第12卷 圆（学生练习卷）内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第12卷 圆 （学生练习卷） 一、单选题 1．圆，则下列说法不正确的是（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】D 【分析】由圆的方程可确定圆心，由圆心位置和直线是否过圆心可确定各个选项的正误. 【详解】对于A，由圆的方程知其圆心为，则圆关于点对称，A正确； 对于B，由A知其圆心在轴上，则圆关于轴对称，即关于对称，B正确； 对于C，过圆心，圆关于直线对称，C正确； 对于D，不过圆心，圆不关于直线对称，D错误. 故选：D. 2．若曲线表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的一般方程满足的条件，列不等式求解即可. 【详解】由题可知 ，即， 解得或， 所以m的取值范围是. 故选：C 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】B 【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再由几何法结合点到直线的距离公式得出直线与圆的位置关系. 【详解】由圆得出圆心为和半径为， 由点到直线的距离公式，可知， 由于，所以直线与圆相切. 故选：B. 4．圆 的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的一般方程，可转化为标准方程，即可求出圆心坐标和半径. 【详解】因为圆 ， 即， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：C. 5．已知点在圆的内部，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点和圆的位置关系列不等式求解即可. 【详解】因为点在圆的内部， 所以点到圆心的距离， 即，得， 整理得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 6．圆心为点，且与轴相切的圆的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件计算出半径，即可写出圆的标准方程． 【详解】因为圆与轴相切，所以圆心到轴的距离为半径，则， 故圆的方程为． 故选：D． 7．已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆的方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设圆的标准方程为， 则圆心到直线的距离为， 又由圆被直线截得的弦长为， 可得，化简得，解得， 即圆的方程为. 故选：D. 8．已知圆上的点到直线的最小距离是，则圆的半径（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】理解圆上点到直线距离的最值与圆心到直线距离和半径相关，转换求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为：， 则圆上的点到直线的最小距离为：， 解得. 故选：. 9．已知直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆相切，进而得到圆心与直线距离等于半径，即可求解. 【详解】因为直线与圆相切. 又圆的圆心为. 所以. 故选：A. 10．以点为圆心，且过点的圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心坐标设出圆的方程，再将圆上的点的坐标代入方程即可. 【详解】圆心为点.可设圆的方程为. 因为圆过点.所以.解得. 所以圆的方程为. 故选：C. 11．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线系方程求得直线所过定点坐标，分别代入四个选项即可验证答案. 【详解】由得直线恒过点． 把代入，定点在圆外，A不合题意． 把代入，定点在圆内，B符合题意． 把代入，定点在圆外，C不合题意． 把代入，定点在圆上，D不合题意． 故选：B. 12．已知圆的半径是2，则实数m等于（    ） A．－7 B．－5 C．7 D．5 【答案】D 【分析】代入圆的一般方程求半径的公式求解. 【详解】∵，且半径是2， ， 解得：. 故选:D. 二、填空题 13．（2021·内蒙古·真题T15）已知圆的圆心坐标为，则圆的半径是 . 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程转化为标准方程即可求解. 【详解】因为. 所以. 因为圆心为. 所以即. 所以. 所以半径为. 故答案为：. 14．（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示及内积的坐标运算，表示出，结合圆的标准方程，可判断点的运动轨迹，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意，设动点坐标，则， 又，即， 所以，即， 所以动点在以圆心为，半径的圆周上运动， 所以圆心到直线l的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案：. 15．直线截圆的弦长等于 . 【答案】/ 【分析】先把圆的方程化为标准方程求得圆心与半径，再把直线的方程化为一般方程，根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解. 【详解】由题意得，圆化为标准方程得， 则圆心为，半径，直线可化为. 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 故答案为：. 16．在平面直角坐标系内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到圆上经过的最短路程是 ． 【答案】4 【分析】先由圆的标准方程得到圆心和半径并求出点A关于轴的对称点，利用两点间的距离公式和圆上一点即可得解. 【详解】由圆， 得圆心坐标，半径为， 点关于轴的对称点， 则点到圆C上的点的最短距离即为它爬到圆上的最短路程， 所以它爬到圆上的最短路程是 . 故答案为：4. 17．以点为圆心的圆与直线相离，则圆的半径的取值范围是 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式结合直线到圆的位置关系即可得解. 【详解】因为点到直线的距离＝， 若以点为圆心的圆与直线相离， 则圆的半径的取值范围是：. 故答案为： 18．已知圆O的方程为，直线过点，且与圆O相切，则直线的方程 . 【答案】或. 【分析】设出直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得直线的斜率，从而可得直线方程. 【详解】由题意，切线的斜率存在，圆心为，半径， 设所求切线方程为，即， ∴圆心到直线的距离为， 解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 三、解答题 19．已知圆心（其中）在直线上，且圆C经过点，直线被圆C截得弦长为． (1)求圆C的方程； (2)从圆C外一点向圆引切线，切点分别为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合圆心在直线上，可设圆心坐标，结合两点之间的距离公式表示出半径，结合点到直线的距离公式求得圆心到直线l的距离，结合直线被圆所截，弦长的一半、半径、弦心距之间的关系，即可列式求得参数a的值，继而求得圆心坐标和半径，即可求解； （2）根据题意，分别讨论切线斜率是否存在两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径，即可求得切线的斜率，继而求得切线的方程，再求得切点的坐标，切线长，利用点到直线的距离公式，即可求得的面积. 【详解】（1）因为圆心（其中）在直线上， 设圆心，又圆C经过点， 所以半径， 因为直线，即， 所以圆心到直线l的距离为， 又直线被圆C截得弦长为， 所以，即， 化简整理得，即， 解得或（舍去），所以圆心的坐标为，， 所以圆C的标准方程为； （2）    由题意，当切线的斜率不存在时，切线方程为，此时满足直线与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 化简得，解得， 所以切线方程为即； 即， 所以，解得，即， 又，所以， 所以M到直线PN的距离， 所以. 20．已知直线经过点，且斜率为． (1)求直线的方程； (2)若圆的方程为，判断直线与圆的位置关系． 【答案】(1) (2)直线与圆相交 【分析】（1）根据直线经过的点与斜率即可求出方程. （2）比较圆心到直线的距离与半径的大小即可求得. 【详解】（1）因为直线经过点，且斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交. 21．已知圆过点，且与圆关于直线对称. (1)求圆、圆的方程； (2)过点作圆的两条相交直线、，且、的斜率互为相反数，试判断直线与的斜率是否相等，说明理由. 【答案】(1)，； (2)相等，理由见解析 【分析】（1）根据对称性求出圆的圆心坐标和半径，再根据圆心坐标和半径求解即可； （2）通过联立圆和直线的方程，利用韦达定理找出相应直线的斜率，化简斜率即可. 【详解】（1）∵圆的圆心为， 设点与点关于直线对称， 所以有， 即， 即，解得， ∴点关于直线的对称点为， ∴圆和圆心为. ∵圆过点， ∴ ∴圆：， 圆：. （2）直线与的斜率相等，理由如下： 设， ∵、的斜率互为相反数， ∴设直线为：，直线为： 由得， ∴由韦达定理得即 同理可得， ， ， 而 ∴直线与斜率相等. 22．已知圆：，过点的直线与圆相切，求： (1)圆的圆心坐标和半径； (2)直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，即可求解； （2）根据直线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，由斜截式方程即可求解. 【详解】（1）将圆的一般方程化为标准方程得， 所以圆的圆心坐标是，半径为. （2）若过点的直线斜率不存在，即直线方程为， 由圆心到直线的距离为，不等于半径，不符合题意，故舍去； 当直线斜率存在时，设过点的直线斜率为，则直线方程为， 故圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为或. 23．已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)求圆心到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的性质求出圆心坐标和半径，进而得到圆的方程； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离． 【详解】（1）点和，则的中点坐标为， 所以的垂直平分线方程为，所以圆心在直线上， 又知圆心在直线上，所以圆心坐标是， 圆的半径是, 所以圆的方程是. （2）圆心到直线的距离. 24．已知点，圆. (1)若过点只能作一条圆的切线，求实数的值及切线方程； (2)设直线过点但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线被圆截的弦长为，求实数的值. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由过点只能作一条圆的切线，故点在圆上，把点坐标代入圆的方程即可求出；先求点与圆心的斜率，再求切线方程的斜率，进而用点斜式求得切线方程即可. （2）由题意可设直线的方程为，再表示出圆心到直线的距离，结合弦长的一半，半径利用勾股定理列方程求出，再由直线过点求出即可. 【详解】（1）由于过点只能作一条圆的切线， 则点在圆上； 所以，解得； 当时，，， 所以切线的斜率为， 所求切线方程为，即； 当时，， ，所以切线的斜率为， 所求切线方程为，即； （2）由题意，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，即，① 又圆心到直线的距离为， 所以，② 由①②联立，解得或； 所以或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第12卷 圆 （学生练习卷） 一、单选题 1．圆，则下列说法不正确的是（     ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 2．若曲线表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交且过圆心 4．圆 的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 5．已知点在圆的内部，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．圆心为点，且与轴相切的圆的方程为（     ） A． B． C． D． 7．已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆上的点到直线的最小距离是，则圆的半径（    ） A． B． C． D． 9．已知直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C．2 D． 10．以点为圆心，且过点的圆方程是（    ） A． B． C． D． 11．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 12．已知圆的半径是2，则实数m等于（    ） A．－7 B．－5 C．7 D．5 二、填空题 13．（2021·内蒙古·真题T15）已知圆的圆心坐标为，则圆的半径是 . 14．（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为 . 15．直线截圆的弦长等于 . 16．在平面直角坐标系内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到圆上经过的最短路程是 ． 17．以点为圆心的圆与直线相离，则圆的半径的取值范围是 . 18．已知圆O的方程为，直线过点，且与圆O相切，则直线的方程 . 三、解答题 19．已知圆心（其中）在直线上，且圆C经过点，直线被圆C截得弦长为． (1)求圆C的方程； (2)从圆C外一点向圆引切线，切点分别为，求的面积． 20．已知直线经过点，且斜率为． (1)求直线的方程； (2)若圆的方程为，判断直线与圆的位置关系． 21．已知圆过点，且与圆关于直线对称. (1)求圆、圆的方程； (2)过点作圆的两条相交直线、，且、的斜率互为相反数，试判断直线与的斜率是否相等，说明理由. 22．已知圆：，过点的直线与圆相切，求： (1)圆的圆心坐标和半径； (2)直线的方程. 23．已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)求圆心到直线的距离. 24．已知点，圆. (1)若过点只能作一条圆的切线，求实数的值及切线方程； (2)设直线过点但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线被圆截的弦长为，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $