一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分 别为m,,六m+n=b=-3-3, a 22mn= a 1 m n mn mn (3)实数5，t满足2s2- 2 2 3s-1=0,22-3t-1=0,∴s,t可以看作方程2x2- 3x-1=0的两个根，÷s+t=-6。-3_3 a 22,t= }24-罗成-=罗当 2 V17 7时，112=-V7:当-s=7 2 s t st 1 2 2 V17 时，只子Vm,综上分折可如， 2 11 国到 1-1的值为V17或-V7. t 第18页：1.B2.203.204.解：花园的面 积不能为625m2.理由：设AB的长为xm,则AD的 长为(50-x)m,由题意，得x(50-x)=625,解得 x1=x2=25,当x=25时，BC=50-x=50-25= 25,即当AB=25m,BC=25m<30m,∴.花园的面 积不能为625m2.5.解：（1)观察图形可得y=(n +3)(n+2),即y=n2+5n+6,∴y与n(n表示第n 个图形)之间的函数表达式为y=n2+5n+6. (2)由题意，得n2+5n+6=506,解得n=20(负 值已舍去)，.n=20.(3)白瓷砖的块数是n(n+ 1)=20×(20+1)=420(块)，黑瓷砖的块数是506 -420=86（块)，共需86×4+420×3=1604 （元)，∴在问题(2)中共需花1604元购买瓷砖. (4)不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形，理由： 令n(n+1)=n2+5n+6-n(n+1),解得n= 3±V33 2 二.n不为整数，∴.不存在黑瓷砖与白瓷砖 块数相等的情形 第19页：1.A2.7 0 3日4解：①)随机 (2)画树状图为 开始 乙丙 甲丙丁 甲7 ·甲乙丙 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中选 中的两名同学恰好是甲、丁的结果数为2，所以选 中的两名同学恰好是甲、丁的概率=2=1 12-6 5.解： (1)画树状图为 开始 第一次 和2345345645675678 由树状图可知共有16种等可能的结果.(2)某 顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的有6种情况， ·某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是 112 6 3 6=8 第20页：1B263号4解：（①号 (2)如图，画树状图如下： 开始 个 1234123412341234 由树状图可知所有可能的结果数为16个，第2 次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结 果数为3个，∴.第2次摸到的小球编号比第1次摸到 的小球编号大1的概率为6 5.解：（1)根据题意列出下表： 小红 2 3 5 9 哥哥 4 (4,2) (4,3) (4,5) (4,9) 6 (6,2) (6,3) (6,5) (6,9) 7 (7,2) (7,3) (7,5) (7,9) 8 (8,2) (8,3) (8,5) (8,9) 从表格（或树状图）可以看出，所有可能出现 的结果共有16个，这些结果出现的可能性相等，而 和为偶数的结果共有6个，所以小红去看比赛的概 案为6、3 (2)由(1)知小红去看比赛的概率 168 为。，哥哥去看比赛的概率为1。 3=5因为< 88 <8 所以哥哥设计的游戏规则不公平.公平的游戏规则 如下：若数字之和小于或等于10，则小红（哥哥) 去，若数字之和大于或等于11，则哥哥（小红） 去，这样两人去看比赛的概率都为)，那么游戏规 则就是公平的.或者：如果将八张牌中的2,3,4， 5四张牌给小红，而余下的6,7,8,9四张牌给哥 哥，则和为偶数或奇数的概率都为，那么游戏规 则也是公平的.（只要满足两人手中数字为偶数或 奇数的牌的张数相等即可) 第21页：1C2；3.94解：其中一份填 蓝色，另一份填红、蓝以外的其他颜色即可.5.解： (1)画树状图得所有可能出现的结果如下： 开始 V 转盘A 黄 转盘B红蓝白蓝黄红蓝白蓝黄红蓝白蓝黄 则共有15种等可能出现的结果.(2)配成 紫色的有3种情况，颜色相同的有4种情况，∴.P(小 强获胜)=5-5P(小亮获胜)：5P(小强获 胜)≠P(小亮获胜)，.此游戏不公平，(3)如 图，此时P(小强获胜)=P(小亮获胜)=了故此游 戏对小强和小亮是公平的 红 蓝 白 蓝 转盘C 第22页：1.D2. 327004解：（①号 (2)画树状图如下： 开始 锁 钥匙a b c a b 由树状图可知共有6种等可能的结果，其中取 出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即Aa, Bb,∴取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为 21 6=3·5.解：(1)由题意可知，50次摸球试验活 动中，出现红球20次、黄球30次，.红球所占百分 比为20÷50=40%，黄球所占百分比为30÷50= 60%.答：红球占40%，黄球占60%.(2)由题意 可知，50次摸球试验活动中，出现有记号的球4次， 总球数为8÷0=10，红球数为100×40%= 40.答：盒中有红球40个. 第23页：1A233号4解：（①由勾股 定理得AB=V32+4平=5，∴)X5×CD=×3为 2 九年级理科综合 4,÷cD=12 ， 由勾股定理得AD= BD=16 9 AD CD CD=BD' 即AD,CD,CD,BD是成比例线段 (2能，如C=D,4C=CD,4g=4C等」 BC=CD'BC=BD'AC=AD 5.(1)证明：如图2，过点C作CE/DA,交BA的延 长线于点gBn.小80·<cD ∠ACE,∠BAD=∠E.AD平分LBAC,·∠BAD= AB BD ∠CAD,.ACE=∠E,.AE=AC,六AC=CD (2)解：A0是角平分线，小把-80A8=5 5 BD cm,AC=4cm,BG=7cm,÷4-7-BD解得 BD3 cm. 第24页：1.A2.33.24.解：设原矩形的 长是a,宽是b6,则DE=CF=a-b,已知BC-CD AB CF 即6 6。-6整理，得a2-ab-6B=0,两边同除以 ,得份-名1=0，解得gV5+1或1,5 2 (会去长与宽的比为5”5解：《0) c,88g2-名y=-子+ 3 1 1 6(0≤x≤4).(2）：SaE=2·BD·AE=2 2y26--2+6当 x=2时，SA0有最大值，最大值为6. 第25页：1.B2.1083.164.(1)证明： 5 .·CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,∴.∠A=∠CBE=∠D= 90°，.∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=90°， .∠C=∠DBE,∴.△ABC△DEB.(2)解： AC AB 6 8 AABCADEB,BD=DE'BD=BD= 3.5.解：(1)不相似.理由：因为四周小路的宽 均相等，设小路的宽为x,则矩形A'B'CD'的边长为 A'B'=30+2x,B'C=20+2x,则A'B′：AB= 113 30+2x=1+5 30 1,BC·:BC=20+2x=1+,药 20 个对应边的比不相等，所以不相似.(2)名=时 相似.理由：若相对着的两条小路宽相等，则A'B= 30+2y,B'C=20+2x,所以4'B:AB=30+2= 30 1+名8C:Bc”02-1+后要想使两个 凭形相似。则1+卡1+品手号 第26页：1.B2.153.4或64.解：(1)不 相似.理由：，原矩形ABCD的长AB=6,宽BC=4, .划分后小矩形的长为AD=4,宽为AE=6÷3=2. 又AB64A BC=4*2AE 即原矩形与每个小矩形的边 不成比例，.每个小矩形与原矩形不相似.(2) :原矩形的长AB=a,宽BC=b,.划分后小矩形 的长为AD=6,宽为AE=子又：每个小矩形与原矩 形相似，能铝号片用=状5条 3 由随意可得EC,~8-径又~DE ∠BAC,÷△ADE~△ABC.·A0=DS,即 AB=BC' AD AD DB BCAD 16 m,BC=50 m,DE= DE 1620 20m,16+DB50DB=24m这条河的宽度 为24m. 第27页：1.B2.233.14.(1)证明：四 边形ABCD是矩形，.AD∥BC,∠B=90°， ∠DAF=∠AEB.DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°， △ABE~△DFA.(2)解：E是BC的中点， BC=4,..BE 2..AB=6,..AE=VAB2 +BEZ= √6+2=2V10.四边形ABCD是矩形，∴.AD= BC=4.△ABE-△DFA,0=A0,DF ABAD-6X×4=VT0.5.解：在△ABC与△ AE 2V105 4w中，A=4.G碧多袋 114 ,AC=A,即AG=AB 9， AM=AN,·△ABC 8c.即30、1 △AM,AC=AM 45=MN,解得MW=1.5 (km)..M,N两点之间的直线距离是1.5km. 第28页：1.B2.123.6-2V54.证明： (1)四边形ABCD是菱形，∴.CD=CB,∠D=∠B, CD∥AB.DF=BE,△CDF≌△CBE(SAS), .∠DCF=∠BCE.CD∥BH,H=∠DCF, .∠BCE=∠H.LB=∠B,.△BEC~△BCH. BE AE AE (2)BE=AB.AE.BAG/BC.BE 2Cg-CnF=E,aC=A,B题= AG=DF,即AG=DF.5.(1)证明：∠ACD=∠B, AD AC A=LA,△ADC△ACB,AC-AC= AD·AB.(2)解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,∠A=∠C.又∠BFE=A,.∠BFE= BF LC.又∠FBE=∠CBF,∴.△BFE△BCF, 三 BC .BF BC.C1G BE BE3=3,·AD= 16 3 (3)解：如图，分别延长EF,DC相交于点 G,·四边形ABCD是菱形，.AB∥DC,∠BAC= 号BAD.ACIEF,∴四边形ABGC为平行四边 形，∴AC=EG,CG=AE,LEAC=LG.LEDF= 号∠BAD,LEDF=LBAC,LEDF=LG.又9 ∠DEF=∠GED,∴△EDF~△EGD,·EC=DE' ED EF .DE2=EF·EG.又EG=AC=2EF,.DE= DG DE 2EF,.DE=V2EF.又： DFEF,·DG= V2 DF 5V2,..DC=DG-CG=5V2-2. D G 第29页：1.A2.73.1或4或2.54.解： (1)12m.(2)6m.5.解：过点C作CF⊥BG于 点F,如图所示，设DE=x,则AD=8-x,根据题 意得)(8-x+8)×3×3=3×3×6,解得x=4, .DE=4.∠E=90°，由勾股定理得CD= VDE2 CE2=V42+32=5..LBCE LDCF 90°，∴.LDCE=∠BCF.∠DEC=LBFC=90°， △c0E-△c,小8器-0即-名 CF58.CF= 24 B FG 第30页：1.D2.63.解：(1)8cm.(2)40 cm.(3)16cm2.4.解：由题意可得∠ABC= ∠EDC=∠GFH=90°，∠ACB=LECD,LAFB= ∠GHF,故△ABC△EDC,△ABF~△GFH,则 品=怒祭開即格竖悠 15=2,1.65 8C2六18，解得AB=90.答：“望月阁”的高AB的长 度为90m. 第3引页：1D2名3合4解：设 DF,CE交于点O,四边形ABCD是正方形， ∠B=∠DCF=90°，BC=CD=AB,:点E,F分别 是边AB,BC的中点，.BE=CF,.△CBE≌△DCF (SAS),∴.CE=DF,∠BCE=∠CDF.LCDF+ ∠CFD=90°，∴.∠BCE+∠CFD=90°，∴.∠COF= 90°，DF⊥CE,.CE=DF=V(2V2)2+(V2)2= VI0.:点G,H分别是EC,FD的中点，∴.CG=FH V0LDCF=90,COLDF,.CR=OF.DF ..on 10 ,0D= 4V10 V104V10 50C2=OF.0D,.OC= 5 2V10 5 ∴.0G=CG-0c=0_2v10V10 2510 九年级理科综合 G=Voc2+0m=、0+0=1.5.解：设cD xm.由题意知AM⊥BE,AE=AM=1.75m,∴.∠E= 45°，∴.EC=CD=xm,AC=EC-AE=(x-1.75)m. CD⊥EC,BN⊥EC,∴.BN/CD,.△ABN~△ACD, 小器总即15得=6125答 路灯CD的高为6.125m. 第32页：1.B2.33.bm4.解：AD/EG. 5 .∠AD0=∠EGF.又：∠AOD=LEFG=90°， △A0D-△BRG小0阳：A0=X00。 FG 1.8×20=15.同理，△B0C△A0D. 、B0OC 2.4 ·A0-0D B0=40X0C=15X16-12.六AB=0A-0B= OD 20 3(m).∴.旗杆的高AB为3m.5.解：过点A作AGL BC于点G交DE于点F.又BC∥DE,故AF⊥DE,易 DE AF 知△ADE△ABC,从而BC-AC:故DE= AF·BC_20000×8=4000cm=40m. AG 40 第33页：1.A2.(6-2a,-2b)3.(4,2)或 （-4,-2)4.解：如图所示. B B 01- 5.解：如图，点0为位似中心，先计算位似比 k=200-400 3.5-7 设银幕距镜头xcm,则：=4O0, 207，解 得x=80答：银幕应在离镜头80m,放映的图 像刚好布满整个银幕 第34页：1.D2.(80V5-160）3.124.解： 115 。 设加工后正方形的边长为xmm,则：△BDE~ △m,六胎-0即高-铝同理，瓷 0即00动01，解得=银谷： 加工后正方形的边长为48mm.5.解：两种截法： ①30cm与60cm的两根钢筋为对应边，把50cm的 朝筋拔10m与25m两部分藏，则有号-克 301 60=2,从而两个三角形相似；②30cm与50cm 的两根钢筋为对应边，把50cm的钢筋截出12cm 和36m两部分，则有智-8：名多从面两个 三角形相似. 第35页：1A2或好3号4解：（①如 图，过点O作AC,BD的平行线，交CD于点H,过 点O作水平线OJ交BD于点J,过点B作BILOJ,垂 足为I,延长MO,使得OK=OB,由题意可知，点O 是AB的中点，：OH∥AC∥BD,.点H是CD的中点 CD=13m..CHDCD6.5m,. MC+CH=8.5+6.5=15(m).又由题意可知， FGMh3,15行解得0M=10m,点0， EF OM 2 OM 2 M之间的距离等于10m.(2)B⊥OJ,∴.∠B10= ∠BIJ=90°.由题意可知，∠OBJ=∠OBI+∠JBI= 90°.又∠B0I+∠OBI=90°，∴.∠B0I=∠JBI,. △B0△B,·7H子BM=号.0 BI OI 2 专0CD,OAD,风边形D是平行四边形。 01=D=-65m01=01+1-号1+W=65 m,.IJ=4.5m,BI=3m,0I=2m.在Rt△0B1 中，由勾股定理得OB=OP+BP,.VO2+BI严= v22+32=V13(m),.0B=0K=V13(m), MK=M0+OK=(10+V13m,∴.叶片外端离地面 的最大高度等于10+V13)m. 116 K B 0/r- M 5.解：乙加工的方法符合要求.理由：设甲加工 桌面长xm,过点C作CMLAB,垂足是点M,与GF 相交于点N,由GF∥DE,可得三角形相似，而后 由相似三角形性质可以得到CN:CM=GF:AB, 即(CM-x):CM=x:AB.由勾股定理可得AB= 2.5m,由AB·CM=AC·BC,可求得CM=1.2m, 故此可求得x=羽n设乙加工桌面长y,由 FD∥BC,得到Rt△AFD~Rt△ACB,所以AF:AC= FD:BC,即2-)：2=y:15,解得y=很明 显x<y,故x2<y2,所以乙加工的方法符合要求。 第36页：1.C2.4V33.16°4.解：(1)如 图所示. 广告墙 B FD EQ (2)设木杆AB的影长BF为xm,由题意得3= 子解得=9答：木杆铅的影长是9m 3m.5.解： 由题意知∠CED=∠AEB,∠CDE=∠ABE=90°， △c0-△A服小8品能299AB- 5.2(m).答：树(AB)的高度约为5.2m. 第37页：1.A2.33.19484.解：作图 如下： 主视图 左视图 ■■ 俯视图 表面积S=(4×2+5×2+5×2)×(1×1)=28× 1=28数学 SHUXUE =3.4159 shlatp) +C0S2以= 20,=C0人 C0s&=人-Sn2 我的收获 未来计划 地人®人忠人 ■ 优能训练园 1.如图，四边形ABCD是菱形，E, F分别是BC,CD两边上的点，不能保 证△ABE和△ADF一定全等的条件是 A.∠BAF=∠DAE B.EC=FC C.AE=AF D.BE=DF 2.如图，在四边形ABCD中，AD= BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条 件： ， 使四边形ABCD成为菱形 3.如图，已知点A,D,C,B在同 一条直线上，且AD=BC,AE=BF, CE=DF. E D (1)求证：AE/BF (2)若DF=FC时，求证：四边形 DECF是菱形. 九年级理科综合 金 探究应用园 4.【操作发现】如图1，剪两张对 边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， 使重合的部分构成一个四边形EFMN. 转动其中一张纸条，发现四边形 EFMN总是平行四边形.其判定的依据 是 【探究提升】取两张短边长度相 等的平行四边形纸条ABCD和EFGH (AB<BC,FG≤BC),其中AB=EF, ∠B=∠FEH,将它们按图2放置，EF 落在边BC上，FG,EH与边AD分别交 于点M,N.求证：口EFMW是菱形 【结论应用】保持图2中的平行四 边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸 条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终 在边BC上，当MD=MG时，延长CD, HG交于点P,得到图3.若四边形ECPH 的周长为40，sin/EFG=5(LEFC为锐 角)，则四边形ECPH的面积为 G P 图1 图2 图3 3 优能训练园 1.在矩形ABCD中，AC,BD相交 于点O,若△AOB的面积为2，则矩形 ABCD的面积为( ) A.4 B.6 C.8 D.10B 2.如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=6.在边AD上取一点E,使BE= BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F, 则BF的长为 3.如图，矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,点E,F分别是线段OB, OA上的点.若AE=BF,AB=5,AF=1, BE=3,则BF的长为 0 4.如图，在口ABCD中，E为BC的 中点，连接AE并延长交DC的延长线 于点F,连接BF,AC,若AD=AF,求 证：四边形ABFC是矩形 金 探究应用园 5.折叠矩形纸片ABCD时，发现可 以进行如下操作：①把△ADE翻折， 点A落在DC边上的点F处，折痕为 DE,点E在AB边上；②把纸片展开 并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直 线AE上的点H处，折痕为DG,点G在 BC边上，若AB=AD+2,EH=1,请 你动手做一做，并算出你所得图形中 AD的长. 优能训练园 1.下列说法中，正确的有（) ①对顶角相等②两直线平行， 同旁内角相等 ③对角线互相垂直的 四边形为菱形 ④对角线互相垂直平 分且相等的四边形为正方形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.一个正多边形每个内角与它相 邻外角的度数比为3：1，则这个正多 边形是正 边形 3.如图，在正方形ABCD中，分别 以点A,B为圆心，以AB的长为半径画 弧，两弧交于点E,连接DE,则∠CDE= 4.如图，已知正方形ABCD的边长 为1，点E,F分别在边AD,BC上，将 正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD 边上的点B'处，如 A.E6 果四边形ABFE与四 边形EFCD的面积比 为3：5，求线段CF 的长. 九年级理科综合 金 探究应用园 5.把边长为2的正方形纸片ABCD 分割成如图的四块，其中点0为正方形 的中心，点E,F分别为AB,AD的中 点.用这四块纸片拼成与此正方形不全 等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不 重叠、无缝隙)，请你动手拼一拼，并 算出你所拼出的四边形MWPQ的周长. A 优能训练园 1.在四边形ABCD中，AD∥BC AB=CD.下列条件能使四边形ABCD为 矩形的是( ) A.AB∥CD B.AD=BC C.∠A=∠B D.∠A=∠D 2.已知菱形ABCD的对角线相交于 点O,AC=8cm,BD=6cm,则菱形 ABCD的面积为 cm2. 3.如图，将5个大小相同的正方形 置于平面直角坐标系中，若顶点M,N 的坐标分别为（3,9)，（12,9)，则 顶点A的坐标为 4.如图，四边形ABCD为正方形， 点E是BC边的中点，将正方形ABCD 沿AE折叠，得到点B的对应点为点F 延长EF交线段DC于点P,若AB=6, 求DP的长度， 6 金 探究应用园 5.如图1，我们把对角线互相垂直 的四边形叫作垂美四边形， (1)【概念理解】如图2，在四边形 ABCD中，AB=AD,CB=CD,问：四 边形ABCD是垂美四边形吗？请说明 理由. (2)【性质探究】试探索垂美四边 形ABCD两组对边AB,CD与BC,AD 之间的数量关系.猜想结论：（要求用 文字语言叙述) 写出证明过程（先画出图形， 写出已知、求证) (3)【问题解决】如图3，分别以 Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向 外作正方形ACFG和正方形ABDE,连 接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5, 求GE的长度. 图1 图2 图3 优能训练园 1.如图，在四边形ABCD中， AB∥CD,若添加一个条件，使四边形 ABCD为平行四边形，则下列条件正确 的是() A.AD=BCB.∠ABD=∠BDC C.AB=ADD.∠A=∠C 2.菱形ABCD的对角线AC与BD相 交于点0，AC=24,BD=10,则菱形 ABCD的周长是 3.如图，AD和BC相交于点O, ∠AB0=∠DC0=90°，OB=OC.点E, F分别是AO,D0的中点. (1)求证：OE=0F. (2)当∠A=30°时，求证：四边 形BECF是矩形 九年级理科综合 金 探究应用园 4.如图1，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=3,BC=4.求作菱形DEFG, 使点D在边AC上，点E,F在边AB上， 点G在边BC上. 小明的作法：①如图2，在边AC 上取一点D,过点D作DG/AB交BC于 点G;②以点D为圆心，DG长为半径 画弧，交AB于点E;③在EB上截取 EF=ED,连接FG,则四边形DEFG为 所求作的菱形 (1)证明小明所作的四边形DEFG是 菱形 (2)小明进一步探索，发现可作出 的菱形的个数随着点D的位置变化而变 化…请你继续探索，直接写出菱形的 个数及对应的CD的长的取值范围， N J I 优能训练园 1.如果顺次连接四边形的各边中点 得到的四边形是矩形，那么原来四边形 的对角线一定满足的条件是( A.互相平分 B.相等 C.互相垂直 D.互相垂直平分 2.如图，在△ABC中，AB=AC= 5,BC=4V5,D为边AB上一动点(B 点除外)，以CD为一边 作正方形CDEF,连接 BE,则△BDE面积的最 大值为 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4, BC=2,点E,F分 D 别在AB,CD上， 且BE=DF= 3 (1)求证：四边形AECF是菱形 (2)求线段EF的长. 血 探究应用园 4.综合与实践 【动手操作】 第一步：如图1，正方形纸片 ABCD沿对角线AC所在的直线折叠， 8 展开铺平.再沿过点C的直线折叠，使点 B,点D都落在对角线AC上.此时，点B 与点D重合，记为点N,且点E,点N, 点F三点在同一条直线上，折痕分别为 CE,CF.如图2， 第二步：再沿AC所在的直线折 叠，△ACE与△ACF重合，得到图3 第三步：在图3的基础上继续折 叠，使点C与点F重合，如图4.展开 铺平，连接EF,FG,GM,ME.如图 5,图中的虚线为折痕 【问题解决】 (1)在图5中，∠BEC的度数是 的值是 AE (2)在图5中，请判断四边形EMGF 的形状，并说明理由 (3)在不增加字母的条件下，请 你以图5中的字母表示的点为顶点，动 手画出一个菱形（正方形除外），并写 出这个菱形： 图2 图3 图4 图5 优能训练园 1.下列命题为假命题的是() A.对角线相等的平行四边形是矩形 B.对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 C.有一个内角是直角的平行四边 形是正方形 D.有一组邻边相等的矩形是正方形 2.3世纪初，中国古代数学家赵爽 注《周髀算经》时，创 玄(c 造了“赵爽弦图”.如图， 设勾a=6,弦c=10,则 小正方形ABCD的面积 是 3.如图，菱形ABCD的边长为10， ∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于 点O,点E在对角线BD上，连接AE, 作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交 于点F (1)求菱形ABCD的面积. (2)求证：AE=EF. 九年级理科综合 金 探究应用园 4.已知E,F分别为正方形ABCD 的边BC,CD上的点，AF,DE相交于 点G,当E,F分别为边BC,CD的中 点时，有①AF=DE,②AF⊥DE成立. 试探究下列问题： (1)如图1，若点E不是边BC的中 点，F不是边CD的中点，且CE=DF, 上述结论①②是否仍然成立？（请直接回 答“成立”或“不成立”，不需要证明)》 (2)如图2，若点E,F分别在CB 的延长线和DC的延长线上，且CE= DF,此时，上述结论①②是否仍然成 立？若成立，请写出证明过程；若不 成立，请说明理由 (3)如图3，在(2)的基础上，连接 AE和EF,若点M,N,P,Q分别为 AE,EF,FD,AD的中点，请判断四 边形MWPQ是矩形、菱形、正方形中 的哪一种，并证明你的结论 客 9 寒以。 优能训练园 1.下列说法：①四边相等的四边 形一定是菱形；②顺次连接矩形各 边中点形成的四边形一定是正方形； ③对角线相等的四边形一定是矩形； ④经过平行四边形对角线交点的直线， 一定能把平行四边形分成面积相等的 两部分.其中正确的有( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.正六边形一个外角的度数为 3.如图，矩形ABCD中，AB=4, BC=2,G是AD的中点，线段EF在边 AB上左右滑动；若EF=1,则GE+ CF的最小值为 D 4.如图，在菱形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,点E,F在对角线 BD上，且BE=DF,OE=OA.求证： 四边形AECF是正方形. 10 金 探究应用园 5.【实验探究】 (1)如图1，对折矩形纸片ABCD, 使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸 片展开；再一次折叠纸片，使点A落在 EF上，并使折痕经过点B,得到折痕 BM,同时得到线段BN,MN.请你观察 图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证 明你的结论， (2)将图1中的三角形纸片BMN剪 下，如图2，折叠该纸片，探究MN与 BM的数量关系，写出折叠方案，并结 合方案证明你的结论 D 图1 图2