第一单元 线与角（角）（解决问题讲义）数学青岛版五四学制三年级下册（新教材）

第一单元 线与角（角） 1.角的认识： ----认识角的定义、各部分名称（顶点、边），建立角的直观表象 2.角的度量： ----认识量角器，掌握量角的步骤和方法，能准确测量角的度数 3.角的分类： ----明确锐角、直角、钝角、平角、周角的特征及度数范围，能正确分类 4.角的画法： ----掌握用量角器画指定度数角的方法，能规范画出各类角 5.角的大小比较： ----理解角的大小与边的长短无关、与两边张开程度有关，会比较角的大小 类型1 角的初步认识及辨认解决问题： 典型例题1：用一副三角尺你能画出哪些不同的角？ 【答案】利用一副三角尺能画出直角，不同的锐角和钝角。 【分析】根据题意，在一副三角尺中，根据一副三角尺三个角可以画出直角，不同的锐角和钝角，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 答：利用一副三角尺能画出直角，不同的锐角和钝角。 变式训练：继续画，使下面的图变成一个比直角小的角，并写出名称。 （    ）角 【答案】 锐 【解析】略 类型2 直角、钝角、锐角的认识及特征解决问题： 典型例题2：把一张长方形纸按下面的方式折起来，已知∠1＝35°，那么你能算出∠2的度数吗？ 【答案】20° 【分析】因为是折起来的，所以∠1和这个角下面虚线构成的角相等，且∠1＋∠2＋和∠1相等的角构成一个直角＝90°，所以用90°－∠1×2可算出∠2。 【详解】∠2＝90°－∠1×2 ＝90°－35°×2 ＝90°－70° ＝20° 答：∠2为20°。 变式训练：如图，有两个一样大小的直角三角形，直角顶点重合，∠1和∠2是否相等，为什么？ 【答案】相等；理由见详解 【分析】1直角＝90°，观察图示可知，1个直角三角形中的直角由∠3和∠1组成，另一个直角三角形中的直角由∠3和∠2组成，∠3是两个直角共有的部分，依此即可解答。 【详解】∠1和∠2相等。因为1直角是90°，则∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，因此∠1和∠2相等。 类型3 数图形（数角）解决问题： 典型例题3：数一数，下图中共有多少个角？请你用喜欢的方式来说明怎么数的。 【答案】10个 【分析】数角时，要按照“从单个小角开始，逐步合并计数”的方法，避免重复或遗漏。因为角是由从同一顶点出发的两条射线组成的，所以先确定从顶点出发的射线数量，再依次数出由不同数量小角组成的角。如下图： 单个小角：射线1和2、2和3、3和4、4和5组成的角，共4个；由2个小角组成的角：射线1和3、2和4、3和5组成的角，共3个；由3个小角组成的角：射线1和4、2和5组成的角，共2个；由4个小角组成的角：射线1和5组成的角，共1个。4＋3＋2＋1，计算可得共有10个角。 【详解】如下图： 单个小角有4个； 由2个小角组成的角有3个； 由3个小角组成的角有2个； 由4个小角组成的角有1个。 4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个）。 答：图中共有10个角。 变式训练： 射线的条数 2 3 4 5 6 角的个数 1 1＋2＝3 1＋2＋3＝6 （1）根据规律填表。 （2）我发现一个小秘密，用这个小秘密可以根据射线的条数直接求出角的个数。如果从一点出发有8条射线，角的个数是（    ）。 【答案】（1）1＋2＋3＋4＝10；1＋2＋3＋4＋5＝15；（2）28 【分析】（1）角的概念：从一点引出两条射线所形成的图形叫做角；据此可知，从一点出发的两条射线组成一个角，从一点出发的3条射线组成（1＋2）个角（即由单个小角组成的角有2个、有2个小角组成的角有1个）；从一点出发的4条射线组成（1＋2＋3）个角；从一点出发的5条射线组成（1＋2＋3＋4）个角；从一点出发的6条射线组成（1＋2＋3＋4＋5）个角……我发现规律是，从一点出发的n条射线就组成[（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋2＋1]个角。 （2）当射线的条数是8时，就有（7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）个角。 【详解】（1）从一点出发的5条射线，即由单个小角组成的角有4个、有2个小角组成的角有3个、有3个小角组成的角有2个、有4个小角组成的角有1个，共有1＋2＋3＋4＝10（个） 从一点出发的6条射线，即由单个小角组成的角有5个、有2个小角组成的角有4个、有3个小角组成的角有3个、有4个小角组成的角有2个、有5个小角组成的角有1个，共有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）。 射线的条数 2 3 4 5 6 角的个数 1 1＋2＝3 1＋2＋3＝6 1＋2＋3＋4＝10 1＋2＋3＋4＋5＝15 （2）当角的边数是8时。 7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（个） 我发现一个小秘密，用这个小秘密可以根据射线的条数直接求出角的个数。如果从一点出发有8条射线，角的个数是28个。 类型4 角的度量解决问题： 典型例题4：量出下面角的度数。 ∠1＝( )°                    ∠2＝( )° 【答案】 30 140 【分析】量角器的用法三步：①点合点，把量角器的中心和角的顶点重合；②边合边，使量角器的0°刻度线和角的一条边重合；③数一数，把角的另一条边所对的量角器上的刻度读出来，就是这个角的度数（用的哪一条0刻度线，就读那一条上的读数），据此解答。 【详解】 变式训练：如下图，先量出长方形中和的度数，再算出和的度数。 【答案】65°；65° 【分析】用量角器量角时，把量角器的中心和角的顶点重合，0°刻度线与长方形的长重合，看0°刻度线在内圈还是外圈。角的另一条边所对的量角器上的刻度就是这个角的度数，据此量出∠1、∠2的度数。 长方形的四个角都是直角，直角是90°，用90°减去∠1的度数就是∠3的度数。90°减去∠2的度数就是∠4的度数。 【详解】用量角器测得∠1和∠2都是25°。 90°－25°＝65° 答：∠3和∠4的度数都是65°。 类型5 角的大小比较解决问题： 典型例题5：“用放大镜看下面的角，角的大小都不变。”这句话对吗？为什么？ 【答案】对；理由见详解。 【分析】根据角的大小与两条边的长短无关，只与两条边叉开的大小有关，两条边张开的越大角越大；用放大镜看角时，只是把两条边的长度变大了，两条边张开的大小并没有变，所以角的大小不变。据此判断。 【详解】根据分析可知： 答：这句话是对的；因为用放大镜看角时，只把角的两条边的长度变大了，而两条边张开大小没有变，所以角的大小不变。 变式训练：希望小学举办了一场风筝比赛，选手们所用的风筝线一样长，假如他们都把风筝线放到最长。 （1）量一量，王红的风筝线与地面的夹角是（    ）°，李明的风筝线与地面的夹角是（    ）°。 （2）风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？ （3）如果张亮的风筝线与地面的夹角是50°，他的风筝飞得比王红的风筝（    ）。 【答案】（1）65；40； （2）见详解； （3）低 【分析】（1）先测量王红的风筝线与地面的夹角，把量角器的零刻度线与这个角的一边重合，角的顶点与量角器的中心点重合，找到另一边对应的数据，即为这个角的角度，读数时注意，零刻度线与内圈的零刻度线对齐时，在内圈找这个角度，若零刻度线与外圈的零刻度线对齐时，在外圈找这个角度，据此测量，再按照同样的方法测量出李明的风筝线与地面的夹角。 （2）根据（1）中的角度可知，风筝线与地面的夹角越大风筝飞得越高，与地面的夹角越小，飞得越低，据此解答。 （3）比较这两人的风筝线与地面的夹角度数，夹角越大的这个人的风筝就飞得越高。 【详解】（1）量一量，王红的风筝线与地面的夹角是65°，李明的风筝线与地面的夹角是40°。 （2）由分析可知，风筝线与地面的夹角越大，风筝越高。 （3）65°＞50° 如果张亮的风筝线与地面的夹角是50°，他的风筝飞得比王红的风筝低。 类型6 平角、周角的认识及特征解决问题： 典型例题6：已知∠1＝35°∠2＝55°，线段AO与线段BO垂直吗？为什么？ 【答案】线段AO与线段BO互相垂直 理由：因为线段AO与线段BO相交所成的角等于90°，所以线段AO与线段BO互相垂直。 【分析】根据题意，确定线段AO与线段BO是否互相垂直，关键是看线段AO与线段BO相交所成的角（即∠3）是否等于90°。因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，可以用180°连续减去35°和55°，看结果是否为90°，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： ∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠1＝35° ∠2＝55° ∠3＝180°－35°－55°＝145°－55°＝90° 线段AO与线段BO互相垂直。 因为线段AO与线段BO相交所成的角等于90°。 变式训练：如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 【答案】 【分析】因为三角形ABC是等边三角形，所以每个内角都是60°，即∠4＝60°。利用平角大小求出∠3，再结合内角和180°，最后求出∠2。 【详解】因为三角形ABC是等边三角形，所以， 所以， 所以 答：∠2的度数是25°。 类型7 角的分类及换算解决问题： 典型例题7：下面是一长方形纸折起来后形成的图形，已知：∠1＝30°，求∠2的度数。 【答案】30° 【分析】由题意得，长方形纸折起来后形成的图形如图，那么∠1和它左边的那个角度数相等。∠1＝30°，那么∠1左边的那个角也等于30°。∠1，∠1左边的那个角和∠2构成了一个直角，直接用90°减去∠1和∠1左边的那个角的度数即可算出∠2的度数。 【详解】∠2＝90°－30°－30° ＝60°－30° ＝30° 答：∠2的度数为30°。 变式训练：将一把直角三角尺与一个正方形叠放在一起，图中∠1＝39°，求∠2和∠3的度数。 【答案】∠2＝51°；∠3＝39° 【分析】有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；正方形的四个角都是直角。由题意得，将一把直角三角尺与一个正方形叠放在一起，那么∠1和∠2组成了一个直角，∠2和∠3组成了一个直角。∠1＝39°，直接用90°减去∠1的度数即可算出∠2的度数，接着再用90°减去∠2的度数即可算出∠3的度数。 【详解】∠2＝90°－∠1＝90°－39°＝51° ∠3＝90°－∠2＝90°－51°＝39° 答：∠2＝51°，∠3＝39°。 类型8 用量角器画角解决问题： 典型例题8：如下图所示，用量角器测量∠1的度数。    ∠1＝（    ）°，我是这样想的： 【答案】100；想法见详解 【分析】量角器上每一个大格表示10度，据此数一下∠1之间有10个大格，就是100度，或者用里圈的刻度差和外圈的刻度差求得∠1的度数。 【详解】130°—30°＝100°或150°—50°＝100°； 我是这样想的：可以用里圈的刻度差求∠1度数，130°—30°，或者用外圈的刻度差求∠1度数，150°—50°。 答：∠1＝100° 【点睛】本题考查的是量角器的应用方法和角的度量与计算，结合图示注意看里圈还是外圈的刻度，要一致。 变式训练：图①中，用量角器量∠1的度数，∠1＝______°；请你用类似的方法在图②量角器中画一个50°的角。 【答案】100；见解析 【分析】（1）用量角器的圆点和角的顶点重合，30°刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度是130°，用130°减去30°就是该角的度数； （2）150°－100°＝50°，根据用量角器画角的方法，用量角器的圆点和角的顶点重合，100°刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的150°刻度线，据此画角即可。 【详解】（1）∠1＝130°－30°＝100° （2）画图如下： 【点睛】熟练掌握用量角器画角的方法以及角的度量方法，是解答此题的关键。 类型9 用三角尺画角解决问题： 典型例题9：绿地扩建施工中，工人们只用一副三角尺就能画一个的角。你知道他们是怎样做到的吗？请你用简单的语言描述一下。 【答案】见详解 【分析】一副三角板包含两个直角三角板：①等腰直角三角形：45°、45°、90°；②直角三角板：30°、60°、90°。利用两个三角板中现有的角度进行叠加组合，通过将两个不同角度的边对齐拼接得到一个新的角度。 【详解】135°可以分解为90°＋45°，先用直角三角板中的直角画出90°的角，再将等腰直角三角板中的45°角与所画直角的其中一条边对齐，顶点重合，画出另一条边，这样就可以画出135°的角。 【点睛】 变式训练：先用量角器画一个105°的角。想一想，如果用三角尺，用∠ 和∠ 也可以画出105°的角。 【答案】图见解析；1；4 【分析】用量角器画已知角的方法：先画射线，把量角器的中心与射线的顶点重合，0刻度线与射线重合，过量角器上表示与已知角度数相等的刻度画与原来射线是公共顶点的射线，两射线所成的角就是与已知角相等的角； 根据我们使用的三角尺有30°、45°、60°、90°等四个现有的角度，将各个角相加或相减即可得出答案：105°＝60°＋45°；由此即可解答。 【详解】用量角器画出105°的角： 因为105°＝60°＋45°，所以如果用三角尺，用∠1和∠4也可以画出105°的角。 【点睛】本题主要考查了画指定度数的角，一般角可以用量角器画，不论用三角尺画角还是用量角器画角，三角尺、量角器的正确熟练使用是关键。 类型10 角度的计算解决问题： 典型例题10：如图，已知∠1＝55°，求∠2、∠3、∠4的度数。 【答案】∠2是35°，∠3是55°，∠4是125° 【分析】已知∠1＝55°，通过观察图可知∠1和∠2组成一个直角，直角为90°，所以∠2＝90°－∠1。因为∠1和∠4组成一个平角，平角为180°，所以∠4＝180°－∠1。因为∠3和∠4组成一个平角，平角为180°，所以∠3＝180°－∠4，据此解答即可。 【详解】直角为90°，平角为180° ∠2＝90°－∠1 ＝90°－55° ＝35° ∠4＝180°－∠1 ＝180°－55° ＝125° ∠3＝180°－∠4 ＝＝180°－125° ＝55° 答：∠2是35°，∠3是55°，∠4是125°。 变式训练：把一张正方形纸片按如图的为式折叠。若∠1＋∠2＋∠3＝215°，那么∠2是多少度？ 【答案】145度 【分析】根据正方形的边所在的线是直线，则有∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，与已知∠1＋∠2＋∠3＝215°，据此解答。 【详解】因为∠1＋∠2＋∠3＝215°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠3＝215°－180°＝35°； 因为∠2＋∠3＝180°， 所以∠2＝180°－35°＝145°。 答：∠2是145度。 A夯实基础 1．把一张圆形的纸对折两次，得到的角的度数是（    ）。 A．90° B．45° C．180° 【答案】A 【分析】由题意得，把一张圆形的纸对折两次，就是把中间的周角平均分成4份。周角的度数为360°，直接用360°除以4即可算出得到的角的度数。 【详解】360°÷4＝90°，即得到的角的度数是90°。 故答案为：A 2．下面哪个度数的角不能用一副三角尺画出来。（    ） A．15° B．25° C．150° 【答案】B 【分析】要判断哪个角不能用一副三角尺画出，首先明确一副三角尺的角度有45°、30°、60°、90°，可以通过这些角度的相加或相减得到新的角度：比如15°可以用45°减去30°得到，150°可以用90°加上60°得到，而25°无法通过这几个角度的加减组合得出，所以25°的角不能用一副三角尺画出来。 【详解】A．15°可以用45°减去30°得到； B．25°的角不能用一副三角尺画出来； C．150°可以用90°加上60°得到； 故答案为：B 3．2025年9月3日上午9时，“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式”在北京天安门广场隆重举行。此时钟面上时针和分针的夹角是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．平角 【答案】B 【分析】 上午9时，分针指12，时针指9，如图所示，此时钟面上时针和分针的夹角是直角。 【详解】9时钟面上时针和分针的夹角是直角。 故答案为：B 4．从3时到6时，分针转了( )°，时针转了( )°。 【答案】 1080 90 【分析】分针每转一圈（60分钟）是360°。从3时到6时经过了6时－3时＝3小时，分针会转3圈，用360°乘3计算即可。 时针每转一圈（12小时）是360°，所以每小时转360°÷12＝30°，从3时到6时经过了3小时，用30°乘3计算即可。 【详解】分针每转一圈（60分钟）是360°，时针每转一圈（12小时）是360°。 6时－3时＝3（小时） 360°×3＝1080° 360°÷12＝30° 30°×3＝90° 从3时到6时，分针转了1080°，时针转了90°。 5．下图中∠1＝40°，那么∠2＝( )，∠3＝( )。 【答案】 140°/140度 40°/40度 【分析】观察图可知，∠1和∠2组成了一个平角，平角是180°，∠1＝40°，所以∠2＝180°－40°＝140°；观察图可知，∠2和∠3组成了一个平角，所以∠3＝180°－140°＝40°。 【详解】∠2＝180°－40°＝140° ∠3＝180°－140°＝40° 题图中∠1＝40°，那么∠2＝140°，∠3＝40°。 6．在2024年巴黎奥运会上，我国运动员全红婵参加了女子跳水10米跳台的比赛，并凭借出色表现获得冠军。比赛中，全红婵做了一个向后翻腾两周半屈体的动作，同学们根据所学习的角的知识思考一下，她共转了( )度。 【答案】900 【分析】一周角＝360度，全红婵做了一个向后翻腾两周半屈体的动作，也就是她转了两个周角加半个周角，那么用360度乘2可以计算出2个周角的度数，用360度除以2可以计算出半个周角的度数，最后将两个结果相加即可；据此解答。 【详解】360×2＋360÷2 ＝720＋180 ＝900（度） 所以她共转了900度。 B培优拔高 7．小花妈妈是剪纸爱好者，她用三个同样大的正方形硬纸板摆成了如图所示的图案。小花拿着量角器量出∠1＝∠3，∠2＝20°，你能不用量角器计算出∠4的度数吗？请你算一算。 【答案】∠4＝55° 【分析】根据图片，∠1、∠2、∠3一起组成一个直角，直角是一个为90°的角，∠1＝∠3，用90°减去∠2的度数再除以2得出∠3的度数，∠3、∠4一起组成一个直角，用90°减去∠3的度数得到∠4的度数。 【详解】（90°－20°）÷2 ＝70°÷2 ＝35° ∠3＝35° ∠4＝90°－35°＝55° 答：∠4的度数为55°。 8．已知∠1＝20°，∠2＝70°，求直线a与直线b的关系。 【答案】直线a与直线b互相垂直 【分析】∠1、∠2和直线a与直线b所成角组成的角是平角，平角是180°，由∠1、∠2及平角，可求得直线a与直线b所成角，进而可判断出直线a与直线b的关系。 【详解】因为∠1＝20°，∠2＝70°， 所以180°－∠1－∠2＝180°－20°－70°＝90°， 答：直线a与直线b相交成直角，所以直线a与直线b互相垂直。 9．下图为一张长方形纸折起来后的图形，其中∠1＝30°，请你求出∠2的度数。 【答案】75° 【分析】由题意得，可以将∠2左边的角标注为∠3（如下图）。 ∠2是∠3折叠后得到的，所以∠2＝∠3。∠1，∠2和∠3组成了一个平角，平角的度数为180°，∠1＝30°。可以先用180°减去∠1的度数算出∠2和∠3的度数之和，然后再用得数除以2即可算出∠2的度数。 【详解】（180°－30°）÷2 ＝150°÷2 ＝75° 答：∠2的度数是75°。 10．先测量并标出下面两个三角形中每个角的度数，再求出每个三角形中三个角的度数之和，你发现了什么？ 【答案】图见详解；三角形的内角和是180° 【分析】角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此测量出图中三角形的各个内角。再将内角相加，可以发现：三角形的内角和是180°，据此解题即可。 【详解】 ∠1＝20°，∠2＝130°，∠3＝30°，∠1＋∠2＋∠3＝20°＋130°＋30°＝180°； ∠4＝60°，∠5＝60°，∠6＝60°，∠4＋∠5＋∠6＝60°＋60°＋60°＝180°。 答：我发现了三角形的内角和是180°。 11．如图所示，已知∠1＝40°，而且∠5是一个直角。请你算一算，∠2、∠3、∠4分别多少度，并记录你的计算过程。 【答案】∠2＝50°；∠3＝130°，∠4＝50° 【分析】根据题意，∠5是直角，即90°，那么∠1＋∠2也应该等于90°，已知∠1＝40°，所以∠2＝90°－∠1；∠1、∠5以及∠4组成一个平角，故∠4＝180°－∠1－∠5；∠3和∠4也组成一个平角，故∠3＝180°－∠4，据此解答。 【详解】因为∠1＋∠2＝90°（直角） 故∠2＝90°－40°＝50°； 又因为∠1＋∠5＋∠4＝180°（平角） 故∠4＝180°－∠1－∠5 180°－∠1－∠5 ＝180°－40°－90° ＝140°－90° ＝50° 又因为∠3＋∠4＝180°（平角） 故∠3＝180°－∠4 180°－∠4＝180°－50°＝130° 答：∠2＝50°，∠3＝130°，∠4＝50°。 C思维拓展 12．将两个相同的长方形叠放在一起，如下图，则∠1＋∠2＋∠3＝110°，那么∠2是多少度？ 【答案】70° 【分析】观察图片，∠1和∠2拼成直角，∠2和∠3拼成直角，直角＝90°，则∠1＋∠2＋∠3＝（∠1＋∠2）＋∠3＝110°。已知∠1＋∠2＝90°，因此∠3＝110°－90°＝20°，即∠1＝∠3＝20°，再用90°减去∠3，即可求出∠2为多少度。据此解答。 【详解】因为∠1＋∠2＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＝90°＋∠3＝110° ∠3＝110°－90°＝20° 因为∠3＋∠2＝90°，所以∠2＝90°－∠3＝90°－20°＝70°。 答：已知∠1＋∠2＋∠3＝110°，那么∠2＝70°。 13．王林的量角器损坏了（如下图），但他能用这个量角器完成“画一个的角”的作业。你知道王林是怎样画出来的吗？请把你的想法写下来。 【答案】见详解 【分析】根据图示，量角器外圈40°到140°位置没有损坏，40°＋60°＝100°，以量角器的中心为顶点，从量角器外圈的40°的位置画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，在量角器外圈100°的地方点一个点，然后以量角器的中心为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是要画出的60°角。 【详解】 以量角器的中心为顶点，从量角器外圈的40°的位置画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，在量角器外圈100°的地方点一个点，然后以量角器的中心为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是要画出的60°角。（说法合理即可） 14．老师给出了下面这个图，小军用量角器量得，，是直角，那的度数是多少呢？ 【答案】134° 【分析】四边形的内角和为360°，先求出∠1加∠2，再加∠3的度数，求出和，最后用360°减这个和即可求出∠4的度数。 【详解】26°＋110°＋90° ＝136°＋90° ＝226° ∠4＝360°－226°＝134° 答：的度数是134°。 15．当钟面上的时针和分针形成直角，并且分针指向12的时候，时针指的是什么数字？分针从12走到5的时候，走了多少度？所形成的角是什么角？ 【答案】 3或9；150度；钝角 【分析】根据题意，当分针指向12时，时间为整点，此时时针指向钟面数字。直角为90°或270°，对应时针指向3或9。分针每走1大格（5分钟）为30°，从12到5共5大格，即5×30°＝150°，150°为钝角。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 5×30＝150（度） 答：时针指的是3或9，分针从12走到5的时候，走了150度，所形成的角是钝角。 1 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一单元 线与角（角） 典型例题 1.角的认识： --一认识角的定义、各部分名称（顶，点、边），建立角的直观表象 2.角的度量： ---认识量角器，掌握量角的步骤和方法，能准确测量角的度数 3.角的分类： 一-一明确锐角、直角、钝角、平角、周角的特征及度数范围，能正确分类 4.角的画法： 一一一一掌握用量角器画指定度数角的方法，能规范画出各类角 5.角的大小比较： --一理解角的大小与边的长短无关、与两边张开程度有关，会比较角的大小 类型1角的初步认识及辨认解决问题： 典型例题1：用一副三角尺你能画出哪些不同的角？ 【分析】根据题意，在一副三角尺中，根据一副三角尺三个角可以画出直角，不同的锐角和 钝角，以此答题即可。 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练：继续画，使下面的图变成一个比直角小的角，并写出名称。 ()角 类型2直角、钝角、锐角的认识及特征解决问题： 典型例题2：把一张长方形纸按下面的方式折起来，已知∠1=35°，那么你能算出∠2的度数 吗？ 2 【分析】因为是折起来的，所以∠1和这个角下面虚线构成的角相等，且∠1+∠2+和∠1相 等的角构成一个直角=90°，所以用90°一∠1×2可算出∠2。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练：如图，有两个一样大小的直角三角形，直角顶点重合，∠1和∠2是否相等，为什 么？ 3 类型3数图形（数角）解决问题： 典型例题3：数一数，下图中共有多少个角？请你用喜欢的方式来说明怎么数的。 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】数角时，要按照“从单个小角开始，逐步合并计数”的方法，避免重复或遗漏。因为 角是由从同一顶点出发的两条射线组成的，所以先确定从顶点出发的射线数量，再依次数出 由不同数量小角组成的角。如下图： 单个小角：射线1和2、2和3、3和4、4和5组成的角，共4个；由2个小角组成的角：射 线1和3、2和4、3和5组成的角，共3个；由3个小角组成的角：射线1和4、2和5组成 的角，共2个；由4个小角组成的角：射线1和5组成的角，共1个。4+3+2+1，计算可得 共有10个角。 变式训 练： 上仑色色 射线的条 2 3 5 6 数 角的个数 1 1+2=3 1+2+3= 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 (1)根据规律填表。 (2)我发现一个小秘密，用这个小秘密可以根据射线的条数直接求出角的个数。如果从一点 出发有8条射线，角的个数是()。 类型4角的度量解决问题： 典型例题4：量出下面角的度数。 2 ∠1=( ∠2=( 【分析】量角器的用法三步：①点合点，把量角器的中心和角的顶点重合；②边合边，使量 角器的0°刻度线和角的一条边重合；③数一数，把角的另一条边所对的量角器上的刻度读出 来，就是这个角的度数（用的哪一条0刻度线，就读那一条上的读数），据此解答。 5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练：如下图，先量出长方形中∠1和∠2的度数，再算出∠3和∠4的度数。 4 2 类型5角的大小比较解决问题： 典型例题5：“用放大镜看下面的角，角的大小都不变。”这句话对吗？为什么？ 【分析】根据角的大小与两条边的长短无关，只与两条边叉开的大小有关，两条边张开的越 大角越大；用放大镜看角时，只是把两条边的长度变大了，两条边张开的大小并没有变，所 以角的大小不变。据此判断。 6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练：希望小学举办了一场风筝比赛，选手们所用的风筝线一样长，假如他们都把风筝线 放到最长。 ▣ 王红 李明 (1)量一量，王红的风筝线与地面的夹角是()°，李明的风筝线与地面的夹角是()°。 (2)风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？ (3)如果张亮的风筝线与地面的夹角是50°，他的风筝飞得比王红的风筝()。 类型6平角、周角的认识及特征解决问题： 典型例题6：己知∠1=35°∠2=55°，线段A0与线段B0垂直吗？为什么？ B 2 7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据题意，确定线段AO与线段BO是否互相垂直，关键是看线段AO与线段BO相交 所成的角（即∠3）是否等于90°。因为∠1+∠2+∠3=180°，可以用180°连续减去35°和55° 看结果是否为90°，以此答题即可。 变式训练：如下图，三角形ABC是等边三角形。己知∠1=35°，求∠2的度数。 4入3 2 B C 类型7角的分类及换算解决问题： 典型例题7：下面是一长方形纸折起来后形成的图形，己知：∠1=30°，求∠2的度数。 30° 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由题意得，长方形纸折起来后形成的图形如图，那么∠1和它左边的那个角度数相 等。∠1=30°，那么∠1左边的那个角也等于30°。∠1，∠1左边的那个角和∠2构成了一个 直角，直接用90°减去∠1和∠1左边的那个角的度数即可算出∠2的度数。 变式训练：将一把直角三角尺与一个正方形叠放在一起，图中∠1=39°，求∠2和∠3的度数。 3 类型8用量角器画角解决问题： 典型例题8：如下图所示，用量角器测量∠1的度数。 9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 60 1000.90..1101.0 30 0 ∠1=()，我是这样想的： 【分析】量角器上每一个大格表示10度，据此数一下∠1之间有10个大格，就是100度，或 者用里圈的刻度差和外圈的刻度差求得∠1的度数。 变式训练：图①中，用量角器量∠1的度数，∠1=°；请你用类似的方法在图②量角器 中画一个50的角 p00900 120110100 120 607060 0 60 0 0 1391201070 40 070006 9 160150 60 8 分 雪。多 图0 图② 10