第8卷 三角恒等变换（教师讲解卷）浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》

中职公共课·真题同源卷 今A职教》》 编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文 化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考，点。每份试卷聚焦一个专题， 精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写， 每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便 教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效 突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第8卷三角恒等变换 (教师讲解卷) 坐【概念回倾】 1.同角三角函数基本关系式： (1)sina+cos2a=1 tan a=sin a cos a (2)含有同角三角函数式求值与化简的常用方法是：①化切为弦：anu=s加a cos a ②sina·cosa与sina±cos a之间的关系：(sina±cosu)2=l±2 sin a cosa 2.诱导公式 (1)诱导公式适用的形式：sin/cos/tan(界限角±a,请注意：角o前面必须为界限角 (2)如何用诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限 sin(2kπ+a=sina,cos2kπ+a=cosa,tan2kπ+a=tana sin (-a)=-sin a cos (-a)cos a,tan (-a)=-tan a sinπ+a=-sina,cosπ+a=-cosa,tanπ+a=tana sinπ-a=sina,cosπ-a=-cosa,tanπ-a=-tan a -a sin a 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 令AI职教》 sim π +a=cosa,cos +a =-sin a 2 2 3.两角和与差的三角函数 sina+B=sin a cosβ+cos a sin B,sin(a-β=sin a cos阝-cos a sin B cosa+β=cos a cosβ-sin a sinβ，cosa-β=cos a cosβ+sin a sin B tan(a +B)= tana+tanβ tan(a-B)= tan a-tan B 1-tan a tanβ 1+tan a tan B 4.二倍角公式 sin 2a =2sin a cosa cos 2a cos 2 a sin 2 a 2 cos 2 a -1=1-2 sin 2 a 2 tan a tan 20 = 1-tan2 a 1 变式：sin a cos a=-sin2a 台 sin a 21 22 sin2a= 1-cos 2a 山 sin2a=1-cosa 2 2 2 1+cos 2a → cos 2 a = cos2 =1+cosa 2 22 【真题精讲】 1.(2025年浙江)已知角a终边上点P 25 33 则tan(5π+u)=() A.V5 B.- 5 c.25 D.-25 2 2 5 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义与诱导公式即可得解。 5 【详解】因为角终边上点P 则tana=上=- x 2 所以tan(5元+a)=tan(π+a)=tana=- 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 2.(2025年浙江)已知函数f(x)=2 sin@x- 3 ®>0，最小正周期为5，则 8 【答案】1 【解析) 【分析】根据最小正周期的计算公式可求出ω，再利用特殊角三角函数即可求出答案 【详解】由题意，得T= 2元_. 解得0=4， 12 f-2sm4 =2sin=1 83 6 故答案为：1 3.(2025年浙江)已知a e 0 若3sin2a-2sin=0.求： (1)c0s的值； (2)sina+ 4 -cosa+ 4 的值 1 【答案】(1)c0sa= 3 4 3 【解析) 【分析)(1)由二倍角的正弦公式化简计算即可得解， (2)先根据(1)结合同角三角函数的平方关系式求出sio,再利用和角的正、余弦公式 化简求解即可 【小问1详解】 由3sin2a-2sina=0 得6 sina cosa-2sino=0 因为0∈ 所以sina≠0， 解得cosa= 3 【小问2详解】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 今A职教》》 1)2 2W2 .sina - 3 =sin a cos+cosa sin 个 cosa cos-sina sin 4 4 4 -sina+ √ V2 -cosa- 2 -cosa+ sina 2 =2 sina 4(2024年浙江)已知c0s0=- 4,n<0<3n 则sin(20+2024π)= 【答案】 88 【解析) 【分析】先根据角度所在象限和余弦值求出正弦值，再结合诱导公式和二倍角正弦公式求 解即可。 【详解】因为π<0< 所以sin0<0,且cos0=-1 4 所以sin0=-V1-cos20 而sin(20+2024x=sin20=2sin8cos0=2× 故答案为： 1 8 5.(2024年浙江)已知角0为第二象限角，且sina= 2V5 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 职教》 (1)求cosa和tana; (2)将角o的终边绕原点按顺时针方向旋转45°形成角B,求tanB. 【答案】(1)cosa= 5 ，tana=-2 (2)3 【解析) 【分析】(1)由题意根据同角三角函数的平方关系和商数关系分别求解cosa,和tana即 可 (2)由题意，根据两角差的正切公式求解 小问1详解】 :o为第二象限角，sina= 2V5 5 cosa=1-sin2a=-5-令， 2W5 sina .∴.tana= 5 =-2 cosa √5 5 【小问2详解】 将角0的终边绕原点按顺时针转动45°， ∴.B=0-45 tanβ=tana-45= ana-1=-2-1=3. 1+tana 1-2 6.(2023年浙江)已知函数f(x)=2cosx(sinx-√3cosx)+√3求： (1)函数f(x)的最小正周期； (2)函数f(x)取得最大值时x的取值集合 【答案】(1)最小正周期为π 5 (2) xx= 12 +km,k∈Z 【解析) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 【分析】(1)根据二倍角公式及两角和差公式将函数进行化简，代入正弦型函数的最小正 周期公式即可得解， (2)根据正弦型三角函数的性质进行求解。 【小问1详解】 函数f(x)=2cosx(sinx-V3cos)+√5， 则 所以函数的最小正周期为T=2 =T 【小问2详解】 由(1)知函数f(x)=2sin 2x- 当2x-又=又+2k,k∈Z时，函数f取得最大值 32 此时x=5孤+km,k∈Z. 12 故函数f(x)取得最大值时x的取值集合为 奥【举一反三】 1. (2022年浙江)已知角a的终边经过点(2，-V⑤)，则cos(元+a)的值是() A.、2 ,2 .V5 3 3 【答案】A 【解析 【分析】根据角的终边上的点求出coso,再根据诱导公式求出cosπ+a)的值即可 【详解】因为角α的终边经过点(2，-√5) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 2 所以cosa= 2 V22+(V52 3 所以cosπ+a=-cosa=- 故选：A 2. (2022年浙江)函数f(x)=√3sin3x+cos3x+6的最小值为 【答案】4 【解标】 【分析)根据两角和的正弦化简，再求最小值. 【详解】f(x)=√3sin3x+cos3x+6, 23 sin3x+cos3r6 2 =2 cos sin3x+sin cos3x+6, 6 6 =2sin3x+ 元+6 6 :-l≤sin 3r+s ·-2≤2sin 3x+ ≤2 6 所以函数f(x)的最小值为-2+6=4 故答案为：4。 3.(2022年浙江)已知0∈ 且tan2a=t 2 (1)tana;(4分) (2)cosa-sina.(4分)】 【答案】( 3 (2) 5 ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 穿A职教》 【解析) 【分析)(1)直接使用二倍角的正切公式解方程即可求解 (2)根据平方关系先求出cos22a= 9 4 3 25 再结合am20=号可得cos2a=亏然后利用 平方差和二倍角公式即可解出 【小问1详解】 4 因为tan2a 2tan a I-tana= 即2tan2a+3tana-2=0, 解得：tanu=。或tano=-2 2 1 因为∈ 0 所以tano= 2 【小问2详解】 由cos22a+sin22a=-1得：1+tan22a= cos22a 3 4 1 .c0s822a=25 即1+ cos22a 4 因为a∈ 0,2 且tan2a=->0, 3 所以2a∈ 0, Cos 2a=3 c≥07s00=（0.u1s+0,S00)0zu1S-0zS05J=0b0,5-0b05· 4202年浙包知sin0-元则cos0E→ A万或-万 8. 4 4 1 D. 4 4或-4 【答案】A 【解析 【分析】根据诱导公式求解sin0,再求解cos0的值即可 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 今A职教》》 【详解】因为sin(0-x)=-sin0=- 4 3 所以sin0= 则cos0=±-sin0=±7 4 故选：A 4 5. (2021年浙江）已知tan8=3,cos6<0 (1)求sin20: (2)求c0s 【答案】(1) 2 25 (2) 4V5-3 10 【解析 【分析)(1)先由同角三角函数的基本关系求解正弦值和余弦值，再由正弦的二倍角公式 求解即可。 (2)由两角和的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 4 由已知tan0= c0s0<0,可知0为第三象限角 3 sin0 4 c0s0= 5 所以可得 cos0 3 4 sin20+cos20=1 sin=- sin20-2singeo2 【小问2详解】 sin0 3 引 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 43-3 10 圆【拓展提升】 一、单选题 1.函数y=3sin2x+4cos2x的最小正周期和最大值为() A.2π，7 B.元，7 C.π，5 D.2m,5 【答案】c 【分析】通过辅助角公式化简解析式，再套公式求最值及最小正周期即可. 【详解1因为y=3sin2x+4cos2x=52sin2x+4cos2, 3 4 令cosu= sina=- 5 3 4 5(sin 2x+cos 2x)=5(cosa sin 2x+sin a cos 2x)=5sin(a+2x). 5 因为-1≤sin(a+2x)≤1，所以-5≤5sin(a+2x)≤5. 即函数的最大值为5最小正因期为T:受=， 故选：C 则sina=() A.1-2V6 B.1+2V6 6 6 c. 3-22 D.5+22 6 6 【答案】D 【分标1利用同角三角函数的基本关系求出c0s工+的值，再利用两角差的正弦公式可求 6 得sina的值， 【详解】因为T<a<元，则<a+亚<7π 3 66 因为后+a号则e8+e小-ga-29 所以，sina=sin 63232 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！中职公共课·真题同源卷 今A职教》》 编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文 化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考，点。每份试卷聚焦一个专题， 精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写， 每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便 教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效 突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第8卷三角恒等变换 (教师讲解卷) 坐【概念回倾】 1.同角三角函数基本关系式： (1)sina+cos2a=1 tan a=sin a cos a (2)含有同角三角函数式求值与化简的常用方法是：①化切为弦：tana=snQ cos a ②sina●cosa与sinu±cosa之间的关系：(sina±cosa)2=1±2 sin a cosa 2.诱导公式 (1)诱导公式适用的形式：sin/cos/tan(界限角±a,请注意：角o前面必须为界限角 (2)如何用诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限 sin(2kπ+a=sina,cos2kπ+a=cosa,tan2kπ+a=tana sin (-a)=-sin a cos (-a)cos a,tan (-a)=-tan a sinπ+a=-sina,cosπ+a=-cosa,tanπ+a=tana sinπ-a=sina,cosπ-a=-cosa,tanπ-a=-tan a -a sin a 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 令AI职教》 sim π +a=cosa,cos +a =-sin a 2 2 3.两角和与差的三角函数 sina+B=sin a cosβ+cos a sin B,sin(a-β=sin a cos阝-cos a sin B cosa+β=cos a cosβ-sin a sinβ，cosa-β=cos a cosβ+sin a sin B tan(a +B)= tana+tanβ tan(a-B)= tan a-tan B 1-tan a tanβ 1+tan a tan B 4.二倍角公式 sin 2a =2sin a cosa cos 2a cos 2 a sin 2 a 2 cos 2 a -1=1-2 sin 2 a 2 tan a tan 20 = 1-tan2 a 1 变式：sin a cos a=-sin2a 台 sin a 21 22 sin2a= 1-cos 2a 山 sin2a=1-cosa 2 2 2 1+cos 2a → cos 2 a = cos2 =1+cosa 2 22 【真题精讲】 1.(2025年浙江)已知角a终边上点P 25 33 则tan(5π+u)=() A.V5 B.- 5 c.25 D.-25 2 2 5 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义与诱导公式即可得解。 5 【详解】因为角终边上点P 则tana=上=- x 2 所以tan(5元+a)=tan(π+a)=tana=- 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 2.(2025年浙江)已知函数f(x)=2 sin@x- 3 ®>0，最小正周期为5，则 8 【答案】1 【解析) 【分析】根据最小正周期的计算公式可求出ω，再利用特殊角三角函数即可求出答案 【详解】由题意，得T= 2元_. 解得0=4， 12 f-2sm4 =2sin=1 83 6 故答案为：1 3.(2025年浙江)已知a e 0 若3sin2a-2sin=0.求： (1)c0s的值； (2)sina+ 4 -cosa+ 4 的值 1 【答案】(1)c0sa= 3 4 3 【解析) 【分析)(1)由二倍角的正弦公式化简计算即可得解， (2)先根据(1)结合同角三角函数的平方关系式求出sio,再利用和角的正、余弦公式 化简求解即可 【小问1详解】 由3sin2a-2sina=0 得6 sina cosa-2sino=0 因为0∈ 所以sina≠0， 解得cosa= 3 【小问2详解】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 今A职教》》 1)2 2W2 .sina - 3 =sin a cos+cosa sin 个 cosa cos-sina sin 4 4 4 -sina+ √ V2 -cosa- 2 -cosa+ sina 2 =2 sina 4(2024年浙江)已知c0s0=- 4,n<0<3n 则sin(20+2024π)= 【答案】 88 【解析) 【分析】先根据角度所在象限和余弦值求出正弦值，再结合诱导公式和二倍角正弦公式求 解即可。 【详解】因为π<0< 所以sin0<0,且cos0=-1 4 所以sin0=-V1-cos20 而sin(20+2024x=sin20=2sin8cos0=2× 故答案为： 1 8 5.(2024年浙江)已知角0为第二象限角，且sina= 2V5 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 职教》 (1)求cosa和tana; (2)将角o的终边绕原点按顺时针方向旋转45°形成角B,求tanB. 【答案】(1)cosa= 5 ，tana=-2 (2)3 【解析) 【分析】(1)由题意根据同角三角函数的平方关系和商数关系分别求解cosa,和tana即 可 (2)由题意，根据两角差的正切公式求解 小问1详解】 :o为第二象限角，sina= 2V5 5 cosa=1-sin2a=-5-令， 2W5 sina .∴.tana= 5 =-2 cosa √5 5 【小问2详解】 将角0的终边绕原点按顺时针转动45°， ∴.B=0-45 tanβ=tana-45= ana-1=-2-1=3. 1+tana 1-2 6.(2023年浙江)已知函数f(x)=2cosx(sinx-√3cosx)+√3求： (1)函数f(x)的最小正周期； (2)函数f(x)取得最大值时x的取值集合 【答案】(1)最小正周期为π 5 (2) xx= 12 +km,k∈Z 【解析) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 职教》 【分析】(1)根据二倍角公式及两角和差公式将函数进行化简，代入正弦型函数的最小正 周期公式即可得解 (2)根据正弦型三角函数的性质进行求解。 【小问1详解】 函数f(x)=2cosx(sinx-V5cos)+√5 则 所以函数的最小正周期为T=2 =π 【小问2详解】 由(1)知函数f(x)=2sin 2x- 当2x-?=不+2k,k∈Z时，函数f9取得最大值 32 此时x=5+km,k∈Z. 12 故函数f(x)取得最大值时x的取值集合为 奥【举一反三】 1. (2022年浙江)已知角a的终边经过点(2，-V5),则c0s(元+a)的值是() A.、2 B.、v5 c 2 5 D. 3 3 2.(2022年浙江)函数f(x)=√3sin3x+cos3x+6的最小值为 3.(2022年浙江)已知0∈ 且tan2a= 3米 (1)tana;(4分)》 (2)cos"a-sin*a (4分) ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 今A职教》 4(2021年浙江)已知sin0-π)=则cos0=（,) A万或- 8.V分 c.-万 4 4 4 4 4 5(2021年浙江)已知tan9=4, 'c0s0<0 (1)求sin20; (2)求cos 奥【拓展提升】 一、单选题 1·函数y=3sin2x+4cos2x的最小正周期和最大值为() A.2元，7 B.元，7 C.元，5 D.2m,5 2.若π」 3<<π， π 1 sim6+a)3 则sina=() A.1-26 B.1+2V6 6 6 c.5-22 D.5+2V2 6 6 3.已知sina=- 且角为第三象限角.求： )cosa和easa-星到的值 21cos(-20的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 今A职教》泥 4.如图，在单位圆中.已知角a0<a<)的终边与单位园的文点为P叫侣) (1)求sinu的值； 2消角a的终边0P绕点0逆时针旋转角A。与单位凰交于Q() 求sinB的值： 5.已知锐角a,B满足sina= ama+)=号果 5 (1)cos2a的值 (2)tanB的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课·真题同源卷 AI职教∑》》 6.已知函数f(x)=√3 sinxcosx--sin2x+1. (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 π元 44 上的值域； (2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且c=√5，∫(C)=1,若向量 m=(1,sinA与i=(2,sinB)共线，求a的值， 7.已知m(任+m任名a货 求sin4a的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职公共课真题同源卷 今A职教》》 3 8.已知cosa=号a是第四象限角，则tan2a-一 9.若角a终边经过点化-，则am2a-到引 10.已知cosa+cos3=元 ,sina+snp=}则cosa-)的值为一 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！