第14卷 概率与统计（教师讲解卷）内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第14卷 概率与统计 （教师讲解卷） 【概念回顾】 （一）分类、分步计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （二）排列与组合 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数． (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)． 特别地C＝1. 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C. （三）二项式定理 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式 的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C，C，…，C 2.二项式系数的性质 (1)0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C. (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn. (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n， C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. （四）总体、样本与抽样方法 1．简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． (1)编号：先将总体的N个个体编号； (2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝； (3)确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)； (4)获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 4．频率分布直方图 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征． (2)在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1. (3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比． (4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便． 5．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 ①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． ②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． ③平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． (2)样本方差、标准差 标准差. 其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数． 标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差。 1．频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率． 2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅ P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝1 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 4．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：实验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 5．古典概型的概率公式 P(A)＝ 6．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． 7.二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 8．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 9．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1 【真题精讲】 考点01 排列、组合、计数原理 1.（2023·内蒙古·真题T11）某省实验中学为预防流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有4个检查项目，需要安排在4间空教室进行检查．学校现有一排7间的空教室供选择使用，但为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方案． A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由插空法求解即可. 【详解】由题意可知，有三个空教室不需要安排检查项目， 则可以看成三个空教室会产生四个空位， 则将四个检查项目安排在四个空位全排列即可，即有种安排方案. 故选：C. 考点02 概率 2.（2025·内蒙古·真题T15）某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】用捆绑法和插空法求出满足条件的事件数，再由古典概型概率公式计算即可. 【详解】将二班的3名同学看作一个整体，共有种情况， 将这个整体与除一班外其他班级的5名同学进行全排列共有种情况， 将上述排列形成的7个空，安排一班的2名同学，共有种情况， 故满足条件的基本事件数为， 而基本事件总数为， 故二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为. 故答案为：. 3.（2024·内蒙古·真题T10）学校要从6名男生和4名女生中选3人参加无人机技能大赛，恰有1名女生入选的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合古典概率的计算，及组合数的应用，即可求解. 【详解】6名男生和4名女生，共计10人， 选出的3人中，恰有1名女生入选的概率是. 故选：A. 4.（2023·内蒙古·真题T15）其学校五年级共有n个班，甲、乙两个人从外地转到该校五年级，学校让他们各自随机选择班级，若他们刚好选在同一个班级的概率为，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式计算即可. 【详解】两人随机选择班级就读的选法共有（种）， 两人恰好选择同一班级的选法有种， 则两人恰好选择同一班级的概率是． 所以. 故答案为：6 考点03 二项式定理 8.（2024·内蒙古·真题T14）的展开式中的常数项为_________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为， 故答案为：. 9.（2023·内蒙古·真题T16）已知的展开式中，二项式系数的最大值为m，含项的系数为n，则________（用数字作答）. 【答案】16 【解析】 【分析】利用二项式系数的增减性，与二展展开式中项的系数即可得解. 【详解】因为， 所以二项式系数的最大值为，则， 含项为，则， 所以. 故答案为：16 考点04 统计初步 12.（2025·内蒙古·真题T10）某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有件，则样本容量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样原理计算即可解得. 【详解】甲产品型号所占比例为， 又知抽样中甲产品为件，则样本容量为. 故选：B 【举一反三】 1.（2022·内蒙古·真题T11）从中任取两个不同的数字,构成一个两位数,则这个数字大于的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意试验是从中任取两个不同的数字,构成一个两位数,满足条件的事件可以列举出有个,根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含事件是从中任取两个不同的数字, 构成一个两位数,共有种结果,满足条件的事件可以列举出有共个, 根据古典概型概率公式得到 故选:A 2．（25-26高一上·广东·职教高考）从4本不同的书中任取2本，不同取法的种数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据组合数计算即可. 【详解】从4本不同的书中任取2本， 共有种取法， 故选：D. 3．（25-26高三下·黑龙江·职教高考）从3名男生和2名女生中随机选出2人参加志愿服务，则选出的2人都是男生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据组合数计算总的基本事件的个数，和选的都是男生的基本事件的个数，再根据古典概型概率公式求值即可. 【详解】已知从3名男生和2名女生选出2人， 共有个基本事件， 选出的2人都是男生的基本事件有， 所以选出的2人都是男生的概率为， 故选：A. 4．（24-25高三下·青海·对口/高职单招）从3个红球和2个白球中任取1个，取到红球的概率（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式求解. 【详解】根据题意，红球数为3，总数为5，则取到红球的概率为． 故选：C． 5．（24-25高三下·吉林·职教高考）二项式的展开式中常数项是（     ） A．6 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为0求出r的值，从而求出展开式中常数项． 【详解】二项式的展开式的通项公式为：， 令，解得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：A. 6．（24-25高三下·吉林·职教高考）甲校有430名学生，乙校有410名学生，丙校有360名学生，采用分层抽样的方法抽取120名学生进行测试，则从甲校抽到学生人数是（     ） A．36 B．40 C．41 D．43 【答案】D 【分析】由分层抽样的定义即可得解. 【详解】甲校有430名学生，乙校有410名学生，丙校有360名学生，所以共有名学生， 采用分层抽样的方法抽取120名学生，则从甲校抽到学生人数是名， 故选：. 7．（24-25高三下·吉林·职教高考）从0，1，2，3，4，5这6个数字抽取2个不同的数字，这两个数字之和为奇数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出基本事件，结合古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从0，1，2，3，4，5这6个数字抽取2个不同的数字，有以下情形： ，共15种， 其中，这两个数字之和为奇数的情形有： ，共9种， 所以，这两个数字之和为奇数的概率是. 故选：B. 8．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）在的二项展开式中，常数项为 . 【答案】 【分析】首先列出二项展开式的通项公式，再令的指数为0列方程求出的值，将其代回二项展开式通项公式中求值即可. 【详解】已知， 设， 令，即，解得， 所以常数项为， 故答案为：. 9．（20-21高三·陕西·职教高考）某职业学校有、、三个专业，其中专业有名学生.现采用分层抽样法在三个专业学生中抽取容量为人的样本进行体质测试，已知在专业学生中抽取了名学生，在专业学生中抽取了名学生，则专业学生人数为 名. 【答案】600 【分析】由题可知，在专业学生中抽取的人数为20名，由分层抽样中各层的个体数占总体的比例相等，计算可得出答案. 【详解】由题可知，在专业学生中抽取的人数为：（名）， 设专业有学生名，则 ， 解得. 故答案为：600. 10.（2022·内蒙古·真题T16）的二项展开式中的系数是80，则 . 【答案】2 【解析】 【分析】根据二项式的通项求解． 【详解】二项式的通项为：， 令，故， 则展开式中的系数为，解得． 故答案为：2． 【拓展提升】 1.（2021·内蒙古·真题T08）3名男生，2名女生排成一排照相，女生不相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用插空法求得女生不相邻的排法，再利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】3名男生，2名女生排成一排照相，共有种不同的排法. 其中女生不相邻的排法有种不同的排法. 所以女生不相邻的概率为. 故选：A. 2．（23-24高三下·广西·职教高考）6名同学排成一排，其中小红、小芳两人必须相邻的不同排法种数为（    ） A．720 B．360 C．240 D．120 【答案】C 【分析】将小红、小芳捆绑成整体，再与其他同学排列. 【详解】将小红、小芳两名同学看作一个整体，那么他们之间的排列方式有， 然后将这个整体与其他4名同学一起进行排列，即， 根据分步计数原理，总的排列方式为. 故选：C. 3．（24-25高三下·内蒙古·一模）展开式的常数项为（     ） A． B． C．40 D．160 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】对于， 其展开通项公式为， 令，得，得. 故选：A. 4．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）某校高三年级某班数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛，则恰好有两名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解. 【详解】由题意，恰好有两名女生的概率为. 故选：A. 5．（19-20高三·河北·对口/高职单招）在二项式的展开式中，含的项的系数是 ． 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式展开式的通项为 ， 当时，， 则， 所以含的系数是. 故答案为：． 6．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知的展开式中，二项式系数最大值为m，含的系数为n，则 ． 【答案】 【分析】先由二项式系数的性质求出，再利用二项式通项公式可求. 【详解】的展开式共项，二项式系数最大为中间第四项， 即，即， 的展开式的通项为， 含的项为第三项即，即， 则； 故答案为：. 7．（23-24高三下·四川·一模）在的展开式中，若第2项与第5项的二项式系数相等，则第4项的系数是 ． 【答案】 【分析】根据第2项与第5项的二项式系数相等确定，再利用二项展开式通项公式即可求解. 【详解】由第2项与第5项的二项式系数相等，可得， 即， 根据二项展开式通项公式知第4项为 . 所以第4项的系数为. 所以答案是： 8．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）二项式的展开式的各项系数之和为 . 【答案】/0.015625 【分析】令即可求解系数和. 【详解】二项式为， 令，可得， 所以二项式的展开式的各项系数之和为. 故答案为：. 9．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）的二项展开式中的系数是80，则 . 【答案】2 【分析】根据二项式的通项求解． 【详解】二项式的通项为：， 令，故， 则展开式中的系数为，解得． 故答案为：2． 10.（2021·内蒙古·真题T17） 若展开式中所有项的系数之和等于展开式的二项式系数之和，则n的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式中所有项系数之和为变量取时的值，二项式的展开式中二项式系数之和为，建立等式关系，求解的值. 【详解】展开式中所有项的系数之和为， 的展开式中二项式系数之和为， 所以有，解得. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第14卷 概率与统计 （教师讲解卷） 【概念回顾】 （一）分类、分步计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （二）排列与组合 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数． (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)． 特别地C＝1. 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C. （三）二项式定理 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式 的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C，C，…，C 2.二项式系数的性质 (1)0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C. (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn. (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n， C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. （四）总体、样本与抽样方法 1．简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． (1)编号：先将总体的N个个体编号； (2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝； (3)确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)； (4)获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 4．频率分布直方图 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征． (2)在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1. (3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比． (4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便． 5．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 ①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． ②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． ③平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． (2)样本方差、标准差 标准差. 其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数． 标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差。 1．频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率． 2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅ P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝1 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 4．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：实验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 5．古典概型的概率公式 P(A)＝ 6．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． 7.二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 8．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 9．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1 【真题精讲】 考点01 排列、组合、计数原理 1.（2023·内蒙古·真题T11）某省实验中学为预防流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有4个检查项目，需要安排在4间空教室进行检查．学校现有一排7间的空教室供选择使用，但为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方案． A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 考点02 概率 2.（2025·内蒙古·真题T15）某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 3.（2024·内蒙古·真题T10）学校要从6名男生和4名女生中选3人参加无人机技能大赛，恰有1名女生入选的概率是（ ） A. B. C. D. 4.（2023·内蒙古·真题T15）其学校五年级共有n个班，甲、乙两个人从外地转到该校五年级，学校让他们各自随机选择班级，若他们刚好选在同一个班级的概率为，则________． 考点03 二项式定理 8.（2024·内蒙古·真题T14）的展开式中的常数项为_________. 9.（2023·内蒙古·真题T16）已知的展开式中，二项式系数的最大值为m，含项的系数为n，则________（用数字作答）. 考点04 统计初步 12.（2025·内蒙古·真题T10）某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有件，则样本容量（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 1.（2022·内蒙古·真题T11）从中任取两个不同的数字,构成一个两位数,则这个数字大于的概率是（ ） A. B. C. D. 2．（25-26高一上·广东·职教高考）从4本不同的书中任取2本，不同取法的种数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高三下·黑龙江·职教高考）从3名男生和2名女生中随机选出2人参加志愿服务，则选出的2人都是男生的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·青海·对口/高职单招）从3个红球和2个白球中任取1个，取到红球的概率（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·吉林·职教高考）二项式的展开式中常数项是（     ） A．6 B．1 C． D． 6．（24-25高三下·吉林·职教高考）甲校有430名学生，乙校有410名学生，丙校有360名学生，采用分层抽样的方法抽取120名学生进行测试，则从甲校抽到学生人数是（     ） A．36 B．40 C．41 D．43 7．（24-25高三下·吉林·职教高考）从0，1，2，3，4，5这6个数字抽取2个不同的数字，这两个数字之和为奇数的概率是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）在的二项展开式中，常数项为 . 9．（20-21高三·陕西·职教高考）某职业学校有、、三个专业，其中专业有名学生.现采用分层抽样法在三个专业学生中抽取容量为人的样本进行体质测试，已知在专业学生中抽取了名学生，在专业学生中抽取了名学生，则专业学生人数为 名. 10.（2022·内蒙古·真题T16）的二项展开式中的系数是80，则 . 【拓展提升】 1.（2021·内蒙古·真题T08）3名男生，2名女生排成一排照相，女生不相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 2．（23-24高三下·广西·职教高考）6名同学排成一排，其中小红、小芳两人必须相邻的不同排法种数为（    ） A．720 B．360 C．240 D．120 3．（24-25高三下·内蒙古·一模）展开式的常数项为（     ） A． B． C．40 D．160 4．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）某校高三年级某班数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛，则恰好有两名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（19-20高三·河北·对口/高职单招）在二项式的展开式中，含的项的系数是 ． 6．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知的展开式中，二项式系数最大值为m，含的系数为n，则 ． 7．（23-24高三下·四川·一模）在的展开式中，若第2项与第5项的二项式系数相等，则第4项的系数是 ． 8．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）二项式的展开式的各项系数之和为 . 9．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）的二项展开式中的系数是80，则 . 10.（2021·内蒙古·真题T17） 若展开式中所有项的系数之和等于展开式的二项式系数之和，则n的值为_________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $