第8卷 平面向量与复数（教师讲解卷）内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第8卷 平面向量与复数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 （一）平面向量 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||. 2．向量的有关概念： 名称 定义 备注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 3.向量的线性运算： 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 4.共线向量定理： 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. （1）平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. （3）平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 6．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. （2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 7．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． （二）复数 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： ①虚数单位i: i2＝－1； ②形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 【真题精讲】 考点01 平面向量的运算 1.（2025·内蒙古·真题T04）已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】向量， 则， 因为，则， 解得. 故选：B. 2.（2024·内蒙古·真题T08）已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量内积的运算法则和向量模的运算法则计算即可. 【详解】已知与均为单位向量， 则，，由它们的夹角为， 可得， 所以 ， 故选：D. 3.（2023·内蒙古·真题T05）在中，，，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】用数量积定义计算即可得解. 【详解】因为在中，，， 所以. 故选：A 考点02 平面向量的综合应用 4．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合平面向量的模长公式及平面向量内积的定义即可得解. （）根据题意结合平面向量垂直的性质即可得解. 小问1详解】 向量，向量与的夹角为，， 则由，解得. 【小问2详解】 因为，且， 则，故 则，解得. 5.（2024·内蒙古·真题T20）已知，，求满足，且的点的坐标. 【答案】或 【解析】 【分析】先设定，结合向量坐标的表示及运算，以及向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，设， 又，， 所以， 即，得到， 又，即， 所以，解得或， 所以点坐标为或. 考点03 复数 6.（2025·内蒙古·真题T05）已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可. 详解】. 故选：B. 【举一反三】 1．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知是两个向量，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的垂直表示，结合向量内积的定义与运算法则即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 因为，所以. 故选：C. 2．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）已知向量，，则向量的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量线性运算的坐标表示直接计算即可. 【详解】因为向量，， 向量. 故选：. 3．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由复数的乘除运算及几何意义即可得解. 【详解】. 在复平面对应点的坐标为,位于第一象限. 故选:. 4.（2022·内蒙古·真题T05）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，且与不共线，列式求解即可． 【详解】由题意得，且与不共线， ∴，且，解得，且， 故的取值范围是． 故选：D． 5.（2021·内蒙古·真题T07）已知平面向量，，且与垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求解的值即可. 【详解】因为， ∴， ∵与垂直， ∴， ∴. 故选：A. 6．（24-25高三下·西藏·对口/高职单招）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示计算即可. 【详解】已知向量，， 则， 故选：A. 7．（23-24高三下·江西·三模）已知向量，，且，则（    ） A．8 B．6 C．-8 D．-6 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算以及垂直的性质求解即可. 【详解】向量，，所以. 因为，所以. 故选：A. 8．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的内积求出，结合即可得解. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 所以， 则． 故答案为：. 9.（2021·内蒙古·真题T20）已知 （1）若，求； （2）若，且方向相反，求. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由所给向量计算模长，再根据所给角度，运用向量的内积计算即可. （2）因为向量平行，且方向相反，由此列式计算即可. 【小问1详解】 已知， 所以， 若， . 【小问2详解】 因为，且方向相反， 所以， 因为 ， 所以. 【拓展提升】 1．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知向量，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用向量线性运算与模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以， 则. 故选：C. 2．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）在边长为的正三角形中，向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义即可求解. 【详解】，其中， ，所以. 故选：C. 3．已知为平面向量，，则夹角的余弦值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知先求向量的坐标，再由两向量的内积公式即可求解. 【详解】设，由已知得， 得，解得，所以 设的夹角为，则. 故选：C． 4．（24-25高三下·四川·职教高考）复数的实部是（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据题意，复数的实部的概念，即可求解. 【详解】因为复数的实部是2. 故选:A. 5．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算，结合题意即可求解． 【详解】因为， 故选：A． 6.（2023·内蒙古·真题T20）平面内给定三个向量，，，且． （1）求满足条件的实数m，n的值； （2）若满足，且，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先由向量的坐标运算表示出，再联立向量垂直和相等向量求解t的值即可. （2）设出的坐标，由向量的线性坐标运算和共线向量坐标运算，以及模长公式联立求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，又因为， 解得，. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 设， ，， 因为， 所以， 所以， 所以①， 又因为，且， 所以②， 将①代入②中有，，可解或， ，或. 则或. 7.（2022·内蒙古·真题T20）已知，，．求： （1）的值； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量内积的坐标表示计算即可； （2）利用向量的夹角公式求解． 【小问1详解】 ∵，，，∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ， 设与的夹角为， ∴． 8．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知向量已知，. (1)若，求； (2)若，且方向不同，求. 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）根据向量的数量积公式、向量模长公式以及向量数量积的分配律求解即可. （2）根据向量平行的性质、向量模长公式以及向量数量积的分配律求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为,，所以， . （2）由（1）知，，， 又因为，且方向不同，所以， 所以 9．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知平面向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）运用向量垂直的坐标表示列式计算即可得解. （2）运用向量平行的坐标表示求得的值，再结合向量线性运算及模的坐标公式即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以. 整理得，解得或. 故的值为或. （2）因为，，， 则，即，解得或， 当时，，，所以，则； 当时，，， 所以，则； 综上，的值为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第8卷 平面向量与复数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 （一）平面向量 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||. 2．向量的有关概念： 名称 定义 备注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 3.向量的线性运算： 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 4.共线向量定理： 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. （1）平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. （3）平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 6．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. （2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 7．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． （二）复数 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： ①虚数单位i: i2＝－1； ②形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 【真题精讲】 考点01 平面向量的运算 1.（2025·内蒙古·真题T04）已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 2.（2024·内蒙古·真题T08）已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 3.（2023·内蒙古·真题T05）在中，，，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 不能确定 考点02 平面向量的综合应用 4．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 5.（2024·内蒙古·真题T20）已知，，求满足，且的点的坐标. 考点03 复数 6.（2025·内蒙古·真题T05）已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 1．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知是两个向量，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）已知向量，，则向量的坐标（     ） A． B． C． D． 3．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（2022·内蒙古·真题T05）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.（2021·内蒙古·真题T07）已知平面向量，，且与垂直，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 6．（24-25高三下·西藏·对口/高职单招）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·江西·三模）已知向量，，且，则（    ） A．8 B．6 C．-8 D．-6 8．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知向量与的夹角为，，，则 ． 9.（2021·内蒙古·真题T20）已知 （1）若，求； （2）若，且方向相反，求. 【拓展提升】 1．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知向量，，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）在边长为的正三角形中，向量（    ） A． B． C． D． 3．已知为平面向量，，则夹角的余弦值等于（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·四川·职教高考）复数的实部是（     ） A．2 B． C．3 D． 5．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 6.（2023·内蒙古·真题T20）平面内给定三个向量，，，且． （1）求满足条件的实数m，n的值； （2）若满足，且，求的坐标． 7.（2022·内蒙古·真题T20）已知，，．求： （1）的值； （2）与的夹角的余弦值． 8．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知向量已知，. (1)若，求； (2)若，且方向不同，求. 9．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知平面向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $