第9卷 正弦型函数及其应用（教师讲解卷）浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》

编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第9卷 正弦型函数及其应用 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦函数的图像和性质： 2.正弦型函数的图像和性质： （1）正弦型函数的性质 ①定义域为；②值域为；③最小正周期 3..图像变换：变化2 变化1 4.函数的最大值为，最小值为，最小正周期为. 【真题精讲】 1.（2025年浙江）已知函数，，最小正周期为，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据最小正周期的计算公式可求出，再利用特殊角三角函数即可求出答案． 【详解】由题意，得，解得， ∴． 故答案为：1． 2. （2024年浙江）函数部分图像如图所示，是图像上的最高点，是与相邻的一个最低点，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过题干及图像中给出的已知条件，将中的，，求出即可得解. 【详解】由已知图像可得，函数的最大值为，最小值为，所以， 因为，为一对相邻的最高点和最低点，所以函数的周期，又， 所以，故可得， 取点代入，得，化简得，结合 ， 解得：，所以. 故选：D 3.（2023年浙江）若函数则该函数最小正周期为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期公式求值即可. 【详解】已知函数， 令， 则函数的最小正周期为周期的最小公倍数， 其中的最小正周期为，的最小正周期为， 的最小正周期为，，，的最小公倍数为， 所以函数的最小正周期为， 故答案为：. 4. （2023年浙江）已知函数 求： （1）函数的最小正周期； （2）函数取得最大值时的取值集合. 【答案】（1）最小正周期为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及两角和差公式将函数进行化简，代入正弦型函数的最小正周期公式即可得解. （2）根据正弦型三角函数的性质进行求解. 【小问1详解】 函数 ， 则， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）知函数， 当时，函数取得最大值， 此时， 故函数取得最大值时的取值集合为. 【举一反三】 1. （2022年浙江）函数在上的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简函数，再判断其周期和值域，即可求解. 【详解】，其最小正周期，排除AD. ∵，故. ∴，即的值域为，故排除C. 故选：B. 2. （2022年浙江）函数的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据两角和的正弦化简，再求最小值. 【详解】, , , . ∵ ∴ 所以函数的最小值为. 故答案为:. 3. （2021年浙江）如图，点，在图像上，函数的最小正周期为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图像与性质可求解. 【详解】由图并根据，可得， ， 所以. 故答案为： 4. （2021年浙江）正弦曲线与直线在区间内的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】画出两个函数的图象即可得到交点的个数. 【详解】正弦曲线与直线的图象如下： 所以交点的个数有4个. 故选：D. 5． （2023年河北）已知正弦型函数的图像如图所示.    (1)求函数解析式； (2)求函数取得最小值时x的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图像找出正弦型函数的最值，周期等求出解析式.（2）根据（1）中解析式求出函数取得最小值时x的集合. 【详解】（1）由图像可以看出的最大值为，最小值为， 所以，且，则，所以， 将代入中，可得， 即，所以， 即，且由图像可知，所以. 所以函数解析式为 （2）当函数取得最小值时，令， 则有， 即 【拓展提升】 一、单选题 1．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（    ） A．横坐标伸长原来的2倍，纵坐标不变． B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变． C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变． D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数图像的变换求解即可. 【详解】函数的图像纵坐标缩短到原来的，横坐标不变， 即可得到函数的图像. 故选：D. 2．函数的图象可将函数的图象作（    ）变换得到. A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据三角函数左右平移变换对应解析式变换求解即可. 【详解】. 则函数向左平移得到，故A正确； 经检验，BCD都不满足要求，故错误. 故选：A. 3．函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式将函数化为，再根据正弦函数的图象和性质可判断结果. 【详解】由于函数， 故函数的值域为，故A、B选项错误； 当时，，当时，， 故C选项正确，D选项错误. 故选：C 4．已知函数， (1)求该函数的最小正周期； (2)当x为何值时，函数取最大值，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)时函数取最大值． 【分析】（1）由三角函数降幂扩角公式、二倍角公式、辅助角公式化简后，利用周期公式解答即可； （2）利用三角函数值域求解即可. 【详解】（1）． 故函数的最小正周期为． （2）当， 即时函数取最大值． 5．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角和的公式化简，再由余弦函数的周期公式求值即可. 【详解】已知函数 ， 所以最小正周期为， 故选：A. 6．函数的部分图象如图所示，其中，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据图象求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值. 【详解】由图象可知，， 所以，解得， 所以， 因为点在函数图象上， 代入得， 即， 所以， 因为，所以当时，， 故函数的解析式为. 故选：A. 二、填空题 7．函数，的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的基本概念，即可求解. 【详解】由题，， 最小正周期， 故答案为：. 8．与的两个相邻交点的距离的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移个单位得到的图像，，则 【答案】 【分析】利用辅助角公式将式子进行化简，再根据函数图像的变化求出相应的解析式即可求值. 【详解】因为， 令，则或， 即或， 又因为与相交且相邻两交点之间的最短距离为， 所以，解得， 所以， 现将的值缩小为原来的，值不变可得函数的图像； 再将图像向左平移个单位，得到的图像， 又，即， 结合可得，所以，解得， 所以， 则. 故答案为：. 三、解答题 9．已知正弦函数（，）的一部分图像如图所示.    (1)求此正弦函数的解析式； (2)求此函数的最小值及取得最小值时的集合. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题意，结合正弦函数的最值可求得A的值，结合函数的最小正周期可求得的值，将点代入函数解析式，即可求得的值，继而求得函数解析式； （2）根据题意，结合正弦函数的值域，即可求得最值，及对应x的取值集合. 【详解】（1）由图像可知，，最小正周期， 解得； 所以函数解析式为， 将点代入函数解析式为， 所以，即， 解得， 又，所以， 所以正弦函数解析式为； （2）由（1）知，正弦函数解析式为， 所以当时，函数取得最小值，即， 此时，解得， 即函数最小值为，取得最小值时对应x的取值集合为. 10．已知， 且，是方程，的两根，求k. 【答案】. 【分析】根据题意结合韦达定义及同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】因为，是方程，的两根， 则由韦达定理可知，，， 则， 即， 解得，或， 因为，, 所以不符合题意，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第9卷 正弦型函数及其应用 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦函数的图像和性质： 2.正弦型函数的图像和性质： （1）正弦型函数的性质 ①定义域为；②值域为；③最小正周期 3..图像变换：变化2 变化1 4.函数的最大值为，最小值为，最小正周期为. 【真题精讲】 1.（2025年浙江）已知函数，，最小正周期为，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据最小正周期的计算公式可求出，再利用特殊角三角函数即可求出答案． 【详解】由题意，得，解得， ∴． 故答案为：1． 2. （2024年浙江）函数部分图像如图所示，是图像上的最高点，是与相邻的一个最低点，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过题干及图像中给出的已知条件，将中的，，求出即可得解. 【详解】由已知图像可得，函数的最大值为，最小值为，所以， 因为，为一对相邻的最高点和最低点，所以函数的周期，又， 所以，故可得， 取点代入，得，化简得，结合 ， 解得：，所以. 故选：D 3.（2023年浙江）若函数则该函数最小正周期为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期公式求值即可. 【详解】已知函数， 令， 则函数的最小正周期为周期的最小公倍数， 其中的最小正周期为，的最小正周期为， 的最小正周期为，，，的最小公倍数为， 所以函数的最小正周期为， 故答案为：. 4. （2023年浙江）已知函数 求： （1）函数的最小正周期； （2）函数取得最大值时的取值集合. 【答案】（1）最小正周期为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及两角和差公式将函数进行化简，代入正弦型函数的最小正周期公式即可得解. （2）根据正弦型三角函数的性质进行求解. 【小问1详解】 函数 ， 则， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）知函数， 当时，函数取得最大值， 此时， 故函数取得最大值时的取值集合为. 【举一反三】 1. （2022年浙江）函数在上的图像是（ ） A. B. C. D. 2. （2022年浙江）函数的最小值为__________． 3. （2021年浙江）如图，点，在图像上，函数的最小正周期为______. 4. （2021年浙江）正弦曲线与直线在区间内的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5． （2023年河北）已知正弦型函数的图像如图所示.    (1)求函数解析式； (2)求函数取得最小值时x的集合. 【拓展提升】 一、单选题 1．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（    ） A．横坐标伸长原来的2倍，纵坐标不变． B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变． C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变． D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变． 2．函数的图象可将函数的图象作（    ）变换得到. A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数， (1)求该函数的最小正周期； (2)当x为何值时，函数取最大值，最大值为多少？ 5．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 6．函数的部分图象如图所示，其中，则（    ）    A． B． C． D． 7．函数，的最小正周期是 ． 8．与的两个相邻交点的距离的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移个单位得到的图像，，则 9．已知正弦函数（，）的一部分图像如图所示.    (1)求此正弦函数的解析式； (2)求此函数的最小值及取得最小值时的集合. 10．已知， 且，是方程，的两根，求k. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $